convolución circular

La convolución circular , también conocida como convolución cíclica , es un caso especial de convolución periódica , que consiste en la convolución de dos funciones periódicas con el mismo periodo. La convolución periódica surge, por ejemplo, en el contexto de la transformada discreta de Fourier (DTFT). En particular, la DTFT del producto de dos secuencias discretas es la convolución periódica de las DTFT de las secuencias individuales. Cada DTFT es una suma periódica de una función de transformada de Fourier continua (véase Transformada discreta de Fourier §  Relación con la transformada de Fourier ). Si bien las DTFT suelen ser funciones continuas de la frecuencia, los conceptos de convolución periódica y circular también son directamente aplicables a secuencias discretas de datos. En este contexto, la convolución circular desempeña un papel importante en la maximización de la eficiencia de un determinado tipo de operación de filtrado común.

La convolución periódica de dos funciones T-periódicas,${\displaystyle h_{_{T}}(t)}$y${\displaystyle x_{_{T}}(t)}$puede definirse como :

${\displaystyle \int _{t_{o}}^{t_{o}+T}h_{_{T}}(\tau )\cdot x_{_{T}}(t-\tau )\,d\tau ,}$ ^{[ 1 ] [ 2 ]}

dónde${\displaystyle t_{o}}$es un parámetro arbitrario. Una definición alternativa, en términos de la notación de convolución lineal normal o aperiódica , se deduce de la expresión${\displaystyle h_{_{T}}(t)}$y${\displaystyle x_{_{T}}(t)}$como sumas periódicas de componentes aperiódicos${\displaystyle h}$y${\displaystyle x}$, es decir :

${\displaystyle h_{_{T}}(t)\ \triangleq \ \sum _{k=-\infty }^{\infty }h(t-kT)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }h(t+kT).}$

Entonces :

Ambas formas pueden denominarse convolución periódica . ^{[ a ]} ​​El término convolución circular ^{[ 2 ] [ 3 ]} surge del importante caso especial de restringir las porciones no nulas de ambas${\displaystyle h}$y${\displaystyle x}$al intervalo${\displaystyle [0,T].}$ Entonces la suma periódica se convierte en una extensión periódica ^{[ b ]} , que también puede expresarse como una función circular :

${\displaystyle x_{_{T}}(t)=x(t_{\mathrm {mod} \ T}),\quad t\in \mathbb {R} \,}$( cualquier número real ) ^{[ c ]}

Y los límites de integración se reducen a la longitud de la función.${\displaystyle h}$:

${\displaystyle (h*x_{_{T}})(t)=\int _{0}^{T}h(\tau )\cdot x((t-\tau )_{\mathrm {mod} \ T})\ d\tau .}$^{[ d ] [ e ]}

De manera similar, para secuencias discretas y un parámetro N , podemos escribir una convolución circular de funciones aperiódicas.${\displaystyle h}$y${\displaystyle x}$ como :

${\displaystyle (h*x_{_{N}})[n]\ \triangleq \ \sum _{m=-\infty }^{\infty }h[m]\cdot \underbrace {x_{_{N}}[nm]} _{\sum _{k=-\infty }^{\infty }x[nm-kN]}}$

Esta función es N -periódica. Tiene como máximo N valores únicos. Para el caso especial en que la extensión no nula tanto de x como de h sea ≤ N , es reducible a una multiplicación de matrices donde el núcleo de la transformada integral es una matriz circulante .

En la figura se ilustra un caso de gran interés práctico. La duración de la secuencia x es N (o menor), y la de la secuencia h es significativamente menor. Por lo tanto, muchos de los valores de la convolución circular coinciden con los valores de x*h , lo cual es precisamente el resultado deseado cuando la secuencia h es un filtro de respuesta de impulso finito (FIR). Además, la convolución circular es muy eficiente de calcular mediante un algoritmo de transformada rápida de Fourier (FFT) y el teorema de convolución circular .

También existen métodos para procesar una secuencia x que supera un valor práctico para N. La secuencia se divide en segmentos ( bloques ) y se procesa por partes. A continuación, los segmentos filtrados se recomponen cuidadosamente. Los efectos de borde se eliminan superponiendo los bloques de entrada o de salida. Para facilitar la explicación y comparación de los métodos, los analizamos en el contexto de una secuencia h de longitud 201 y un tamaño de FFT de N = 1024.   

• Teorema de convolución
• Matriz circulante
• Transformada discreta de Hilbert