Función refinable

Una función refinable se define solo implícitamente. También puede ser que existan varias funciones que sean refinables con respecto a la misma máscara. Si${\displaystyle \varphi }$si tiene soporte finito y se desean los valores de la función en argumentos enteros, entonces la ecuación de dos escalas se convierte en un sistema de ecuaciones lineales simultáneas .

Dejar${\displaystyle a}$sea ​​el índice mínimo y${\displaystyle b}$sea ​​el índice máximo de elementos no nulos de${\displaystyle h}$, entonces se obtiene $${\displaystyle {\begin{pmatrix}\varphi (a)\\\varphi (a+1)\\\vdots \\\varphi (b)\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}h_{a}&&&&&\\h_{a+2}&h_{a+1}&h_{a}&&&\\h_{a+4}&h_{a+3}&h_{a+2}&h_{a+1}&h_{a}&\\\ddots &\ddots &\ddots &\ddots &\ddots &\ddots \\&h_{b}&h_{b-1}&h_{b-2}&h_{b-3}&h_{b-4}\\&&&h_{b}&h_{b-1}&h_{b-2}\\&&&&&h_{b}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\varphi (a)\\\varphi (a+1)\\\vdots \\\varphi (b)\end{pmatrix}}.}$$

Utilizando el operador de discretización , llámelo${\displaystyle Q}$aquí, y la matriz de transferencia de${\displaystyle h}$, llamado${\displaystyle T_{h}}$, esto se puede escribir de forma concisa como $${\displaystyle Q\varphi =T_{h}Q\varphi .}$$

Esta es de nuevo una ecuación de punto fijo . Pero esta ahora puede considerarse como un problema de autovectores y autovalores . Es decir, una función refinable con soporte finito existe solo (pero no necesariamente), si${\displaystyle T_{h}}$tiene el valor propio  1.

A partir de los valores en los puntos enteros se pueden derivar los valores en los puntos diádicos, es decir, puntos de la forma${\displaystyle k\cdot 2^{-j}}$, con${\displaystyle k\in \mathbb {Z} }$y${\displaystyle j\in \mathbb {N} }$.

${\displaystyle \varphi =D_{1/2}(2\cdot (h*\varphi ))}$

${\displaystyle D_{2}\varphi =2\cdot (h*\varphi)}$

${\displaystyle Q(D_{2}\varphi )=Q(2\cdot (h*\varphi ))=2\cdot (h*Q\varphi )}$

La estrella denota la convolución de un filtro discreto con una función. Con este paso se pueden calcular los valores en puntos de la forma${\displaystyle {\frac {k}{2}}}$. Reemplazando iterativamente${\displaystyle \varphi }$por${\displaystyle D_{2}\varphi }$Obtendrás los valores en todas las escalas más finas.

$${\displaystyle Q(D_{2^{j+1}}\varphi )=2\cdot (h*Q(D_{2^{j}}\varphi ))}$$

Si${\displaystyle \varphi }$es refinable con respecto a${\displaystyle h}$, y${\displaystyle \psi }$es refinable con respecto a${\displaystyle g}$, entonces${\displaystyle \varphi *\psi }$es refinable con respecto a${\displaystyle h*g}$.

Si${\displaystyle \varphi }$es refinable con respecto a${\displaystyle h}$y el derivado${\displaystyle \varphi '}$entonces existe${\displaystyle \varphi '}$es refinable con respecto a${\displaystyle 2\cdot h}$Esto puede interpretarse como un caso especial de la propiedad de convolución, donde uno de los operandos de convolución es una derivada del impulso de Dirac .

Si${\displaystyle \varphi }$es refinable con respecto a${\displaystyle h}$y hay un antiderivado${\displaystyle \Phi }$con${\textstyle \Phi (t)=\int _ {0}^{t}\varphi (\tau )\,\mathrm {d} \tau }$, luego el antiderivado${\displaystyle t\mapsto \Phi (t)+c}$es refinable con respecto a la máscara${\textstyle {\frac {1}{2}}\cdot h}$donde la constante${\displaystyle c}$debe cumplir${\textstyle c\cdot \left(1-\sum _{j}h_{j}\right)=\sum _{j}h_{j}\cdot \Phi (-j)}$.

Si${\displaystyle \varphi }$tiene soporte acotado , entonces podemos interpretar la integración como una convolución con la función de Heaviside y aplicar la ley de convolución.

El cálculo de los productos escalares de dos funciones refinables y sus traslaciones se puede desglosar en las dos propiedades anteriores. Sea${\displaystyle T}$ser el operador de traducción. Contiene $${\displaystyle \langle \varphi ,T_{k}\psi \rangle =\langle \varphi *\psi ^{*},T_{k}\delta \rangle =(\varphi *\psi ^{*})(k)}$$ dónde${\displaystyle \psi ^{*}}$es el adjunto de${\displaystyle \psi }$con respecto a la convolución , es decir,${\displaystyle \psi ^{*}}$es la versión conjugada compleja y volteada de${\displaystyle \psi }$, es decir,${\displaystyle \psi ^{*}(t)={\overline {\psi (-t)}}}$.

Debido a la propiedad anterior,${\displaystyle \varphi *\psi ^{*}}$es refinable con respecto a${\displaystyle h*g^{*}}$y sus valores en argumentos enteros pueden calcularse como autovectores de la matriz de transferencia. Esta idea puede generalizarse fácilmente a integrales de productos de más de dos funciones refinables. ^{[ 1 ]}

Una función refinable suele tener forma fractal. El diseño de funciones refinables continuas o suaves no es obvio. Antes de abordar la imposición de suavidad, es necesario medir la suavidad de las funciones refinables. Utilizando la máquina de Villemoes ^{[ 2 ],} se puede calcular la suavidad de las funciones refinables en términos de exponentes de Sobolev .

En un primer paso, la máscara de refinamiento${\displaystyle h}$está dividido en un filtro${\displaystyle b}$, que es una potencia del factor de suavidad${\displaystyle (1,1)}$(esta es una máscara binomial) y un resto${\displaystyle q}$En términos generales, la máscara binomial${\displaystyle b}$hace suavidad y ${\displaystyle q}$representa un componente fractal, que reduce la suavidad nuevamente. Ahora el exponente de Sobolev es aproximadamente del orden de${\displaystyle b}$menos el logaritmo del radio espectral de${\displaystyle T_{q*q^{*}}}$.