Sistema de ecuaciones lineales

El sistema de una ecuación con una incógnita

${\displaystyle 2x=4}$

tiene la solución

${\displaystyle x=2.}$

Sin embargo, la mayoría de los sistemas lineales interesantes tienen al menos dos ecuaciones.

El tipo más simple de sistema lineal no trivial involucra dos ecuaciones y dos variables:

${\displaystyle {\begin{alignedat}{5}2x&&\;+\;&&3y&&\;=\;&&6&\\4x&&\;+\;&&9y&&\;=\;&&15&.\end{alignedat}}}$

Un método para resolver dicho sistema es el siguiente. Primero, resuelva la ecuación superior para${\displaystyle x}$en términos de${\displaystyle y}$:

${\displaystyle x=3-{\frac {3}{2}}y.}$

Ahora sustituya esta expresión para x en la ecuación inferior:

${\displaystyle 4\left(3-{\frac {3}{2}}y\right)+9y=15.}$

Esto da como resultado una única ecuación que involucra solo la variable.${\displaystyle y}$. Resolver da${\displaystyle y=1}$y sustituyendo esto de nuevo en la ecuación para${\displaystyle x}$rendimientos${\displaystyle x={\frac {3}{2}}}$Este método se generaliza a sistemas con variables adicionales (véase "eliminación de variables" más adelante o el artículo sobre álgebra elemental ).

Una perspectiva extremadamente útil es que cada incógnita es un peso para un vector columna en una combinación lineal .

${\displaystyle x_{1}{\begin{bmatrix}a_{11}\\a_{21}\\\vdots \\a_{m1}\end{bmatrix}}+x_{2}{\begin{bmatrix}a_{12}\\a_{22}\\\vdots \\a_{m2}\end{bmatrix}}+\dots +x_{n}{\begin{bmatrix}a_{1n}\\a_{2n}\\\vdots \\a_{mn}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}b_{1}\\b_{2}\\\vdots \\b_{m}\end{bmatrix}}}$

Esto permite aplicar todo el lenguaje y la teoría de los espacios vectoriales (o, más generalmente, de los módulos ). Por ejemplo, el conjunto de todas las posibles combinaciones lineales de los vectores del lado izquierdo (LHS) se denomina su espacio vectorial generado , y las ecuaciones tienen solución solo cuando el vector del lado derecho se encuentra dentro de dicho espacio. Si cada vector dentro de ese espacio tiene exactamente una expresión como combinación lineal de los vectores del lado izquierdo dados, entonces cualquier solución es única. En cualquier caso, el espacio vectorial generado tiene una base de vectores linealmente independientes que garantizan exactamente una expresión; y el número de vectores en esa base (su dimensión ) no puede ser mayor que m o n , pero puede ser menor. Esto es importante porque si tenemos m vectores independientes, se garantiza una solución independientemente del lado derecho (RHS), y de lo contrario no está garantizada.

La ecuación vectorial es equivalente a una ecuación matricial de la forma $${\displaystyle A\mathbf {x} =\mathbf {b} }$$ donde A es una matriz m × n , x es un vector columna con n entradas y b es un vector columna con m entradas. ^{[ 4 ]}

$${\displaystyle A={\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&a_{m2}&\cdots &a_{mn}\end{bmatrix}},\quad \mathbf {x} ={\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\\\vdots \\x_{n}\end{bmatrix}},\quad \mathbf {b} ={\begin{bmatrix}b_{1}\\b_{2}\\\vdots \\b_{m}\end{bmatrix}}.}$$ El número de vectores en una base para el espacio generado por los vectores columna en A se expresa ahora como el rango de la matriz.

Para un sistema que involucra dos variables ( x e y ), cada ecuación lineal determina una línea en el plano xy . Dado que una solución a un sistema lineal debe satisfacer todas las ecuaciones, el conjunto solución es la intersección de estas líneas y, por lo tanto, es una línea, un punto único o el conjunto vacío .

Para tres variables, cada ecuación lineal determina un plano en el espacio tridimensional , y el conjunto solución es la intersección de estos planos. Por lo tanto, el conjunto solución puede ser un plano, una recta, un único punto o el conjunto vacío. Por ejemplo, como tres planos paralelos no tienen un punto en común, el conjunto solución de sus ecuaciones es vacío; el conjunto solución de las ecuaciones de tres planos que se intersecan en un punto es un único punto; si tres planos pasan por dos puntos, sus ecuaciones tienen al menos dos soluciones comunes; de hecho, el conjunto solución es infinito y consiste en todas las rectas que pasan por estos puntos. ^{[ 6 ]}

Para n variables, cada ecuación lineal determina un hiperplano en un espacio n -dimensional . El conjunto solución es la intersección de estos hiperplanos, y es un plano , que puede tener cualquier dimensión menor que n .

En general, el comportamiento de un sistema lineal está determinado por la relación entre el número de ecuaciones y el número de incógnitas. En este contexto, «en general» significa que el comportamiento puede variar según los valores específicos de los coeficientes de las ecuaciones.

• En general, un sistema con menos ecuaciones que incógnitas tiene infinitas soluciones, pero puede que no tenga ninguna. Dicho sistema se conoce como sistema subdeterminado .
• En general, un sistema con el mismo número de ecuaciones e incógnitas tiene una única solución.
• En general, un sistema con más ecuaciones que incógnitas no tiene solución. Este tipo de sistema también se conoce como sistema sobredeterminado .

En el primer caso, la dimensión del conjunto de soluciones es, en general, igual a n − m , donde n es el número de variables y m es el número de ecuaciones.

Las siguientes imágenes ilustran esta tricotomía en el caso de dos variables:

El primer sistema tiene infinitas soluciones, concretamente todos los puntos de la línea azul. El segundo sistema tiene una única solución, la intersección de las dos líneas. El tercer sistema no tiene soluciones, ya que las tres líneas no comparten ningún punto en común.

Cabe destacar que las imágenes anteriores muestran únicamente el caso más común (el caso general). Es posible que un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas no tenga solución (si las dos rectas son paralelas), o que un sistema de tres ecuaciones con dos incógnitas sea resoluble (si las tres rectas se intersecan en un único punto).

Un sistema de ecuaciones lineales se comporta de manera diferente al caso general si las ecuaciones son linealmente dependientes o si es inconsistente y no tiene más ecuaciones que incógnitas.

Las ecuaciones de un sistema lineal son independientes si ninguna de ellas puede derivarse algebraicamente de las demás. Cuando las ecuaciones son independientes, cada una contiene información nueva sobre las variables, y al eliminar cualquiera de ellas aumenta el tamaño del conjunto solución. Para ecuaciones lineales, la independencia lógica es equivalente a la independencia lineal .

Por ejemplo, las ecuaciones

${\displaystyle 3x+2y=6\;\;\;\;{\text{y}}\;\;\;\;6x+4y=12}$

No son independientes; al multiplicarlas por dos, se trata de la misma ecuación, y producirían gráficas idénticas. Este es un ejemplo de equivalencia en un sistema de ecuaciones lineales.

Para un ejemplo más complicado, las ecuaciones

${\displaystyle {\begin{alignedat}{5}x&&\;-\;&&2y&&\;=\;&&-1&\\3x&&\;+\;&&5y&&\;=\;&&8&\\4x&&\;+\;&&3y&&\;=\;&&7&\end{alignedat}}}$

Las ecuaciones no son independientes, ya que la tercera ecuación es la suma de las otras dos. De hecho, cualquiera de estas ecuaciones puede derivarse de las otras dos, y cualquiera de ellas puede eliminarse sin afectar el conjunto de soluciones. Las gráficas de estas ecuaciones son tres líneas que se intersecan en un único punto.

Un sistema lineal es inconsistente si no tiene solución, y de lo contrario, se dice que es consistente . ^{[ 7 ]} Cuando el sistema es inconsistente, es posible derivar una contradicción de las ecuaciones, que siempre se puede reescribir como la afirmación 0 = 1 .

Por ejemplo, las ecuaciones

${\displaystyle 3x+2y=6\;\;\;\;{\text{and}}\;\;\;\;3x+2y=12}$

son inconsistentes. De hecho, al restar la primera ecuación de la segunda y multiplicar ambos lados del resultado por 1/6, obtenemos 0 = 1. Las gráficas de estas ecuaciones en el plano xy son un par de líneas paralelas .

Es posible que tres ecuaciones lineales sean inconsistentes, aunque dos cualesquiera de ellas sean consistentes entre sí. Por ejemplo, las ecuaciones

${\displaystyle {\begin{alignedat}{7}x&&\;+\;&&y&&\;=\;&&1&\\2x&&\;+\;&&y&&\;=\;&&1&\\3x&&\;+\;&&2y&&\;=\;&&3&\end{alignedat}}}$

son inconsistentes. Sumando las dos primeras ecuaciones se obtiene 3x + 2y = 2 , que se puede restar de la tercera ecuación para obtener 0 = 1. Cualquier par de estas ecuaciones tiene una solución común. El mismo fenómeno puede ocurrir con cualquier número de ecuaciones.

En general, se producen inconsistencias si los segundos miembros de las ecuaciones de un sistema son linealmente dependientes y los términos constantes no satisfacen dicha relación de dependencia. Un sistema de ecuaciones cuyos segundos miembros son linealmente independientes siempre es consistente.

Dicho de otro modo, según el teorema de Rouché-Capelli , cualquier sistema de ecuaciones (sobredeterminado o no) es inconsistente si el rango de la matriz aumentada es mayor que el rango de la matriz de coeficientes . Si, por el contrario, los rangos de estas dos matrices son iguales, el sistema debe tener al menos una solución. La solución es única si y solo si el rango es igual al número de variables. De lo contrario, la solución general tiene k parámetros libres, donde k es la diferencia entre el número de variables y el rango; por lo tanto, en tal caso existe una infinidad de soluciones. El rango de un sistema de ecuaciones (es decir, el rango de la matriz aumentada) nunca puede ser mayor que [el número de variables] + 1, lo que significa que un sistema con cualquier número de ecuaciones siempre puede reducirse a un sistema que tiene un número de ecuaciones independientes que es como máximo igual a [el número de variables] + 1.

Dos sistemas lineales que utilizan el mismo conjunto de variables son equivalentes si cada una de las ecuaciones del segundo sistema puede derivarse algebraicamente de las ecuaciones del primero, y viceversa. Dos sistemas son equivalentes si ambos son inconsistentes o si cada ecuación de cada uno de ellos es una combinación lineal de las ecuaciones del otro. Por consiguiente, dos sistemas lineales son equivalentes si y solo si tienen el mismo conjunto de soluciones.

Cuando el conjunto de soluciones es finito, se reduce a un solo elemento. En este caso, la solución única se describe mediante una secuencia de ecuaciones cuyos miembros izquierdos son los nombres de las incógnitas y los miembros derechos son los valores correspondientes, por ejemplo${\displaystyle (x=3,\;y=-2,\;z=6)}$Cuando se ha fijado un orden para las incógnitas, por ejemplo el orden alfabético, la solución puede describirse como un vector de valores, como${\displaystyle (3,\,-2,\,6)}$para el ejemplo anterior.

Para describir un conjunto con un número infinito de soluciones, normalmente algunas de las variables se designan como libres (o independientes , o parámetros ), lo que significa que pueden tomar cualquier valor, mientras que las variables restantes dependen de los valores de las variables libres.

Por ejemplo, considere el siguiente sistema:

${\displaystyle {\begin{alignedat}{7}x&&\;+\;&&3y&&\;-\;&&2z&&\;=\;&&5&\\3x&&\;+\;&&5y&&\;+\;&&6z&&\;=\;&&7&\end{alignedat}}}$

El conjunto de soluciones para este sistema se puede describir mediante las siguientes ecuaciones:

${\displaystyle x=-7z-1\;\;\;\;{\text{and}}\;\;\;\;y=3z+2{\text{.}}}$

Aquí, z es la variable libre, mientras que x e y dependen de z . Cualquier punto del conjunto solución se puede obtener eligiendo primero un valor para z y luego calculando los valores correspondientes para x e y .

Cada variable libre aporta un grado de libertad al espacio de soluciones , cuyo número es igual a la dimensión del conjunto de soluciones. Por ejemplo, el conjunto de soluciones para la ecuación anterior es una línea recta, ya que se puede elegir un punto en dicho conjunto especificando el valor del parámetro z . Una solución infinita de orden superior puede describir un plano o un conjunto de mayor dimensión.

Las distintas elecciones de las variables libres pueden dar lugar a diferentes descripciones del mismo conjunto de soluciones. Por ejemplo, la solución a las ecuaciones anteriores puede describirse alternativamente de la siguiente manera:

${\displaystyle y=-{\frac {3}{7}}x+{\frac {11}{7}}\;\;\;\;{\text{and}}\;\;\;\;z=-{\frac {1}{7}}x-{\frac {1}{7}}{\text{.}}}$

Aquí, x es la variable libre, e y y z son variables dependientes.

El método más sencillo para resolver un sistema de ecuaciones lineales consiste en eliminar variables repetidamente. Este método se puede describir de la siguiente manera:

1. En la primera ecuación, despeja una de las variables en función de las demás.
2. Sustituye esta expresión en las ecuaciones restantes. Esto da como resultado un sistema de ecuaciones con una ecuación y una incógnita menos.
3. Repita los pasos 1 y 2 hasta que el sistema se reduzca a una sola ecuación lineal.
4. Resuelve esta ecuación y luego realiza la sustitución hacia atrás hasta encontrar la solución completa.

Por ejemplo, considere el siguiente sistema:

${\displaystyle {\begin{cases}x+3y-2z=5\\3x+5y+6z=7\\2x+4y+3z=8\end{cases}}}$

Al resolver la primera ecuación para x se obtiene${\displaystyle x=5+2z-3y}$y al sustituir esto en la segunda y tercera ecuación se obtiene

${\displaystyle {\begin{cases}y=3z+2\\y={\tfrac {7}{2}}z+1\end{cases}}}$

Dado que el lado izquierdo de ambas ecuaciones es igual a y , igualamos el lado derecho de las ecuaciones. Ahora tenemos:

${\displaystyle {\begin{aligned}3z+2={\tfrac {7}{2}}z+1\\\Rightarrow z=2\end{aligned}}}$

Sustituyendo z = 2 en la segunda o tercera ecuación se obtiene y = 8, y sustituyendo los valores de y y z en la primera ecuación se obtiene x = −15. Por lo tanto, el conjunto solución es la terna ordenada.${\displaystyle (x,y,z)=(-15,8,2)}$.

En la reducción de filas (también conocida como eliminación gaussiana ), el sistema lineal se representa como una matriz aumentada ^{[ 8 ].}

${\displaystyle \left[{\begin{array}{rrr|r}1&3&-2&5\\3&5&6&7\\2&4&3&8\end{array}}\right]{\text{.}}}$

Esta matriz se modifica luego utilizando operaciones elementales de fila hasta que alcanza la forma escalonada reducida de fila . Hay tres tipos de operaciones elementales de fila: ^{[ 8 ]}

Tipo 1 : Intercambiar las posiciones de dos filas.

Tipo 2 : Multiplicar una fila por un escalar distinto de cero .

Tipo 3 : Sumar a una fila un múltiplo escalar de otra.

Debido a que estas operaciones son reversibles, la matriz aumentada resultante siempre representa un sistema lineal equivalente al original.

Existen varios algoritmos específicos para reducir filas en una matriz aumentada, siendo los más sencillos la eliminación gaussiana y la eliminación de Gauss-Jordan . El siguiente cálculo muestra la eliminación de Gauss-Jordan aplicada a la matriz anterior:

${\displaystyle {\begin{aligned}\left[{\begin{array}{rrr|r}1&3&-2&5\\3&5&6&7\\2&4&3&8\end{array}}\right]&\sim \left[{\begin{array}{rrr|r}1&3&-2&5\\0&-4&12&-8\\2&4&3&8\end{array}}\right]\sim \left[{\begin{array}{rrr|r}1&3&-2&5\\0&-4&12&-8\\0&-2&7&-2\end{array}}\right]\sim \left[{\begin{array}{rrr|r}1&3&-2&5\\0&1&-3&2\\0&-2&7&-2\end{array}}\right]\\&\sim \left[{\begin{array}{rrr|r}1&3&-2&5\\0&1&-3&2\\0&0&1&2\end{array}}\right]\sim \left[{\begin{array}{rrr|r}1&3&-2&5\\0&1&0&8\\0&0&1&2\end{array}}\right]\sim \left[{\begin{array}{rrr|r}1&3&0&9\\0&1&0&8\\0&0&1&2\end{array}}\right]\sim \left[{\begin{array}{rrr|r}1&0&0&-15\\0&1&0&8\\0&0&1&2\end{array}}\right].\end{aligned}}}$

La última matriz está en forma escalonada reducida por filas y representa el sistema x = − 15 , y = 8 , z = 2 . Una comparación con el ejemplo de la sección anterior sobre la eliminación algebraica de variables muestra que estos dos métodos son, de hecho, iguales; la diferencia radica en cómo se escriben los cálculos.

La regla de Cramer es una fórmula explícita para la solución de un sistema de ecuaciones lineales, donde cada variable viene dada por un cociente de dos determinantes . ^{[ 9 ]} Por ejemplo, la solución del sistema

${\displaystyle {\begin{alignedat}{7}x&\;+&\;3y&\;-&\;2z&\;=&\;5\\3x&\;+&\;5y&\;+&\;6z&\;=&\;7\\2x&\;+&\;4y&\;+&\;3z&\;=&\;8\end{alignedat}}}$

es dado por

${\displaystyle x={\frac {\,{\begin{vmatrix}5&3&-2\\7&5&6\\8&4&3\end{vmatrix}}\,}{\,{\begin{vmatrix}1&3&-2\\3&5&6\\2&4&3\end{vmatrix}}\,}},\;\;\;\;y={\frac {\,{\begin{vmatrix}1&5&-2\\3&7&6\\2&8&3\end{vmatrix}}\,}{\,{\begin{vmatrix}1&3&-2\\3&5&6\\2&4&3\end{vmatrix}}\,}},\;\;\;\;z={\frac {\,{\begin{vmatrix}1&3&5\\3&5&7\\2&4&8\end{vmatrix}}\,}{\,{\begin{vmatrix}1&3&-2\\3&5&6\\2&4&3\end{vmatrix}}\,}}.}$

Para cada variable, el denominador es el determinante de la matriz de coeficientes , mientras que el numerador es el determinante de una matriz en la que una columna ha sido reemplazada por el vector de términos constantes.

Si bien la regla de Cramer es importante desde el punto de vista teórico, tiene poco valor práctico para matrices grandes, ya que el cálculo de determinantes grandes resulta algo engorroso. (De hecho, los determinantes grandes se calculan más fácilmente mediante la reducción de filas). Además, la regla de Cramer presenta propiedades numéricas muy deficientes, lo que la hace inadecuada para resolver incluso sistemas pequeños de forma fiable, a menos que las operaciones se realicen con aritmética racional y precisión ilimitada.

Si el sistema de ecuaciones se expresa en forma matricial${\displaystyle A\mathbf {x} =\mathbf {b} }$, el conjunto completo de soluciones también puede expresarse en forma matricial. Si la matriz A es cuadrada (tiene m filas y n = m columnas) y tiene rango completo (todas las m filas son independientes), entonces el sistema tiene una solución única dada por

${\displaystyle \mathbf {x} =A^{-1}\mathbf {b} }$

dónde${\displaystyle A^{-1}}$es la inversa de A. De manera más general, independientemente de si m = n o no, e independientemente del rango de A , todas las soluciones (si las hay) se dan utilizando la inversa de Moore-Penrose de A , denotada${\displaystyle A^{+}}$, de la siguiente manera:

${\displaystyle \mathbf {x} =A^{+}\mathbf {b} +\left(I-A^{+}A\right)\mathbf {w} }$

dónde${\displaystyle \mathbf {w} }$es un vector de parámetros libres que abarca todos los posibles vectores n × 1. Una condición necesaria y suficiente para que exista cualquier solución es que la solución potencial obtenida utilizando${\displaystyle \mathbf {w} =\mathbf {0} }$satisfacer${\displaystyle A\mathbf {x} =\mathbf {b} }$— es decir, que${\displaystyle AA^{+}\mathbf {b} =\mathbf {b} .}$Si esta condición no se cumple, el sistema de ecuaciones es inconsistente y no tiene solución. Si la condición se cumple, el sistema es consistente y existe al menos una solución. Por ejemplo, en el caso mencionado anteriormente en el que A es cuadrado y de rango completo,${\displaystyle A^{+}}$simplemente es igual a${\displaystyle A^{-1}}$y la ecuación de solución general se simplifica a

${\displaystyle \mathbf {x} =A^{-1}\mathbf {b} +\left(I-A^{-1}A\right)\mathbf {w} =A^{-1}\mathbf {b} +\left(I-I\right)\mathbf {w} =A^{-1}\mathbf {b} }$

como se indicó anteriormente, donde${\displaystyle \mathbf {w} }$ha desaparecido por completo de la solución, dejando solo una única solución. En otros casos, sin embargo,${\displaystyle \mathbf {w} }$permanece y, por lo tanto, existe una infinidad de valores potenciales del vector de parámetros libres.${\displaystyle \mathbf {w} }$dar una infinidad de soluciones de la ecuación.

Si bien los sistemas de tres o cuatro ecuaciones se pueden resolver fácilmente a mano (véase Cracoviano ), las computadoras se utilizan a menudo para sistemas más grandes. El algoritmo estándar para resolver un sistema de ecuaciones lineales se basa en la eliminación gaussiana con algunas modificaciones. En primer lugar, es esencial evitar la división por números pequeños, ya que puede llevar a resultados inexactos. Esto se puede hacer reordenando las ecuaciones si es necesario, un proceso conocido como pivoteo . En segundo lugar, el algoritmo no realiza exactamente la eliminación gaussiana, sino que calcula la descomposición LU de la matriz A. Esto es principalmente una herramienta organizativa, pero es mucho más rápido si se tiene que resolver varios sistemas con la misma matriz A pero diferentes vectores b .

Si la matriz A posee una estructura especial, esta puede aprovecharse para obtener algoritmos más rápidos o precisos. Por ejemplo, los sistemas con una matriz simétrica definida positiva pueden resolverse el doble de rápido con la descomposición de Cholesky . La recursión de Levinson es un método rápido para matrices de Toeplitz . También existen métodos especiales para matrices con muchos elementos cero (las llamadas matrices dispersas ), que aparecen con frecuencia en las aplicaciones.

Para sistemas muy grandes, que de otro modo requerirían demasiado tiempo o memoria, se suele adoptar un enfoque completamente diferente. La idea consiste en comenzar con una aproximación inicial a la solución (que no tiene por qué ser precisa) y modificarla en varios pasos para acercarla a la solución verdadera. Una vez que la aproximación es suficientemente precisa, se considera la solución del sistema. Esto da lugar a la clase de métodos iterativos . Para algunas matrices dispersas, la introducción de aleatoriedad mejora la velocidad de los métodos iterativos. ^{[ 10 ]} Un ejemplo de método iterativo es el método de Jacobi , donde la matriz${\displaystyle A}$se divide en su componente diagonal${\displaystyle D}$y su componente no diagonal${\displaystyle L+U}$Una primera suposición${\displaystyle {\mathbf {x}}^{(0)}}$se utiliza al inicio del algoritmo. Cada suposición subsiguiente se calcula utilizando la ecuación iterativa:

${\displaystyle {\mathbf {x}}^{(k+1)}=D^{-1}({\mathbf {b}}-(L+U){\mathbf {x}}^{(k)})}$

Cuando la diferencia entre las suposiciones${\displaystyle {\mathbf {x}}^{(k)}}$y${\displaystyle {\mathbf {x}}^{(k+1)}}$Si es suficientemente pequeño, se dice que el algoritmo ha convergido en la solución. ^{[ 11 ]}

También existe un algoritmo cuántico para sistemas de ecuaciones lineales . ^{[ 12 ]}

Todo sistema homogéneo tiene al menos una solución, conocida como solución cero (o trivial ), que se obtiene asignando el valor cero a cada una de las variables. Si el sistema tiene una matriz no singular ( det( A ) ≠ 0 ), entonces también es la única solución. Si el sistema tiene una matriz singular, entonces existe un conjunto de soluciones con un número infinito de soluciones. Este conjunto de soluciones tiene las siguientes propiedades adicionales:

1. Si u y v son dos vectores que representan soluciones a un sistema homogéneo, entonces la suma vectorial u + v también es una solución al sistema.
2. Si u es un vector que representa una solución a un sistema homogéneo, y r es cualquier escalar , entonces r u también es una solución al sistema.

Estas son precisamente las propiedades requeridas para que el conjunto de soluciones sea un subespacio lineal de R ⁿ . En particular, el conjunto de soluciones de un sistema homogéneo es el mismo que el espacio nulo de la matriz A correspondiente .

Existe una estrecha relación entre las soluciones de un sistema lineal y las soluciones del sistema homogéneo correspondiente:

${\displaystyle A\mathbf {x} =\mathbf {b} \qquad {\text{and}}\qquad A\mathbf {x} =\mathbf {0} .}$

Específicamente, si p es cualquier solución específica del sistema lineal A x = b , entonces el conjunto completo de soluciones se puede describir como

${\displaystyle \left\{\mathbf {p} +\mathbf {v}$ :\mathbf {v} {\text{ es cualquier solución de }}A\mathbf {x} =\mathbf {0} \right\}.}

Geométricamente, esto significa que el conjunto de soluciones para A x = b es una traslación del conjunto de soluciones para A x = 0. Específicamente, el plano para el primer sistema se puede obtener trasladando el subespacio lineal para el sistema homogéneo por el vector p .

Este razonamiento solo se aplica si el sistema A x = b tiene al menos una solución. Esto ocurre si y solo si el vector b se encuentra en la imagen de la transformación lineal A.

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