Extensión esencial

En matemáticas , específicamente en teoría de módulos , dado un anillo${\displaystyle R}$y un${\displaystyle R}$- módulo${\displaystyle M}$con un submódulo${\displaystyle N}$, el módulo${\displaystyle M}$Se dice que es una extensión esencial de${\displaystyle N}$(o${\displaystyle N}$Se dice que es un submódulo esencial o un submódulo grande de${\displaystyle M}$) si para cada submódulo H de${\displaystyle M}$,

${\displaystyle H\cap N=\{0\}\,}$implica que${\displaystyle H=\{0\}\,}$

Como caso especial, un ideal esencial de izquierda de${\displaystyle R}$es un ideal izquierdo que es esencial como submódulo del módulo izquierdo${\displaystyle _{R}R}$. El ideal izquierdo tiene intersección no nula con cualquier ideal izquierdo no nulo de${\displaystyle R}$. Análogamente, un ideal derecho esencial es exactamente un submódulo esencial del derecho${\displaystyle R}$módulo${\displaystyle R_{R}}$.

Las notaciones habituales para las extensiones esenciales incluyen las dos expresiones siguientes:

${\displaystyle N\subseteq _{e}M\,}$( Lam 1999 ) , y${\displaystyle N\trianglelefteq M}$( Anderson y Fuller, 1992 )

La noción dual de un submódulo esencial es la de submódulo superfluo (o submódulo pequeño ). Un submódulo${\displaystyle N}$es superfluo si para cualquier otro submódulo${\displaystyle H}$,

${\displaystyle N+H=M\,}$implica que${\displaystyle H=M\,}$.

Las notaciones habituales para submódulos superfluos incluyen:

${\displaystyle N\subseteq _{s}M\,}$( Lam 1999 ) , y${\displaystyle N\ll M}$( Anderson y Fuller, 1992 )

Aquí se presentan algunas de las propiedades elementales de las extensiones esenciales, dadas en la notación introducida anteriormente. Sea${\displaystyle M}$ser un módulo, y${\displaystyle K}$,${\displaystyle N}$y${\displaystyle H}$ser submódulos de${\displaystyle M}$con${\displaystyle K\subsetequ N}$

• Claramente${\displaystyle M}$es un submódulo esencial de${\displaystyle M}$y el submódulo cero de un módulo distinto de cero nunca es esencial.
• ${\displaystyle K\subseteq _{e}M}$si y solo si${\displaystyle K\subseteq _{e}N}$y${\displaystyle N\subseteq _{e}M}$
• ${\displaystyle K\cap H\subseteq _{e}M}$si y solo si${\displaystyle K\subseteq _{e}M}$y${\displaystyle H\subseteq _{e}M}$

Utilizando el lema de Zorn es posible demostrar otro hecho útil: Para cualquier submódulo${\displaystyle N}$de${\displaystyle M}$, existe un submódulo${\displaystyle C}$de tal manera que

${\displaystyle N\oplus C\subseteq _{e}M}$.

Además, un módulo sin extensión esencial propia (es decir, si el módulo es esencial en otro módulo, entonces es igual a ese módulo) es un módulo inyectivo . Entonces es posible demostrar que todo módulo M tiene una extensión esencial máxima E ( M ), llamada envoltura inyectiva de M. La envoltura inyectiva es necesariamente un módulo inyectivo y es única salvo isomorfismo. La envoltura inyectiva también es mínima en el sentido de que cualquier otro módulo inyectivo que contenga a M contiene una copia de E ( M ).

Muchas propiedades se dualizan en submódulos superfluos, pero no todas. De nuevo, dejemos...${\displaystyle M}$ser un módulo, y${\displaystyle K}$,${\displaystyle N}$y${\displaystyle H}$ser submódulos de${\displaystyle M}$con${\displaystyle K\subsetequ N}$.

• El submódulo cero siempre es superfluo, y un módulo distinto de cero${\displaystyle M}$nunca es superfluo en sí mismo.
• ${\displaystyle N\subseteq _{s}M}$si y solo si${\displaystyle K\subseteq _{s}M}$y${\displaystyle N/K\subseteq _{s}M/K}$
• ${\displaystyle K+H\subseteq _{s}M}$si y solo si${\displaystyle K\subseteq _{s}M}$y${\displaystyle H\subseteq _{s}M}$.

Dado que cada módulo puede ser mapeado mediante un monomorfismo cuya imagen es esencial en un módulo inyectivo (su envoltura inyectiva), cabe preguntarse si la afirmación dual es verdadera, es decir, para cada módulo M , ¿existe un módulo proyectivo P y un epimorfismo de P sobre M cuyo núcleo sea superfluo? (Dicho P se denomina cubierta proyectiva ). La respuesta es " No " en general, y la clase especial de anillos cuyos módulos derechos tienen todos cubiertas proyectivas es la clase de anillos perfectos derechos .

Una forma del lema de Nakayama es que J( R ) M es un submódulo superfluo de M cuando M es un módulo finitamente generado sobre R .

Esta definición puede generalizarse a una categoría abeliana arbitraria.${\displaystyle \mathbf {C} }$Una extensión esencial es un monomorfismo .${\displaystyle u\colon M\to E}$de tal manera que para cada subobjeto distinto de cero${\displaystyle s\colon N\to E}$, el producto de fibra${\displaystyle N\times _{E}M\neq 0}$.

En una categoría general, un morfismo f  : X → Y es esencial si cualquier morfismo g  : Y → Z es un monomorfismo si y solo si g ° f es un monomorfismo ( Porst 1981 , Introducción) . Si tomamos g como el morfismo identidad de Y, se demuestra que un morfismo esencial f debe ser un monomorfismo.

Si X tiene una envoltura inyectiva Y , entonces Y es la mayor extensión esencial de X ( Porst 1981 , Introducción ( v )) . Pero la mayor extensión esencial puede no ser una envoltura inyectiva. De hecho, en la categoría de espacios T1 _y aplicaciones continuas, cada objeto tiene una única mayor extensión esencial, pero ningún espacio con más de un elemento tiene una envoltura inyectiva ( Hoffmann 1981 ) .

• Los submódulos densos son un tipo especial de submódulo esencial.

• Anderson, FW; Fuller, KR (1992), Anillos y categorías de módulos , Textos de posgrado en matemáticas , vol.  13 (2.ª  ed.), Springer-Verlag, ISBN 3-540-97845-3
• David Eisenbud , Álgebra conmutativa con miras a la geometría algebraica ISBN 0-387-94269-6
• Hoffmann, Rudolf-E. (1981), "Extensiones esenciales de espacios T _{1 ",} Boletín Matemático Canadiense , 24 (2): 237– 240, doi : 10.4153/CMB-1981-037-1
• Lam, Tsit-Yuen (1999), Lecciones sobre módulos y anillos , Textos de posgrado en matemáticas n.° 189, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-98428-5, MR 1653294 
• Mitchell, Barry (1965). Teoría de categorías . Matemáticas puras y aplicadas. Vol.  17. Academic Press. ISBN 978-0-124-99250-4. MR 0202787 . Sección III.2
• Puerto, Hans-E. (1981), "Caracterización de envolturas inyectivas", Cahiers de Topologie et Géométrie Différentielle Catégoriques , 22 (4): 399– 406