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Articulo de referencia

Matriz de transferencia

En matemáticas aplicadas , la matriz de transferencia es una formulación en términos de una matriz de Toeplitz por bloques de la ecuación de dos escalas, que caracteriza las fun...

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En matemáticas aplicadas , la matriz de transferencia es una formulación en términos de una matriz de Toeplitz por bloques de la ecuación de dos escalas, que caracteriza las funciones refinables . Las funciones refinables desempeñan un papel importante en la teoría de ondículas y la teoría de elementos finitos .

Para la máscarah{\displaystyle h}, que es un vector con índices de componentes desdea{\displaystyle a}ab{\displaystyle b}, la matriz de transferencia deh{\displaystyle h}, lo llamamosTh{\displaystyle T_{h}}aquí, se define como

(Th)j,k=h2⋅j−k.{\displaystyle (T_{h})_{j,k}=h_{2\cdot jk}.}

Más prolijamente

Th=(haha+2ha+1haha+4ha+3ha+2ha+1ha⋱⋱⋱⋱⋱⋱hbhb−1hb−2hb−3hb−4hbhb−1hb−2hb).{\displaystyle T_{h}={\begin{pmatrix}h_{a}&&&&&\\h_{a+2}&h_{a+1}&h_{a}&&&\\h_{a+4}&h_{a+3}&h_{a+2}&h_{a+1}&h_{a}&\\\ddots &\ddots &\ddots &\ddots &\ddots &\ddots \\&h_{b}&h_{b-1}&h_{b-2}&h_{b-3}&h_{b-4}\\&&&h_{b}&h_{b-1}&h_{b-2}\\&&&&&h_{b}\end{pmatrix}}.}

El efecto deTh{\displaystyle T_{h}}puede expresarse en términos del operador de submuestreo "↓{\displaystyle \downarrow }":

Th⋅incógnita=(h∗incógnita)↓2.{\displaystyle T_{h}\cdot x=(h*x)\downarrow 2.}

Propiedades

  • Th⋅incógnita=Tincógnita⋅h{\displaystyle T_{h}\cdot x=T_{x}\cdot h}.
  • Si eliminas la primera y la última columna y mueves las columnas con índice impar hacia la izquierda y las columnas con índice par hacia la derecha, obtendrás una matriz de Sylvester transpuesta .
  • El determinante de una matriz de transferencia es esencialmente una resultante.

    Más precisamente:

    Dejarhmi{\displaystyle h_{\mathrm {e} }}sean los coeficientes de índice par deh{\displaystyle h}((hmi)k=h2k{\displaystyle (h_{\mathrm {e} })_{k}=h_{2k}}) y dejaho{\displaystyle h_{\mathrm {o} }}sean los coeficientes de índice impar deh{\displaystyle h}((ho)k=h2k+1{\displaystyle (h_{\mathrm {o} })_{k}=h_{2k+1}}).

    EntoncesdetTh=(−1)⌊b−a+14⌋⋅ha⋅hb⋅rmis(hmi,ho){\displaystyle \det T_{h}=(-1)^{\lfloor {\frac {b-a+1}{4}}\rfloor }\cdot h_{a}\cdot h_{b}\cdot \mathrm {res} (h_{\mathrm {e} },h_{\mathrm {o} })}, dóndermis{\displaystyle \mathrm {res} }es el resultado .

    Esta conexión permite realizar cálculos rápidos utilizando el algoritmo euclidiano .
  • Para la traza de la matriz de transferencia de máscaras convolucionadas se cumple
    tr Tgramo∗h=tr Tgramo⋅tr Th{\displaystyle \mathrm {tr} ~T_{g*h}=\mathrm {tr} ~T_{g}\cdot \mathrm {tr} ~T_{h}}
  • Para el determinante de la matriz de transferencia de la máscara convolucionada se mantiene

    detTgramo∗h=detTgramo⋅detTh⋅rmis(gramo−,h){\displaystyle \det T_{g*h}=\det T_{g}\cdot \det T_{h}\cdot \mathrm {res} (g_{-},h)}

    dóndegramo−{\displaystyle g_{-}}denota la máscara con signos alternos, es decir(gramo−)k=(−1)k⋅gramok{\displaystyle (g_{-})_{k}=(-1)^{k}\cdot g_{k}}.
  • SiTh⋅incógnita=0{\displaystyle T_{h}\cdot x=0}, entoncesTgramo∗h⋅(gramo−∗incógnita)=0{\displaystyle T_{g*h}\cdot (g_{-}*x)=0}.
    Esto es una concreción de la propiedad determinante anterior. De la propiedad determinante se sabe queTgramo∗h{\displaystyle T_{g*h}}es singular siempreTh{\displaystyle T_{h}}es singular. Esta propiedad también indica cómo los vectores del espacio nulo deTh{\displaystyle T_{h}}se pueden convertir en vectores de espacio nulo deTgramo∗h{\displaystyle T_{g*h}}.
  • Siincógnita{\displaystyle x}es un vector propio deTh{\displaystyle T_{h}}con respecto al valor propioλ{\displaystyle \lambda }, es decir

    Th⋅incógnita=λ⋅incógnita{\displaystyle T_{h}\cdot x=\lambda \cdot x},

    entoncesincógnita∗(1,−1){\displaystyle x*(1,-1)}es un vector propio deTh∗(1,1){\displaystyle T_{h*(1,1)}}con respecto al mismo valor propio, es decir

    Th∗(1,1)⋅(incógnita∗(1,−1))=λ⋅(incógnita∗(1,−1)){\displaystyle T_{h*(1,1)}\cdot (x*(1,-1))=\lambda \cdot (x*(1,-1))}.
  • Dejarλa,…,λb{\displaystyle \lambda _{a},\dots ,\lambda _{b}}sean los valores propios deTh{\displaystyle T_{h}}, lo cual implicaλa+⋯+λb=tr Th{\displaystyle \lambda _{a}+\dots +\lambda _{b}=\mathrm {tr} ~T_{h}}y de forma más generalλanorte+⋯+λbnorte=tr(Thnorte){\displaystyle \lambda _{a}^{n}+\dots +\lambda _{b}^{n}=\mathrm {tr} (T_{h}^{n})}Esta suma es útil para estimar el radio espectral deTh{\displaystyle T_{h}}. Existe una posibilidad alternativa para calcular la suma de potencias de valores propios, que es más rápida para valores pequeñosnorte{\displaystyle n}.

    Dejardokh{\displaystyle C_{k}h}ser la periodización deh{\displaystyle h}con respecto al período2k−1{\displaystyle 2^{k}-1}. Eso esdokh{\displaystyle C_{k}h}es un filtro circular, lo que significa que los índices de los componentes son clases de residuos con respecto al módulo.2k−1{\displaystyle 2^{k}-1}. Luego, con el operador de sobremuestreo↑{\displaystyle \uparrow }lo sostiene

    tr(Thnorte)=(dokh∗(dokh↑2)∗(dokh↑22)∗⋯∗(dokh↑2norte−1))[0]2norte−1{\displaystyle \mathrm {tr} (T_{h}^{n})=\left(C_{k}h*(C_{k}h\uparrow 2)*(C_{k}h\uparrow 2^{2})*\cdots *(C_{k}h\uparrow 2^{n-1})\right)_{[0]_{2^{n}-1}}}

    En realidad nonorte−2{\displaystyle n-2}Las convoluciones son necesarias, pero solo2⋅registro2⁡norte{\displaystyle 2\cdot \log _{2}n}unos, al aplicar la estrategia de cálculo eficiente de potencias. Incluso más, el enfoque se puede acelerar aún más utilizando la transformada rápida de Fourier .
  • A partir de la afirmación anterior podemos derivar una estimación del radio espectral deϱ(Th){\displaystyle \varrho (T_{h})}. Contiene

    ϱ(Th)≥a#h≥13⋅#h{\displaystyle \varrho (T_{h})\geq {\frac {a}{\sqrt {\#h}}}\geq {\frac {1}{\sqrt {3\cdot \#h}}}}

    dónde#h{\displaystyle \#h}es el tamaño del filtro y si todos los valores propios son reales, también es cierto que

    ϱ(Th)≤a{\displaystyle \varrho (T_{h})\leq a},

    dóndea=‖do2h‖2{\displaystyle a=\Vert C_{2}h\Vert _{2}}.

Véase también

Referencias

  • Strang, Gilbert (1996). "Autovalores de(↓2)H{\displaystyle (\downarrow 2){H}}y convergencia del algoritmo en cascada". IEEE Transactions on Signal Processing . 44 : 233–238 . doi : 10.1109/78.485920 .
  • Thielemann, Henning (2006). Ondículas óptimamente adaptadas (tesis doctoral).(Contiene demostraciones de las propiedades anteriores)