Función base

En matemáticas , una función base es un elemento de una base particular para un espacio de funciones . Toda función en el espacio de funciones puede representarse como una combinación lineal de funciones base. En espacios vectoriales de dimensión finita, esta representación es puramente algebraica e involucra solo un número finito de funciones base, mientras que en entornos de dimensión infinita suele adoptar la forma de una serie infinita cuya convergencia depende de la topología del espacio.

En el análisis numérico y la teoría de la aproximación , las funciones base también se denominan funciones de mezcla, debido a su uso en la interpolación : en esta aplicación, una mezcla de las funciones base proporciona una función de interpolación (donde la "mezcla" depende de la evaluación de las funciones base en los puntos de datos).

Ejemplos

Base monomial para C ^ω

La base monomial para el espacio vectorial de funciones analíticas viene dada por $\{x^{n}\mid n\in \mathbb {N} \}.$

Esta base se utiliza , entre otras cosas, en las series de Taylor .

Base monomial para polinomios

La base monomial también constituye una base para el espacio vectorial de polinomios . Después de todo, cada polinomio puede escribirse como $a_{0}+a_{1}x^{1}+a_{2}x^{2}+\cdots +a_{n}x^{n}$ para algunos $n\in \mathbb {N}$ , que es una combinación lineal de monomios.

Base de Fourier para L ² [0,1]

Los senos y cosenos forman una base de Schauder ( ortonormal ) para funciones de cuadrado integrable en un dominio acotado. Como ejemplo particular, la colección $\{{\sqrt {2}}\sin(2\pi nx)\mid n\in \mathbb {N} \}\cup \{{\sqrt {2}}\cos(2\pi nx)\mid n\in \mathbb {N} \}\cup \{1\}$ forma una base para L ² [0,1] .