Submódulo denso

En álgebra abstracta , específicamente en teoría de módulos , un submódulo denso de un módulo es un refinamiento de la noción de submódulo esencial . Si N es un submódulo denso de M , también se puede decir que " N  ⊆ M es una extensión racional ". Los submódulos densos están relacionados con los anillos de cocientes en la teoría de anillos no conmutativos . La mayoría de los resultados que aparecen aquí se establecieron por primera vez en ( Johnson 1951 ) , ( Utumi 1956 ) y ( Findlay y Lambek 1958 ) . 

Cabe señalar que esta terminología es diferente de la noción de subconjunto denso en topología general . No se necesita topología para definir un submódulo denso, y un submódulo denso puede o no ser topológicamente denso en un módulo con topología .

Este artículo modifica la exposición que aparece en ( Storrer 1972 ) y ( Lam 1999 , p. 272) . Sea R un anillo y M un R -módulo derecho con submódulo N. Para un elemento y de M , definimos 

${\displaystyle y^{-1}N=\{r\in R\mid yr\in N\}.}$

Nótese que la expresión y ⁻¹ es solo formal, ya que no tiene sentido hablar de que el elemento del módulo y sea invertible , pero la notación ayuda a sugerir que y ⋅( y ⁻¹ N )  ⊆ N . El conjunto y ⁻¹ N es siempre un ideal derecho de R .  

Se dice que un submódulo N de M es un submódulo denso si, para todo x e y en M con x  ≠  0, existe un r en R tal que xr  ≠  0 e yr está en N. En otras palabras, utilizando la notación introducida,

${\displaystyle x(y^{-1}N)\neq \{0\}.}$

En este caso, la relación se denota por

${\displaystyle N\subseteq _{d}M.}$

Otra definición equivalente es de naturaleza homológica : N es denso en M si y solo si

${\displaystyle \mathrm {Hom} _{R}(M/N,E(M))=\{0\},}$

donde E ( M ) es la envoltura inyectiva de M .

• Se puede demostrar que N es un submódulo esencial de M si y solo si para todo y  ≠  0 en M , el conjunto y ⋅( y ⁻¹ N ) ≠ {0}. Claramente, entonces, todo submódulo denso es un submódulo esencial.   
• Si M es un módulo no singular , entonces N es denso en M si y solo si es esencial en M.
• Un anillo es un anillo no singular derecho si y solo si sus ideales derechos esenciales son todos ideales derechos densos.
• Si N y N' son submódulos densos de M , entonces también lo es N  ∩ N' . 
• Si N es denso y N  ⊆ K ⊆ M , entonces K también es denso.   
• Si B es un ideal derecho denso en R , entonces también lo es y −1 ^B para cualquier y en R.

• Si x es un divisor no nulo en el centro de R , entonces xR es un ideal derecho denso de R.
• Si I es un ideal bilateral de R , I es denso como ideal derecho si y solo si el anulador izquierdo de I es cero, es decir,${\displaystyle \ell \cdot \mathrm {Ann} (I)=\{0\}\,}$. En particular, en los anillos conmutativos , los ideales densos son precisamente los ideales que son módulos fieles .

• Findlay, GD; Lambek, J. (1958), "Un anillo generalizado de cocientes. I, II", Canadian Mathematical Bulletin , 1 (2): 77–85 , 155–167 , doi : 10.4153/CMB-1958-009-3 , ISSN 0008-4395 , MR 0094370  
• Johnson, RE (1951), "El centralizador extendido de un anillo sobre un módulo", Actas de la Sociedad Matemática Americana , 2 (6): 891– 895, doi : 10.1090/s0002-9939-1951-0045695-9 , ISSN 0002-9939 , MR 0045695  
• Lam, Tsit-Yuen (1999), Lecciones sobre módulos y anillos , Textos de posgrado en matemáticas n.° 189, vol.  189, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , doi : 10.1007/978-1-4612-0525-8 , ISBN 978-0-387-98428-5, MR 1653294 
• Storrer, Hans H. (1972), "Sobre la descomposición primaria de Goldman", Lecciones sobre anillos y módulos (Teoría de anillos y operadores de la Universidad de Tulane) , Notas de clase en matemáticas, vol.  I, Berlín: Springer, pp. 617–661 , doi : 10.1007/bfb0059571 , ISBN  978-3-540-05760-4, MR 0360717 
• Utumi, Yuzo (1956), "Sobre anillos cociente", Osaka Mathematical Journal , 8 : 1–18 , doi : 10.18910/8001 , MR 0078966