Rango numérico

En el campo matemático del álgebra lineal y el análisis convexo , el rango numérico o campo de valores o Wertvorrat o Wertevorrat de un complejo $n\times n$ La matriz A es el conjunto

W(A)=\left\{{\frac {\mathbf {x} ^{*}A\mathbf {x} }{\mathbf {x} ^{*}\mathbf {x} }}\mid \mathbf {x} \in \mathbb {C} ^{n},\ \mathbf {x} \neq 0\right\}=\left\{\langle \mathbf {x} ,A\mathbf {x} \rangle \mid \mathbf {x} \in \mathbb {C} ^{n},\ \|\mathbf {x} \|_{2}=1\right\}

dónde $\mathbf {x} ^{*}$ denota la transpuesta conjugada del vector $\mathbf {x}$ El rango numérico incluye, en particular, las entradas diagonales de la matriz (obtenidas al elegir x igual a los vectores unitarios a lo largo de los ejes de coordenadas) y los valores propios de la matriz (obtenidos al elegir x igual a los vectores propios).

De forma equivalente, los elementos de ${\textstyle W(A)}$ son de la forma ${\textstyle \operatorname {tr} (AP)}$ , dónde ${\textstyle P}$ es un operador de proyección hermitiana de ${\textstyle \mathbb {C} ^{n}}$ a un subespacio unidimensional.

En ingeniería, los rangos numéricos se utilizan como una estimación aproximada de los valores propios de A. Recientemente, se han utilizado generalizaciones del rango numérico para estudiar la computación cuántica .

Un concepto relacionado es el radio numérico , que es el mayor valor absoluto de los números en el rango numérico, es decir

r(A)=\sup\{|\lambda |:\lambda \in W(A)\}=\sup _{\|x\|_{2}=1}|\langle \mathbf {x} ,A\mathbf {x} \rangle |.

Propiedades

Sea suma de conjuntos un conjunto suma .

Propiedades generales

El rango numérico es el rango del cociente de Rayleigh .
( Teorema de Hausdorff-Toeplitz ) El rango numérico es convexo y compacto .
$W(\alpha A+\beta I)=\alpha W(A)+\{\beta \}$ para toda matriz cuadrada $A$ y números complejos $\alpha$ y $\beta$ . Aquí $I$ es la matriz identidad .
$W(A)$ es un subconjunto del semiplano derecho cerrado si y solo si $A+A^{*}$ es semidefinida positiva.
El rango numérico $W(\cdot )$ es la única función en el conjunto de matrices cuadradas que satisface (2), (3) y (4).
$W(UAU^{*})=W(A)$ para cualquier unidad $U$ .
$W(A^{*})=W(A)^{*}$ .
Si $A$ es hermitiano, entonces $W(A)$ está en la línea real. Si $A$ es antihermítico , entonces $W(A)$ está en la línea imaginaria.
$W(A)=\{z\}$ si y solo si $A=zI$ .
(Subaditivo) $W(A+B)\subseteq W(A)+W(B)$ .
$W(A)$ contiene todos los valores propios de $A$ .
El rango numérico de un $2\times 2$ La matriz es una elipse rellena .
$W(A)$ es un segmento de línea real $[\alfa,\beta]$ si y solo si $A$ es una matriz hermitiana con sus valores propios más pequeños y más grandes siendo $\alpha$ y $\beta$ .

Matrices normales

Si ${\textstyle A}$ es normal, y ${\textstyle x\in \operatorname {span} (v_{1},\dots,v_{k})}$ , dónde ${\textstyle v_{1},\ldots ,v_{k}}$ son autovectores de ${\textstyle A}$ correspondiente a ${\textstyle \lambda _{1},\ldots ,\lambda _{k}}$ , respectivamente, entonces ${\textstyle \langle x,Ax\rangle \in \operatorname {hull} \left(\lambda _{1},\ldots ,\lambda _{k}\right)}$ .
Si $A$ entonces es una matriz normal $W(A)$ es la envoltura convexa de sus valores propios.
Si $\alpha$ es un punto afilado en el límite de $W(A)$ , entonces $\alpha$ es un valor propio normal de $A$ .

Radio numérico

$r(\cdot )$ es una norma unitariamente invariante en el espacio de $n\times n$ matrices.
$r(A)\leq \|A\|_{\operatorname {op} }\leq 2r(A)$ , dónde $\|\cdot \|_{\operatorname {op} }$ denota la norma del operador . ^{[ 1 ]}^{[ 2 ]}^{[ 3 ]}^{[ 4 ]}
$r(A)=\|A\|_{\operatorname {op} }$ si (pero no solo si) $A$ es normal.
$r(A^{n})\leq r(A)^{n}$ .

Pruebas

La mayoría de las afirmaciones son obvias. Algunas no lo son.

Propiedades generales

Demostración de (13)

Si ${\textstyle A}$ Si es hermitiana, entonces es normal, por lo que es la envoltura convexa de sus valores propios, que son todos reales.

Por el contrario, supongamos ${\textstyle W(A)}$ está en la línea real. Descomponer ${\textstyle A=B+C}$ , dónde ${\textstyle B}$ es una matriz hermitiana y ${\textstyle C}$ una matriz antihermítica. Dado que ${\textstyle W(C)}$ está en la línea imaginaria, si ${\textstyle C\neq 0}$ , entonces ${\textstyle W(A)}$ se desviaría de la línea real. Por lo tanto ${\textstyle C=0}$ , y ${\textstyle A}$ es hermitiano.

La siguiente demostración se debe a ^{[ 5 ].}

Demostración de (12)

Los elementos de ${\textstyle W(A)}$ son de la forma ${\textstyle \operatorname {tr} (AP)}$ , dónde ${\textstyle P}$ es proyección de ${\textstyle \mathbb {C} ^{2}}$ a un subespacio unidimensional.

El espacio de todos los subespacios unidimensionales de ${\textstyle \mathbb {C} ^{2}}$ es ${\textstyle \mathbb {P} \mathbb {C} ^{1}}$ , que es una 2-esfera. La imagen de una 2-esfera bajo una proyección lineal es una elipse rellena.

En más detalle, tal ${\textstyle P}$ son de la forma ${\frac {1}{2}}I+{\frac {1}{2}}{\begin{bmatrix}\cos 2\theta &e^{i\phi }\sin 2\theta \\e^{-i\phi }\sin 2\theta &-\cos 2\theta \end{bmatrix}}={\frac {1}{2}}{\begin{bmatrix}1+z&x+iy\\x-iy&1-z\end{bmatrix}}$ dónde ${\textstyle x,y,z}$ , satisfactorio ${\estilo de texto x^{2}+y^{2}+z^{2}=1}$ , es un punto en la esfera unitaria 2.

Por lo tanto, los elementos de ${\textstyle W(A)}$ , considerados como elementos de ${\textstyle \mathbb {R} ^{2}}$ es la composición de dos mapas lineales reales ${\textstyle (x,y,z)\mapsto {\frac {1}{2}}{\begin{bmatrix}1+z&x+iy\\x-iy&1-z\end{bmatrix}}}$ y ${\textstyle M\mapsto \operatorname {tr} (AM)}$ , que mapea la 2-esfera a una elipse rellena.

Demostración de (2)

${\textstyle W(A)}$ es la imagen de un mapa continuo ${\textstyle x\mapsto \langle x,Ax\rangle }$ desde $\mathbb {PC} ^{n}$ , por lo que es compacto.

Dados dos vectores complejos no nulos ${\textstyle x,y}$ , dejar ${\textstyle P_{x},P_{y}}$ sean sus proyectores hermíticos correspondientes de ${\textstyle \mathbb {C} ^{n}}$ a sus respectivos tramos. Deje ${\textstyle P}$ sea el proyector hermitiano al alcance de ambos. Tenemos que ${\textstyle P^{*}AP}$ es un operador en ${\textstyle \operatorname {Span} (x,y)}$ .

Por lo tanto, el “rango numérico restringido” de ${\textstyle P^{*}AP}$ , definido por ${\textstyle \{\operatorname {Tr} (P^{*}APP_{z}):z\in \operatorname {Span} (x,y),z\neq 0\}}$ , es una elipse cerrada, según (12). También es cierto que si ${\textstyle z\in \operatorname {Span} (x,y)}$ es distinto de cero, entonces ${\textstyle \operatorname {Tr} (P^{*}APP_{z})=\operatorname {Tr} (APP_{z}P)=\operatorname {Tr} (AP_{z})\in W(A)}$ Por lo tanto, el rango numérico restringido está contenido en el rango numérico completo de ${\textstyle A}$ .

Por lo tanto, si ${\textstyle W(A)}$ contiene ${\textstyle \operatorname {Tr} (AP_{x}),\operatorname {Tr} (AP_{y})}$ , entonces contiene una elipse cerrada que también contiene ${\textstyle \operatorname {Tr} (AP_{x}),\operatorname {Tr} (AP_{y})}$ , por lo que contiene el segmento de línea entre ellos.

Prueba de (5)

Dejar ${\textstyle W}$ Satisfacer estas propiedades. Sea ${\textstyle W_{0}}$ sea el rango numérico original.

Arreglar alguna matriz ${\textstyle A}$ . Demostramos que los planos de soporte de ${\textstyle W(A)}$ y ${\textstyle W_{0}(A)}$ son idénticos. Esto implicaría entonces que ${\textstyle W(A)=W_{0}(A)}$ ya que son a la vez convexos y compactos.

Por propiedad (4), ${\textstyle W(A)}$ no es vacío. ${\textstyle z}$ ser un punto en el límite de ${\textstyle W(A)}$ , entonces podemos trasladar y rotar el plano complejo de modo que el punto se traslade al origen y la región ${\textstyle W(A)}$ cae completamente dentro ${\textstyle \mathbb {C} ^{+}}$ . Es decir, para algunos ${\textstyle \phi \in \mathbb {R} }$ , el conjunto ${\textstyle e^{i\phi }(W(A)-z)}$ se encuentra completamente dentro ${\textstyle \mathbb {C} ^{+}}$ , mientras que para cualquier ${\textstyle t>0}$ , el conjunto ${\textstyle e^{i\phi }(W(A)-z)-tI}$ no reside completamente en ${\textstyle \mathbb {C} ^{+}}$ .

Las dos propiedades de ${\textstyle W}$ entonces implican que $e^{i\phi }(A-z)+e^{-i\phi }(A-z)^{*}\succeq 0$ y que la desigualdad es marcada, lo que significa que ${\textstyle e^{i\phi }(A-z)+e^{-i\phi }(A-z)^{*}}$ tiene un valor propio cero. Esta es una caracterización completa de los planos de soporte de ${\textstyle W(A)}$ .

El mismo argumento se aplica a ${\textstyle W_{0}(A)}$ , por lo que tienen los mismos planos de soporte.

Matrices normales

Demostración de (1), (2)

Para (2), si ${\textstyle A}$ es normal, entonces tiene una base de autovalores completa, por lo que se reduce a (1).

Desde ${\textstyle A}$ es normal, por el teorema espectral, existe una matriz unitaria ${\textstyle U}$ de tal manera que ${\textstyle A=UDU^{*}}$ , dónde ${\textstyle D}$ es una matriz diagonal que contiene los valores propios ${\textstyle \lambda _{1},\lambda _{2},\ldots ,\lambda _{n}}$ de ${\textstyle A}$ .

Dejar ${\textstyle x=c_{1}v_{1}+c_{2}v_{2}+\cdots +c_{k}v_{k}}$ . Utilizando la linealidad del producto interno, que ${\textstyle Av_{j}=\lambda _{j}v_{j}}$ y que ${\textstyle \left\{v_{i}\right\}}$ son ortonormales, tenemos:

$\langle x,Ax\rangle =\sum _{i,j=1}^{k}c_{i}^{*}c_{j}\left\langle v_{i},\lambda _{j}v_{j}\right\rangle =\sum _{i=1}^{k}\left|c_{i}\right|^{2}\lambda _{i}\in \operatorname {hull} \left(\lambda _{1},\ldots ,\lambda _{k}\right)$

Prueba (3)

Por afinidad de ${\textstyle W}$ , podemos trasladar y rotar el plano complejo, de modo que nos reducimos al caso donde ${\textstyle \partial W(A)}$ tiene una punta afilada en ${\textstyle 0}$ y que los dos planos de apoyo en ese punto forman un ángulo ${\textstyle \phi _{1},\phi _{2}}$ con el eje imaginario, de tal manera que ${\textstyle \phi _{1}<\phi _{2},e^{i\phi _{1}}\neq e^{i\phi _{2}}}$ ya que la punta es afilada.

Desde ${\textstyle 0\in W(A)}$ , existe un vector unitario ${\textstyle x_{0}}$ de tal manera que ${\textstyle x_{0}^{*}Ax_{0}=0}$ .

Por la propiedad general (4), el rango numérico se encuentra en los sectores definidos por: $\operatorname {Re} \left(e^{i\theta }\langle x,Ax\rangle \right)\geq 0\quad {\text{for all }}\theta \in [\phi _{1},\phi _{2}]{\text{ and nonzero }}x\in \mathbb {C} ^{n}.$ En ${\textstyle x=x_{0}}$ , la derivada direccional en cualquier dirección ${\textstyle y}$ debe desaparecer para mantener la no negatividad. Específicamente: $\left.{\frac {d}{dt}}\operatorname {Re} \left(e^{i\theta }\langle x_{0}+ty,A(x_{0}+ty)\rangle \right)\right|_{t=0}=0\quad \forall y\in \mathbb {C} ^{n},\theta \in [\phi _{1},\phi _{2}].$ Ampliando este derivado: $\operatorname {Re} \left(e^{i\theta }\left(\langle y,Ax_{0}\rangle +\langle x_{0},Ay\rangle \right)\right)=0\quad \forall y\in \mathbb {C} ^{n},\theta \in [\phi _{1},\phi _{2}].$

Dado que lo anterior se cumple para todos ${\textstyle \theta \in [\phi _{1},\phi _{2}]}$ , debemos tener: $\langle y,Ax_{0}\rangle +\langle x_{0},Ay\rangle =0\quad \forall y\in \mathbb {C} ^{n}.$

Para cualquier ${\textstyle y\in \mathbb {C} ^{n}}$ y ${\textstyle \alpha \in \mathbb {C} }$ , sustituto ${\textstyle \alpha y}$ en la ecuación: $\alpha \langle y,Ax_{0}\rangle +\alpha ^{*}\langle x_{0},Ay\rangle =0.$ Elegir ${\textstyle \alpha =1}$ y ${\textstyle \alpha =i}$ , luego simplificamos, obtenemos $\langle y,Ax_{0}\rangle =0$ a pesar de $y$ , de este modo ${\textstyle Ax_{0}=0}$ .

Radio numérico

Demostración de (2)

Dejar ${\textstyle v=\arg \max _{\|x\|_{2}=1}|\langle x,Ax\rangle |}$ . Tenemos ${\textstyle r(A)=|\langle v,Av\rangle |}$ .

Por Cauchy-Schwarz, $|\langle v,Av\rangle |\leq \|v\|_{2}\|Av\|_{2}=\|Av\|_{2}\leq \|A\|_{op}$

Para el otro, deja ${\textstyle A=B+iC}$ , dónde ${\textstyle B,C}$ son hermíticos. $\|A\|_{op}\leq \|B\|_{op}+\|C\|_{op}$

Desde ${\textstyle W(B)}$ está en la línea real, y ${\textstyle W(iC)}$ está en la línea imaginaria, los puntos extremos de ${\textstyle W(B),W(iC)}$ aparecer en ${\textstyle W(A)}$ , desplazado, por lo tanto ambos ${\textstyle \|B\|_{op}=r(B)\leq r(A),\|C\|_{op}=r(iC)\leq r(A)}$ .

Generalizaciones

Rango numérico de rango superior

El rango numérico es equivalente a la siguiente definición: $W(A)=\{\lambda \in \mathbb {C} :PMP=\lambda P{\text{ for some Hermitian projector }}P{\text{ of rank }}1\}$ Esto permite una generalización a rangos numéricos de rango superior , uno para cada $k=1,2,3,\dots$ : ^{[ 6 ]} $W_{k}(A)=\{\lambda \in \mathbb {C} :PMP=\lambda P{\text{ for some Hermitian projector }}P{\text{ of rank }}k\}$ $W_{k}(A)$ siempre es cerrado y convexo, ^{[ 7 ]}^{[ 8 ]} pero podría ser vacío. Se garantiza que no será vacío si $k<n/3+1$ y existe alguna $A$ de tal manera que $W_{k}(A)$ está vacío si $k\geq n/3+1$ . ^{[ 9 ]}

Véase también

Bibliografía

Libros

Bonsall, FF; Duncan, J. (1971), Rangos numéricos de operadores en espacios normados y de elementos de álgebras normadas , Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-07988-4
Bonsall, FF; Duncan, J. (1973), Numerical Ranges II , Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-20227-5
Horn, Roger A.; Johnson, Charles R. (1991), Temas de análisis matricial , Cambridge University Press , Capítulo 1, ISBN 978-0-521-46713-1.
Horn, Roger A.; Johnson, Charles R. (1990), Análisis matricial , Cambridge University Press , Cap. 5.7, ej. 21, ISBN 0-521-30586-1
Bhatia, Rajendra (1997). Análisis matricial . Textos de posgrado en matemáticas. Nueva York, Berlín, Heidelberg: Springer. ISBN 978-0-387-94846-1.
Gustafson, Karl E.; Rao, Duggirala KM (1997). Rango numérico: El campo de valores de operadores lineales y matrices . Universitext. Nueva York, NY: Springer. doi : 10.1007/978-1-4613-8498-4 . ISBN 978-0-387-94835-5ISSN 0172-5939

Papeles

Töplitz, Otto (1918). "Das algebraische Analogon zu einem Satze von Fejér" (PDF) . Mathematische Zeitschrift (en alemán). 2 ( 1– 2): 187– 197. doi : 10.1007/BF01212904 . ISSN 0025-5874 .
Hausdorff, Félix (1919). "Der Wertvorrat una forma bilineal". Mathematische Zeitschrift (en alemán). 3 (1): 314– 316. doi : 10.1007/BF01292610 . ISSN 0025-5874 .
Choi, MD; Kribs, DW; Życzkowski (2006), "Códigos de corrección de errores cuánticos a partir del formalismo de compresión", Rep. Math. Phys. , 58 (1): 77– 91, arXiv : quant-ph/0511101 , Bibcode : 2006RpMP...58...77C , doi : 10.1016/S0034-4877(06)80041-8 , S2CID 119427312 .
Dirr, G.; Helmkel, U.; Kleinsteuber, M.; Schulte-Herbrüggen, Th. (2006), "Un nuevo tipo de rango numérico C que surge en la computación cuántica", Proc. Aplica. Matemáticas. Mec. , 6 : 711– 712, doi : 10.1002/pamm.200610336
Li, CK (1996), "Una demostración simple del teorema del rango elíptico", Proc. Am. Math. Soc. , 124 (7): 1985, doi : 10.1090/S0002-9939-96-03307-2.
Keeler, Dennis S.; Rodman, Leiba; Spitkovsky, Ilya M. (1997), "El rango numérico de matrices de 3 × 3", Álgebra lineal y sus aplicaciones , 252 ( 1–3 ): 115, doi : 10.1016/0024-3795(95)00674-5.
Johnson, Charles R. (1976). "Caracterizaciones funcionales del campo de valores y la envoltura convexa del espectro" (PDF) . Actas de la Sociedad Matemática Americana . 61 (2). Sociedad Matemática Americana (AMS): 201–204 . doi : 10.1090/s0002-9939-1976-0437555-3 . ISSN 0002-9939 .

Referencias

↑ ""well-known" inequality for numerical radius of an operator". StackExchange.
↑"Upper bound for norm of Hilbert space operator". StackExchange.
↑"Inequalities for numerical radius of complex Hilbert space operator". StackExchange.
↑Hilary Priestley. "B4b hilbert spaces: extended synopses 9. Spectral theory"(PDF). In fact, ‖T‖ = max(−m_T , M_T) = w_T. This fails for non-self-adjoint operators, but w_T ≤ ‖T‖ ≤ 2w_T in the complex case.
↑Davis, Chandler (June 1971). "The Toeplitz-Hausdorff Theorem Explained". Canadian Mathematical Bulletin. 14 (2): 245–246. doi:10.4153/CMB-1971-042-7. ISSN 0008-4395.
↑Choi, Man-Duen; Kribs, David W.; Życzkowski, Karol (October 2006). "Higher-rank numerical ranges and compression problems". Linear Algebra and its Applications. 418 (2–3): 828–839. doi:10.1016/j.laa.2006.03.019.
↑Li, Chi-Kwong; Sze, Nung-Sing (2008). "Canonical Forms, Higher Rank Numerical Ranges, Totally Isotropic Subspaces, and Matrix Equations". Proceedings of the American Mathematical Society. 136 (9): 3013–3023. ISSN 0002-9939.
↑Woerdeman, Hugo J. (2008-01-01). "The higher rank numerical range is convex". Linear and Multilinear Algebra. 56 (1–2): 65–67. doi:10.1080/03081080701352211. ISSN 0308-1087.
↑Li, Chi-Kwong; Poon, Yiu-Tung; Sze, Nung-Sing (2009-06-01). "Condition for the higher rank numerical range to be non-empty". Linear and Multilinear Algebra. 57 (4): 365–368. arXiv:0706.1540. doi:10.1080/03081080701786384. ISSN 0308-1087.

[1] ""well-known" inequality for numerical radius of an operator". StackExchange.

[2] "Upper bound for norm of Hilbert space operator". StackExchange.

[3] "Inequalities for numerical radius of complex Hilbert space operator". StackExchange.

[4] Hilary Priestley. "B4b hilbert spaces: extended synopses 9. Spectral theory"(PDF). In fact, ‖T‖ = max(−m_T , M_T) = w_T. This fails for non-self-adjoint operators, but w_T ≤ ‖T‖ ≤ 2w_T in the complex case.

[5] Davis, Chandler (June 1971). "The Toeplitz-Hausdorff Theorem Explained". Canadian Mathematical Bulletin. 14 (2): 245–246. doi:10.4153/CMB-1971-042-7. ISSN 0008-4395.

[6] Choi, Man-Duen; Kribs, David W.; Życzkowski, Karol (October 2006). "Higher-rank numerical ranges and compression problems". Linear Algebra and its Applications. 418 (2–3): 828–839. doi:10.1016/j.laa.2006.03.019.

[7] Li, Chi-Kwong; Sze, Nung-Sing (2008). "Canonical Forms, Higher Rank Numerical Ranges, Totally Isotropic Subspaces, and Matrix Equations". Proceedings of the American Mathematical Society. 136 (9): 3013–3023. ISSN 0002-9939.

[8] Woerdeman, Hugo J. (2008-01-01). "The higher rank numerical range is convex". Linear and Multilinear Algebra. 56 (1–2): 65–67. doi:10.1080/03081080701352211. ISSN 0308-1087.

[9] Li, Chi-Kwong; Poon, Yiu-Tung; Sze, Nung-Sing (2009-06-01). "Condition for the higher rank numerical range to be non-empty". Linear and Multilinear Algebra. 57 (4): 365–368. arXiv:0706.1540. doi:10.1080/03081080701786384. ISSN 0308-1087.

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ].

[ 6 ]

[ 7 ]

[ 8 ]

[ 9 ]