función de Hann

La función de Hann recibe su nombre del meteorólogo austriaco Julius von Hann . Es una función de ventana que se utiliza para realizar el suavizado de Hann o hanning . ^{[ 1 ] [ 2 ]} La función, con longitud${\displaystyle L}$y amplitud${\displaystyle 1/L,}$está dado por:

${\displaystyle w_{0}(x)\triangleq \left\{{\begin{array}{ccl}{\tfrac {1}{L}}\left({\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{2}}\cos \left({\frac {2\pi x}{L}}\right)\right)={\tfrac {1}{L}}\cos ^{2}\left({\frac {\pi x}{L}}\right),\quad &\left|x\right|\leq L/2\\0,\quad &\left|x\right|>L/2\end{array}}\right\}.}$ ^{[ a ]}

Para el procesamiento de señales digitales , la función se muestrea simétricamente (con espaciado${\displaystyle L/N}$y amplitud${\displaystyle 1}$) :

${\displaystyle \left.{\begin{aligned}w[n]=L\cdot w_{0}\left({\tfrac {L}{N}}(nN/2)\right)&={\tfrac {1}{2}}\left[1-\cos \left({\tfrac {2\pi n}{N}}\right)\right]\\&=\sin ^{2}\left({\tfrac {\pi n}{N}}\right)\end{aligned}}\right\},\quad 0\leq n\leq N,}$

que es una secuencia de${\displaystyle N+1}$muestras y${\displaystyle N}$Puede ser par o impar. También se conoce como ventana de coseno elevado , filtro de Hann , ventana de von Hann , ventana de Hanning , etc. ^{[ 2 ] [ 3 ] [ 4 ]}

La transformada de Fourier de${\displaystyle w_{0}(x)}$está dado por:

${\displaystyle W_{0}(f)={\frac {1}{2}}{\frac {\operatorname {sinc} (Lf)}{(1-L^{2}f^{2})}}={\frac {\sin(\pi Lf)}{2\pi Lf(1-L^{2}f^{2})}}}$ ^{[ b ]}

La transformada discreta de Fourier (DTFT) de la${\displaystyle N+1}$La secuencia de longitud y desplazamiento temporal se define mediante una serie de Fourier , que también tiene un equivalente de 3 términos que se deriva de forma similar a la derivación de la transformada de Fourier:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {F}}\{w[n]\}&\triangleq \sum _{n=0}^{N}w[n]\cdot e^{-i2\pi fn}\\&=e^{-i\pi fN}\left[{\tfrac {1}{2}}{\frac {\sin(\pi (N+1)f)}{\sin(\pi f)}}+{\tfrac {1}{4}}{\frac {\sin(\pi (N+1)(f-{\tfrac {1}{N}}))}{\sin(\pi (f-{\tfrac {1}{N}}))}}+{\tfrac {1}{4}}{\frac {\sin(\pi (N+1)(f+{\tfrac {1}{N}}))}{\sin(\pi (f+{\tfrac {1}{N}}))}}\right].\end{aligned}}}$

La secuencia truncada${\displaystyle \{w[n],\ 0\leq n\leq N-1\}}$es una ventana de Hann par (también conocida como periódica ) de DFT . Dado que la muestra truncada tiene valor cero, es evidente, a partir de la definición de la serie de Fourier, que las DTFT son equivalentes. Sin embargo, el enfoque seguido anteriormente da como resultado una expresión de 3 términos de aspecto significativamente diferente, pero equivalente:

${\displaystyle {\mathcal {F}}\{w[n]\}=e^{-i\pi f(N-1)}\left[{\tfrac {1}{2}}{\frac {\sin(\pi Nf)}{\sin(\pi f)}}+{\tfrac {1}{4}}e^{-i\pi /N}{\frac {\sin(\pi N(f-{\tfrac {1}{N}}))}{\sin(\pi (f-{\tfrac {1}{N}}))}}+{\tfrac {1}{4}}e^{i\pi /N}{\frac {\sin(\pi N(f+{\tfrac {1}{N}}))}{\sin(\pi (f+{\tfrac {1}{N}}))}}\right].}$

Una DFT de longitud N de la función ventana muestrea la DTFT en frecuencias${\displaystyle f=k/N,}$para valores enteros de${\displaystyle k.}$ De la expresión inmediatamente anterior, es fácil ver que solo 3 de los N coeficientes DFT son distintos de cero. Y de la otra expresión, es evidente que todos son de valor real. Estas propiedades son atractivas para aplicaciones en tiempo real que requieren transformadas con y sin ventana (con ventana rectangular), porque las transformadas con ventana se pueden derivar eficientemente de las transformadas sin ventana mediante convolución . ^{[ 5 ] [ c ] [ d ]}

La función recibe su nombre en honor a von Hann, quien utilizó la técnica de suavizado de promedio ponderado de tres términos en datos meteorológicos. ^{[ 6 ] [ 2 ]} Sin embargo, también se utiliza convencionalmente el término función de Hanning , ^{[ 7 ]} derivado del artículo en el que el término hanning una señal se utilizó para referirse a la aplicación de la ventana de Hann a la misma. ^{[ 4 ] [ 8 ]} Es distinta de la función de Hamming , de nombre similar , que recibe su nombre de Richard Hamming .

• Función de ventana
• Apodización
• Distribución del coseno elevado
• Filtro de coseno elevado

• Función de Hann en MathWorld