Teorema del collage

En matemáticas , el teorema del collage caracteriza un sistema de funciones iteradas cuyo atractor está próximo, en relación con la métrica de Hausdorff , a un conjunto dado. El SFI descrito se compone de contracciones cuyas imágenes, como un collage o unión al aplicar el conjunto dado, están arbitrariamente próximas al conjunto dado. Se utiliza típicamente en compresión fractal .

Sea un espacio métrico completo . Supóngase que es un subconjunto compacto no vacío de y sea dado. Elija un sistema de funciones iteradas (SII) con factor de contractividad donde (el factor de contractividad del SII es el máximo de los factores de contractividad de las funciones ). Supóngase ${\displaystyle \mathbb {X}}$${\estilo de visualización L}$${\displaystyle \mathbb {X}}$${\displaystyle \epsilon >0}$${\displaystyle \{\mathbb {X} ;w_{1},w_{2},\puntos ,w_{N}\}}$${\estilo de visualización s,}$${\displaystyle 0\leq s<1}$${\estilo de visualización s}$$estilo de visualización w_{i}}$

${\displaystyle h\left(L,\bigcup _{n=1}^{N}w_{n}(L)\right)\leq \varepsilon ,}$

¿Dónde está la métrica de Hausdorff ? Entonces ${\displaystyle h(\cdot ,\cdot )}$

${\displaystyle h(L,A)\leq {\frac {\varepsilon }{1-s}}}$

donde A es el atractor del SFI. Equivalentemente,

${\displaystyle h(L,A)\leq (1-s)^{-1}h\left(L,\cup _{n=1}^{N}w_{n}(L)\right)\quad }$, para todos los subconjuntos compactos no vacíos L de .${\displaystyle \mathbb {X}}$

De manera informal, If está cerca de ser estabilizado por el IFS, entonces también está cerca de ser el atractor del IFS. ${\estilo de visualización L}$${\estilo de visualización L}$

• Michael Barnsley
• Helecho de Barnsley

• Barnsley, Michael. (1988). Fractales en todas partes . Academic Press, Inc. ISBN 0-12-079062-9.

• Una descripción del teorema del collage y el subprograma interactivo de Java en cut-the-knot .
• Notas sobre el diseño de IFS para aproximarse a imágenes reales.
• Documento expositivo sobre fractales y teorema del collage