Anillo semilocal

En matemáticas , un anillo semilocal es un anillo para el cual R /J( R ) es un anillo semisimple , donde J( R ) es el radical de Jacobson de R . ( Lam 2001 , p. §20) ( Mikhalev & Pilz 2002 , p. C.7)  

La definición anterior se cumple si R tiene un número finito de ideales derechos maximales (y un número finito de ideales izquierdos maximales). Cuando R es un anillo conmutativo , la implicación recíproca también es cierta, por lo que la definición de semilocal para anillos conmutativos suele interpretarse como "tener un número finito de ideales maximales ".

Algunos textos se refieren a un anillo semilocal conmutativo en general como un anillo cuasi-semilocal , utilizando el término anillo semilocal para referirse a un anillo noetheriano con un número finito de ideales maximales.

Un anillo semilocal es, por lo tanto, más general que un anillo local , que tiene solo un ideal maximal (derecho/izquierdo/bilateral).

• Cualquier anillo artiniano derecho o izquierdo , cualquier anillo serial y cualquier anillo semiperfecto es semilocal.
• El cociente${\displaystyle \mathbb {Z} /m\mathbb {Z} }$es un anillo semilocal. En particular, si${\displaystyle m}$es una potencia primordial, entonces${\displaystyle \mathbb {Z} /m\mathbb {Z} }$es un anillo local.
• Una suma directa finita de campos${\displaystyle \bigoplus _ {i=1}^{n}{F_{i}}}$es un anillo semilocal.
• En el caso de anillos conmutativos con unidad, este ejemplo es prototípico en el siguiente sentido: el teorema chino del resto muestra que para un anillo conmutativo semilocal R con unidad e ideales maximales m ₁ , ..., m _n

${\displaystyle R/\bigcap _{i=1}^{n}m_{i}\cong \bigoplus _{i=1}^{n}R/m_{i}\,}$.

(El mapa es la proyección natural). El lado derecho es una suma directa de cuerpos. Aquí observamos que ∩ _i m _i =J( R ), y vemos que R /J( R ) es efectivamente un anillo semisimple.

• El anillo clásico de cocientes para cualquier anillo noetheriano conmutativo es un anillo semilocal.
• El anillo de endomorfismos de un módulo artiniano es un anillo semilocal.
• Los anillos semilocales aparecen, por ejemplo, en geometría algebraica cuando un anillo (conmutativo) R se localiza con respecto al subconjunto multiplicativamente cerrado S = ∩ (R \ p _i ) , donde los p _i son un número finito de ideales primos .