Radio espectral

Sean λ ₁ , ..., λ _n los valores propios de una matriz A ∈ C ^{n × n} . El radio espectral de A se define como

${\displaystyle \rho (A)=\max \left\{|\lambda _{1}|,\dotsc ,|\lambda _{n}|\right\}.}$

El radio espectral puede pensarse como un ínfimo de todas las normas de una matriz. De hecho, por un lado,${\displaystyle \rho (A)\leqslant \|A\|}$para cada norma de matriz natural${\displaystyle \|\cdot \|}$; y por otro lado, la fórmula de Gelfand establece que${\displaystyle \rho (A)=\lim _{k\to \infty }\|A^{k}\|^{1/k}}$Ambos resultados se muestran a continuación.

Sin embargo, el radio espectral no necesariamente satisface${\displaystyle \|A\mathbf {v} \|\leqslant \rho (A)\|\mathbf {v} \|}$para vectores arbitrarios${\displaystyle \mathbf {v} \in \mathbb {C} ^{n}}$Para ver por qué, dejemos que...${\displaystyle r>1}$ser arbitrario y considerar la matriz

${\displaystyle C_{r}={\begin{pmatrix}0&r^{-1}\\r&0\end{pmatrix}}}$.

El polinomio característico de${\displaystyle C_{r}}$es${\displaystyle \lambda ^{2}-1}$, por lo que sus valores propios son${\displaystyle \{-1,1\}}$y por lo tanto${\displaystyle \rho (C_{r})=1}$. Sin embargo,${\displaystyle C_{r}\mathbf {e} _{1}=r\mathbf {e} _{2}}$. Como resultado,

${\displaystyle \|C_{r}\mathbf {e} _{1}\|=r>1=\rho (C_{r})\|\mathbf {e} _{1}\|.}$

Como ilustración de la fórmula de Gelfand, observe que${\displaystyle \|C_{r}^{k}\|^{1/k}\to 1}$como${\displaystyle k\to \infty }$, desde${\displaystyle C_{r}^{k}=I}$si${\displaystyle k}$es par y${\displaystyle C_{r}^{k}=C_{r}}$si${\displaystyle k}$es extraño.

Un caso especial en el que${\displaystyle \|A\mathbf {v} \|\leqslant \rho (A)\|\mathbf {v} \|}$a pesar de${\displaystyle \mathbf {v} \in \mathbb {C} ^{n}}$es cuando${\displaystyle A}$es una matriz hermitiana y${\displaystyle \|\cdot \|}$es la norma euclidiana . Esto se debe a que cualquier matriz hermitiana es diagonalizable por una matriz unitaria , y las matrices unitarias preservan la longitud del vector. Como resultado,

${\displaystyle \|A\mathbf {v} \|=\|U^{*}DU\mathbf {v} \|=\|DU\mathbf {v} \|\leqslant \rho (A)\|U\mathbf {v} \|=\rho (A)\|\mathbf {v} \|.}$

En el contexto de un operador lineal acotado A en un espacio de Banach , los autovalores deben reemplazarse con los elementos del espectro del operador , es decir, los valores.${\displaystyle \lambda }$para qué${\displaystyle A-\lambda I}$no es biyectiva. Denotamos el espectro por

${\displaystyle \sigma (A)=\left\{\lambda \in \mathbb {C} :A-\lambda I\;{\text{is not bijective}}\right\}}$

El radio espectral se define entonces como el supremo de las magnitudes de los elementos del espectro:

${\displaystyle \rho (A)=\sup _{\lambda \in \sigma (A)}|\lambda |}$

La fórmula de Gelfand, también conocida como la fórmula del radio espectral, también es válida para operadores lineales acotados: dejando${\displaystyle \|\cdot \|}$denotemos la norma del operador , tenemos

${\displaystyle \rho (A)=\lim _{k\to \infty }\|A^{k}\|^{\frac {1}{k}}=\inf _{k\in \mathbb {N} ^{*}}\|A^{k}\|^{\frac {1}{k}}.}$

Un operador acotado (en un espacio de Hilbert complejo) se denomina operador espectroide si su radio espectral coincide con su radio numérico . Un ejemplo de dicho operador es un operador normal .

El radio espectral de un grafo finito se define como el radio espectral de su matriz de adyacencia .

Esta definición se extiende al caso de grafos infinitos con grados de vértices acotados (es decir, existe algún número real C tal que el grado de cada vértice del grafo es menor que C ). En este caso, para el grafo G definimos:

${\displaystyle \ell ^{2}(G)=\left\{f:V(G)\to \mathbf {R} \$ :\ \sum \nolimits _{v\in V(G)}\left\|f(v)^{2}\right\|<\infty \right\}.}

Sea γ el operador de adyacencia de G :

${\displaystyle {\begin{cases}\gamma$ :\ell ^{2}(G)\to \ell ^{2}(G)\\(\gamma f)(v)=\sum _{(u,v)\in E(G)}f(u)\end{cases}}}

El radio espectral de G se define como el radio espectral del operador lineal acotado γ .

La siguiente proposición proporciona límites superiores sencillos pero útiles para el radio espectral de una matriz.

Proposición. Sea A ∈ C ^{n × n} con radio espectral ρ ( A ) y una norma matricial submultiplicativa ||⋅|| . Entonces, para cada entero${\displaystyle k\geqslant 1}$:

${\displaystyle \rho (A)\leq \|A^{k}\|^{\frac {1}{k}}.}$

Prueba

Sea ( v , λ ) un par vector propio - valor propio para una matriz A. Por la submultiplicatividad de la norma de la matriz, obtenemos:

${\displaystyle |\lambda |^{k}\|\mathbf {v} \|=\|\lambda ^{k}\mathbf {v} \|=\|A^{k}\mathbf {v} \|\leq \|A^{k}\|\cdot \|\mathbf {v} \|.}$

Dado que v ≠ 0 , tenemos

${\displaystyle |\lambda |^{k}\leq \|A^{k}\|}$

y por lo tanto

${\displaystyle \rho (A)\leq \|A^{k}\|^{\frac {1}{k}}.}$

Concluyendo la demostración.

Existen muchos límites superiores para el radio espectral de un grafo en función de su número n de vértices y su número m de aristas. Por ejemplo, si

${\displaystyle {\frac {(k-2)(k-3)}{2}}\leq m-n\leq {\frac {k(k-3)}{2}}}$

dónde${\displaystyle 3\leq k\leq n}$es un número entero, entonces ^{[ 2 ]}

${\displaystyle \rho (G)\leq {\sqrt {2m-n-k+{\frac {5}{2}}+{\sqrt {2m-2n+{\frac {9}{4}}}}}}}$

Para cualquier norma matricial ||⋅||, tenemos ^{[ 3 ]}

${\displaystyle \rho (A)=\lim _{k\to \infty }\left\|A^{k}\right\|^{\frac {1}{k}}}$.

Además, en el caso de una norma matricial consistente${\displaystyle \lim _{k\to \infty }\left\|A^{k}\right\|^{\frac {1}{k}}}$aproches${\displaystyle \rho (A)}$desde arriba (de hecho, en ese caso)${\displaystyle \rho (A)\leq \left\|A^{k}\right\|^{\frac {1}{k}}}$a pesar de${\displaystyle k}$).

Para cualquier ε > 0 , definamos las dos matrices siguientes:

${\displaystyle A_{\pm }={\frac {1}{\rho (A)\pm \varepsilon }}A.}$

De este modo,

${\displaystyle \rho \left(A_{\pm }\right)={\frac {\rho (A)}{\rho (A)\pm \varepsilon }},\qquad \rho (A_{+})<1<\rho (A_{-}).}$

Comenzamos aplicando el teorema anterior sobre límites de secuencias de potencias a A ₊ :

${\displaystyle \lim _{k\to \infty }A_{+}^{k}=0.}$

Esto demuestra la existencia de N ₊ ∈ N tal que, para todo k ≥ N ₊ ,

${\displaystyle \left\|A_{+}^{k}\right\|<1.}$

Por lo tanto,

${\displaystyle \left\|A^{k}\right\|^{\frac {1}{k}}<\rho (A)+\varepsilon .}$

De manera similar, el teorema sobre secuencias de potencias implica que${\displaystyle \|A_{-}^{k}\|}$no está acotada y existe N ₋ ∈ N tal que, para todo k ≥ N ₋ ,

${\displaystyle \left\|A_{-}^{k}\right\|>1.}$

Por lo tanto,

${\displaystyle \left\|A^{k}\right\|^{\frac {1}{k}}>\rho (A)-\varepsilon .}$

Sea N = max{ N ₊ , N ₋ }. Entonces,

${\displaystyle \forall \varepsilon >0\quad \exists N\in \mathbf {N} \quad \forall k\geq N\quad \rho (A)-\varepsilon <\left\|A^{k}\right\|^{\frac {1}{k}}<\rho (A)+\varepsilon ,}$

eso es,

${\displaystyle \lim _{k\to \infty }\left\|A^{k}\right\|^{\frac {1}{k}}=\rho (A).}$

Con esto concluye la demostración.

La fórmula de Gelfand proporciona una cota para el radio espectral de un producto de matrices conmutativas: si${\displaystyle A_{1},\ldots ,A_{n}}$son matrices que conmutan entre sí, entonces

${\displaystyle \rho (A_{1}\cdots A_{n})\leq \rho (A_{1})\cdots \rho (A_{n}).}$

Consideremos la matriz

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}9&-1&2\\-2&8&4\\1&1&8\end{bmatrix}}}$

cuyos autovalores son 5, 10, 10 ; por definición, ρ ( A ) = 10. En la siguiente tabla, los valores de${\displaystyle \|A^{k}\|^{\frac {1}{k}}}$para las cuatro normas más utilizadas se enumeran frente a varios valores crecientes de k (tenga en cuenta que, debido a la forma particular de esta matriz,${\displaystyle \|.\|_{1}=\|.\|_{\infty }}$):