Sistema de funciones iteradas

En matemáticas , los sistemas de funciones iteradas ( IFS ) son un método para construir fractales ; los fractales resultantes suelen ser autosimilares . Los fractales IFS están más relacionados con la teoría de conjuntos que con la geometría fractal. ^{[ 1 ]} Se introdujeron en 1981.

Los fractales IFS , como se les suele llamar, pueden tener cualquier número de dimensiones, pero se calculan y representan comúnmente en 2D. El fractal se compone de la unión de varias copias de sí mismo, cada una transformada por una función (de ahí el término "sistema de funciones"). El ejemplo canónico es el triángulo de Sierpiński . Las funciones suelen ser contractivas , lo que significa que acercan los puntos y reducen el tamaño de las figuras. Por lo tanto, la forma de un fractal IFS se compone de varias copias más pequeñas de sí mismo, posiblemente superpuestas, cada una de las cuales también se compone de copias de sí misma, ad infinitum . Este es el origen de su naturaleza fractal autosimilar.

Formalmente, un sistema de funciones iteradas es un conjunto finito de aplicaciones de contracción en un espacio métrico completo . ^{[ 2 ]} Simbólicamente,

${\displaystyle \{f_{i}:X\to X\mid i=1,2,\dots ,N\},\ N\in \mathbb {N} }$

es un sistema de funciones iteradas si cada f _i es una contracción en el espacio métrico completo X .

Hutchinson demostró que, para el espacio métrico ℝ ⁿ , o más generalmente, para un espacio métrico completo${\displaystyle X}$, dicho sistema de funciones tiene un único conjunto fijo compacto (cerrado y acotado) no vacío S . ^{[ 3 ]} Una forma de construir un conjunto fijo es comenzar con un conjunto inicial cerrado y acotado no vacío S ₀ e iterar las acciones de las f _i , tomando S _{n +1} como la unión de las imágenes de S _n bajo las f _i ; luego tomando S como la clausura del límite lim n →∞ S _n . Simbólicamente, el único conjunto fijo (compacto no vacío) S ⊆ X tiene la propiedad

${\displaystyle S={\overline {\bigcup _{i=1}^{N}f_{i}(S)}}.}$

El conjunto S es, por lo tanto, el conjunto fijo del operador de Hutchinson F  : 2 ^X → 2 ^X definido para A ⊆ X mediante

${\displaystyle F(A)={\overline {\bigcup _{i=1}^{N}f_{i}(A)}}.}$

La existencia y unicidad de S es una consecuencia del principio de mapeo de contracción , al igual que el hecho de que

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }F^{n}(A)=S}$

para cualquier conjunto compacto no vacío A en X. (Para los IFS contractivos, esta convergencia se produce incluso para cualquier conjunto cerrado y acotado no vacío A ). Se pueden obtener elementos aleatorios arbitrariamente cercanos a S mediante el "juego del caos", que se describe a continuación.

Recientemente se demostró que los IFS de tipo no contractivo (es decir, compuestos por aplicaciones que no son contracciones con respecto a ninguna métrica topológicamente equivalente en X ) pueden generar atractores. Estos surgen de forma natural en espacios proyectivos, aunque también se puede adaptar la rotación irracional clásica en el círculo. ^{[ 4 ]}

El conjunto de funciones f _i genera un monoide bajo composición . Si solo hay dos de estas funciones, el monoide puede visualizarse como un árbol binario , donde, en cada nodo del árbol, se puede componer con una u otra función ( es decir, tomar la rama izquierda o la derecha). En general, si hay k funciones, entonces se puede visualizar el monoide como un árbol k -ario completo , también conocido como árbol de Cayley .

En ocasiones, se requiere que cada función f _i sea lineal o, más generalmente, una transformación afín , y por lo tanto se representa mediante una matriz . Sin embargo, los sistemas de funciones iteradas (IFS) también pueden construirse a partir de funciones no lineales, incluidas las transformaciones proyectivas y las transformaciones de Möbius . La llama fractal es un ejemplo de un IFS con funciones no lineales.

El algoritmo más común para calcular fractales IFS se denomina " juego del caos ". Consiste en seleccionar un punto aleatorio en el plano y aplicar iterativamente una de las funciones elegidas al azar del sistema de funciones para transformar dicho punto y obtener el siguiente. Un algoritmo alternativo consiste en generar todas las secuencias posibles de funciones hasta una longitud máxima determinada y, a continuación, representar gráficamente los resultados de aplicar cada una de estas secuencias a un punto o forma inicial.

Cada uno de estos algoritmos proporciona una construcción global que genera puntos distribuidos por todo el fractal. Si se dibuja una pequeña área del fractal, muchos de estos puntos quedarán fuera de los límites de la pantalla. Esto hace que ampliar una construcción IFS dibujada de esta manera sea poco práctico.

Aunque la teoría de IFS requiere que cada función sea contractiva, en la práctica el software que implementa IFS solo requiere que todo el sistema sea contractivo en promedio. ^{[ 5 ]}

Los PIFS (sistemas de funciones iteradas particionadas), también llamados sistemas de funciones iteradas locales, ^{[ 6 ]} ofrecen una compresión de imágenes sorprendentemente buena, incluso para fotografías que no parecen tener el tipo de estructura autosimilar que muestran los fractales IFS simples. ^{[ 7 ]}

Existen algoritmos muy rápidos para generar una imagen a partir de un conjunto de parámetros IFS o PIFS. Es más rápido y requiere mucho menos espacio de almacenamiento guardar una descripción de cómo se creó, transmitir esa descripción a un dispositivo de destino y regenerar la imagen en dicho dispositivo, que almacenar y transmitir el color de cada píxel de la imagen. ^{[ 6 ]}

El problema inverso es más difícil: dada una imagen digital original arbitraria, como una fotografía digital, intentar encontrar un conjunto de parámetros IFS que, al evaluarse mediante iteración, produzca otra imagen visualmente similar a la original. En 1989, Arnaud Jacquin presentó una solución a una forma restringida del problema inverso utilizando únicamente PIFS; la forma general del problema inverso sigue sin resolverse. ^{[ 8 ] [ 9 ] [ 6 ]}

Para 1995, todo el software de compresión fractal se basaba en el enfoque de Jacquin. ^{[ 9 ]}

El diagrama muestra la construcción de un sistema de funciones iteradas (IFS) a partir de dos funciones afines. Las funciones se representan mediante su efecto sobre el cuadrado biunitario (la función transforma el cuadrado delineado en el cuadrado sombreado). La combinación de ambas funciones forma el operador de Hutchinson . Se muestran tres iteraciones del operador y, finalmente, la imagen del punto fijo, el fractal resultante.

Entre los primeros ejemplos de fractales que pueden generarse mediante un sistema de funciones iteradas (IFS) se incluyen el conjunto de Cantor , descrito por primera vez en 1884; y las curvas de De Rham , un tipo de curva autosimilar descrita por Georges de Rham en 1957.

Los IFS fueron concebidos en su forma actual por John E. Hutchinson en 1981 ^{[ 3 ]} y popularizados por el libro de Michael Barnsley , Fractals Everywhere .

Los sistemas funcionales intrínsecos (IFS, por sus siglas en inglés) proporcionan modelos para ciertas plantas, hojas y helechos, en virtud de la autosimilitud que suele darse en las estructuras ramificadas de la naturaleza.

• Sistema de base compleja
• Teorema del collage
• Composiciones infinitas de funciones analíticas
• Sistema L
• Compresión fractal

• Draves, Scott ; Erik Reckase (julio de 2007). "El algoritmo de la llama fractal" (PDF) . Archivado del original (PDF) el 9 de mayo de 2008. Recuperado el 17 de julio de 2008 .
• Falconer, Kenneth (1990). Geometría fractal: Fundamentos matemáticos y aplicaciones . John Wiley and Sons. pp. 113–117, 136. ISBN  0-471-92287-0.
• Barnsley, Michael ; Andrew Vince (2011). "El juego del caos en un sistema general de funciones iteradas". Teoría ergódica y sistemas dinámicos . 31 (4): 1073–1079 . arXiv : 1005.0322 . Bibcode : 2010arXiv1005.0322B . doi : 10.1017/S0143385710000428 . S2CID 122674315 . 
• David, Claire (2019). "Propiedades fractales de funciones de tipo Weierstrass" . Actas del Centro Internacional de Geometría . 12 (2): 43– 61. doi : 10.15673/tmgc.v12i2.1485 . S2CID 209964068 . 

• Introducción a la teoría elemental de composiciones infinitas de funciones complejas