Ondícula ortogonal

Una ondícula ortogonal es aquella cuya transformada wavelet asociada es ortogonal . Es decir, la transformada wavelet inversa es la adjunta de la transformada wavelet. Si se debilita esta condición, se pueden obtener ondículas biorthogonales .

La función de escala es una función refinable . Es decir, es una ecuación funcional fractal , llamada ecuación de refinamiento ( relación de doble escala o ecuación de dilatación ):

${\displaystyle \phi (x)=\sum _{k=0}^{N-1}a_{k}\phi (2x-k)}$,

donde la secuencia${\displaystyle (a_{0},\dots ,a_{N-1})}$de números reales se denomina secuencia de escalado o máscara de escalado. La ondícula propiamente dicha se obtiene mediante una combinación lineal similar ,

${\displaystyle \psi (x)=\sum _{k=0}^{M-1}b_{k}\phi (2x-k)}$,

donde la secuencia${\displaystyle (b_{0},\dots ,b_{M-1})}$Una secuencia de números reales se denomina secuencia de ondículas o máscara de ondículas.

Una condición necesaria para la ortogonalidad de las ondículas es que la secuencia de escalado sea ortogonal a cualquier desplazamiento de la misma por un número par de coeficientes:

${\displaystyle \sum _{n\in \mathbb {Z} }a_{n}a_{n+2m}=2\delta _{m,0}}$,

dónde${\displaystyle \delta _{m,n}}$es el delta de Kronecker .

En este caso hay el mismo número M=N de coeficientes en el escalado que en la secuencia de ondículas, la secuencia de ondículas se puede determinar como${\displaystyle b_{n}=(-1)^{n}a_{N-1-n}}$En algunos casos se elige el signo opuesto.

Una condición necesaria para la existencia de una solución a la ecuación de refinamiento es que exista un entero positivo A tal que (véase la transformada Z ):

${\displaystyle (1+Z)^{A}|a(Z):=a_{0}+a_{1}Z+\dots +a_{N-1}Z^{N-1}.}$

La potencia máxima posible A se denomina orden de aproximación polinómica (o potencia pol. ap.) o número de momentos nulos . Describe la capacidad de representar polinomios hasta el grado A -1 mediante combinaciones lineales de traslaciones enteras de la función de escala.

En el caso biorthogonal, un orden de aproximación A de${\displaystyle \phi }$corresponde a momentos de desaparición de la ondícula dual${\displaystyle {\tilde {\psi }}}$, es decir, los productos escalares de${\displaystyle {\tilde {\psi }}}$con cualquier polinomio hasta grado A-1 son cero. En la dirección opuesta, el orden de aproximación à de${\displaystyle {\tilde {\phi }}}$es equivalente a à momentos de desaparición de${\displaystyle \psi }$En el caso ortogonal, A y à coinciden.

Una condición suficiente para la existencia de una función de escala es la siguiente: si se descompone${\displaystyle a(Z)=2^{1-A}(1+Z)^{A}p(Z)}$y la estimación

${\displaystyle 1\leq \sup _{t\in [0,2\pi ]}\left|p(e^{it})\right|<2^{A-1-n},}$

se sostiene para algunos${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$, entonces la ecuación de refinamiento tiene una solución continuamente diferenciable n veces con soporte compacto.

• Ingrid Daubechies : Diez conferencias sobre ondículas , SIAM 1992.
• Actas del 1er Simposio NJIT sobre Ondículas, Subbandas y Transformadas, abril de 1990.