Sobremuestreo

En el procesamiento de señales digitales , el sobremuestreo , la expansión y la interpolación son términos asociados con el proceso de remuestreo en un sistema de procesamiento de señales digitales multivelocidad . El sobremuestreo puede ser sinónimo de expansión , o puede describir un proceso completo de expansión y filtrado ( interpolación ). ^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]} Cuando el sobremuestreo se realiza en una secuencia de muestras de una señal u otra función continua, produce una aproximación de la secuencia que se habría obtenido muestreando la señal a una mayor velocidad (o densidad , como en el caso de una fotografía). Por ejemplo, si el audio de un disco compacto a 44 100 muestras/segundo se sobremuestrea por un factor de 5/4, la velocidad de muestreo resultante es de 55 125.

El aumento de la tasa por un factor entero se puede explicar como un proceso de 2 pasos, con una implementación equivalente que es más eficiente : ^{[ 4 ]}${\displaystyle L}$

1. Expansión : Crea una secuencia que comprende las muestras originales, separadas por ceros. Una notación para esta operación es :${\displaystyle x_{L}[n],}$${\displaystyle x[n],}$${\displaystyle L-1}$  ${\displaystyle x_{L}[n]=x[n]_{\uparrow L}.}$
2. Interpolación : Suaviza las discontinuidades utilizando un filtro de paso bajo , que reemplaza los ceros.

En esta aplicación, el filtro se denomina filtro de interpolación , y su diseño se analiza a continuación. Cuando el filtro de interpolación es de tipo FIR , su eficiencia puede mejorarse, ya que los ceros no contribuyen a sus cálculos de producto escalar . Es sencillo omitirlos tanto del flujo de datos como de los cálculos. El cálculo realizado por un filtro FIR de interpolación multivelocidad para cada muestra de salida es un producto escalar : ^{[ a ]}

donde la secuencia es la respuesta impulsional del filtro de interpolación, y es el mayor valor de para el cual no es cero. ${\displaystyle h}$${\displaystyle K}$${\displaystyle k}$${\displaystyle h[j+kL]}$

En este caso,   la función se puede diseñar como un filtro de media banda , donde casi la mitad de los coeficientes son cero y no es necesario incluirlos en los productos escalares. Los coeficientes de respuesta al impulso tomados a intervalos forman una subsecuencia, y existen tales subsecuencias (llamadas fases ) multiplexadas. Cada una de las fases de la respuesta al impulso filtra los mismos valores secuenciales del flujo de datos y produce uno de los valores de salida secuenciales. En algunas arquitecturas multiprocesador, estos productos escalares se realizan simultáneamente, en cuyo caso se denomina filtro polifásico . ${\displaystyle L=2,}$${\displaystyle h}$${\displaystyle L}$${\displaystyle L}$${\displaystyle L}$${\displaystyle x}$${\displaystyle L}$

Para mayor claridad, mencionamos ahora que una posible, aunque improbable, implementación de cada fase consiste en reemplazar los coeficientes de las otras fases con ceros en una copia del arreglo y procesar la   secuencia a tiempos más rápidos que la tasa de entrada original. Entonces, de cada salida es cero. La secuencia deseada es la suma de las fases, donde los términos de cada suma son idénticamente cero. Calcular ceros entre las salidas útiles de una fase y agregarlos a una suma es, en efecto, una decimación. Es el mismo resultado que no calcularlos en absoluto. Esa equivalencia se conoce como la segunda identidad de Noble . ^{[ 5 ]} A veces se utiliza en derivaciones del método polifásico. ${\displaystyle h}$${\displaystyle x_{L}[n]}$${\displaystyle L}$${\displaystyle L-1}$${\displaystyle L}$${\displaystyle y}$${\displaystyle L-1}$${\displaystyle L-1}$

Sea la transformada de Fourier de cualquier función, cuyas muestras en algún intervalo, son iguales a la secuencia. Entonces, la transformada de Fourier de tiempo discreto (DTFT) de la secuencia es la representación en serie de Fourier de una suma periódica de ^{[ b ].}${\displaystyle X(f)}$${\displaystyle x(t),}$${\displaystyle T,}$${\displaystyle x[n]}$${\displaystyle x[n]}$${\displaystyle X(f):}$

Cuando tiene unidades de segundos, tiene unidades de hercios (Hz) . Los tiempos de muestreo más rápidos (en intervalos ) aumentan la periodicidad en un factor de ^{[ c ].}${\displaystyle T}$${\displaystyle f}$${\displaystyle L}$${\displaystyle T/L}$${\displaystyle L:}$

que es también el resultado deseado de la interpolación. Un ejemplo de ambas distribuciones se muestra en el primer y tercer gráfico de la Fig. 2. ^{[ 6 ]} 

Cuando se insertan ceros en las muestras adicionales, disminuyen el intervalo de muestreo a Omitiendo los términos con valor cero de la serie de Fourier, se puede escribir como: ${\displaystyle T/L.}$

${\displaystyle \sum _{n=0,\pm L,\pm 2L,...,\pm \infty }{}x(nT/L)\ e^{-i2\pi fnT/L}\quad {\stackrel {m\ \triangleq \ n/L}{\longrightarrow }}\sum _{m=0,\pm 1,\pm 2,...,\pm \infty }{}x(mT)\ e^{-i2\pi fmT},}$

lo cual es equivalente a la ecuación 2, independientemente del valor de . Esa equivalencia se muestra en el segundo gráfico de la figura 2. La única diferencia es que el ancho de banda digital disponible se expande a , lo que aumenta el número de imágenes espectrales periódicas dentro del nuevo ancho de banda. Algunos autores lo describen como nuevos componentes de frecuencia. ^{[ 7 ]}   El segundo gráfico también muestra un filtro de paso bajo y que da como resultado la distribución espectral deseada (tercer gráfico). El ancho de banda del filtro es la frecuencia de Nyquist de la secuencia original . ^{[ A ]}   En unidades de Hz, ese valor es ,   pero las aplicaciones de diseño de filtros generalmente requieren unidades normalizadas . (ver figura 2, tabla) ${\displaystyle L.}$${\displaystyle L/T}$${\displaystyle L=3,}$${\displaystyle x[n]}$${\displaystyle {\tfrac {0.5}{T}},}$

Sea L / M el factor de sobremuestreo, donde L  >  M.

1. Aumentar el muestreo por un factor de L
2. Submuestrear por un factor de M

El sobremuestreo requiere un filtro de paso bajo después de aumentar la tasa de datos, y el submuestreo requiere un filtro de paso bajo antes de la decimación. Por lo tanto, ambas operaciones pueden realizarse con un único filtro con la menor de las dos frecuencias de corte. Para el caso L  >  M , la frecuencia de corte del filtro de interpolación, ciclos por muestra intermedia , es la frecuencia más baja. ${\displaystyle {\tfrac {0.5}{L}}}$

• Submuestreo
• Procesamiento de señales digitales multivelocidad
• Filtro de media banda
• sobremuestreo
• Abundancia de la muestra
• Muestreo (procesamiento de señales)
• Señal (teoría de la información)
• Conversión de datos
• Interpolación
• fórmula de suma de Poisson

• "Página principal de remuestreo de audio digital" .(Se analiza una técnica para la interpolación de ancho de banda limitado)
• "Ejemplo de Matlab sobre el uso de filtros polifásicos para interpolación" .