conjunto cerrado multiplicativo

En álgebra abstracta , un conjunto multiplicativamente cerrado (o conjunto multiplicativo ) es un subconjunto S de un anillo R tal que se cumplen las dos condiciones siguientes: ^{[ 1 ] [ 2 ]}

• ${\displaystyle 1\in S}$,
• ${\displaystyle xy\in S}$a pesar de${\displaystyle x,y\in S}$.

En otras palabras, S es cerrado bajo la toma de productos finitos, incluido el producto vacío 1. ^{[ 3 ]} Equivalentemente, un conjunto multiplicativo es un submonoide del monoide multiplicativo de un anillo.

Los conjuntos multiplicativos son importantes, especialmente en el álgebra conmutativa , donde se utilizan para construir localizaciones de anillos conmutativos.

Un subconjunto S de un anillo R se llama saturado si es cerrado bajo la operación de tomar divisores : es decir, siempre que un producto xy esté en S , los elementos x e y también están en S.

Ejemplos de conjuntos multiplicativos incluyen:

• el complemento conjuntista de un ideal primo en un anillo conmutativo;
• el conjunto {1, x , x ² , x ³ , ...} , donde x es un elemento de un anillo;
• el conjunto de unidades de un anillo;
• el conjunto de divisores no nulos en un anillo;
• 1 + I para un yo ideal ;
• los números de Jordan-Pólya , el cierre multiplicativo de los factoriales .

• Un ideal P de un anillo conmutativo R es primo si y solo si su complemento R \ P es multiplicativamente cerrado.
• Un ideal P de un anillo conmutativo R que es maximal con respecto a ser disjunto de un conjunto multiplicativo S es un ideal primo (Krull). De hecho, si el ideal I es disjunto de S , existe un ideal primo P tal que${\displaystyle R\setminus S\supseteq P\supseteq I}$.
• Un subconjunto S es saturado y multiplicativamente cerrado si y solo si S es el complemento de una unión de ideales primos. ^{[ 4 ]} En particular, el complemento de un ideal primo es saturado y multiplicativamente cerrado.
• La intersección de una familia de conjuntos multiplicativos es un conjunto multiplicativo.
• La intersección de una familia de conjuntos saturados es saturada.

• Localización de un anillo
• Conjunto de denominadores derechos

• MF Atiyah e IG Macdonald , Introducción al álgebra conmutativa , Addison-Wesley, 1969.
• David Eisenbud , Álgebra conmutativa con vistas a la geometría algebraica , Springer, 1995.
• Kaplansky, Irving (1974), Anillos conmutativos (  Edición revisada), University of Chicago Press , MR 0345945 
• Serge Lang , Álgebra 3.ª ed., Springer, 2002.