Conjunto de soluciones

En matemáticas , el conjunto solución de un conjunto de ecuaciones e inecuaciones es el conjunto de todas sus soluciones, es decir, los valores que satisfacen todas las ecuaciones y inecuaciones. ^[1]

Si no hay solución, el conjunto solución es el conjunto vacío . ^[2]

• El conjunto solución de la ecuación única es el conjunto {0}.${\displaystyle x=0}$
• Como no existen números y las dos ecuaciones son simultáneamente verdaderas, el conjunto solución de este sistema es el conjunto vacío .${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$$${\displaystyle {\begin{cases}x+2y=3,&\\x+2y=-3\end{cases}}}$$ ${\displaystyle \emptyset }$
• El conjunto de soluciones de un problema de optimización restringida es su región factible .

En geometría algebraica , los conjuntos solución se denominan conjuntos algebraicos si no existen inecuaciones. Sobre los reales , y con inecuaciones, se denominan conjuntos semialgebraicos .

De manera más general, el conjunto solución de una colección arbitraria E de relaciones ( E _i ) ( i que varía en algún conjunto de índices I ) para una colección de incógnitas , que se supone toman valores en los espacios respectivos , es el conjunto S de todas las soluciones de las relaciones E , donde una solución es una familia de valores tales que sustituir por en la colección E hace que todas las relaciones sean "verdaderas". ${\displaystyle {(x_{j})}_{j\in J}}$${\displaystyle {(X_{j})}_{j\in J}}$${\displaystyle x^{(k)}}$${\textstyle {\left(x_{j}^{(k)}\right)}_{j\in J}\in \prod _{j\in J}X_{j}}$${\displaystyle {\left(x_{j}\right)}_{j\in J}}$${\displaystyle x^{(k)}}$

(En lugar de relaciones que dependen de incógnitas, se debería hablar más correctamente de predicados , la colección E es su conjunción lógica y el conjunto solución es la imagen inversa del valor booleano verdadero por la función de valor booleano asociada ).

El significado anterior es un caso especial de éste, si el conjunto de polinomios f _i se interpreta como el conjunto de ecuaciones f _i ( x )=0.

• El conjunto solución para E = { x + y = 0 } con respecto a es S = { ( a ,− a ) : a ∈ R }.${\displaystyle (x,y)\in \mathbb {R} ^{2}}$
• El conjunto solución para E = { x + y = 0 } con respecto a es S = { − y }. (Aquí, y no se "declara" como una incógnita y, por lo tanto, no debe verse como un parámetro del que depende la ecuación y, por lo tanto, el conjunto solución).${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$
• El conjunto solución para con respecto a es el intervalo S = [0,2] (ya que no está definido para valores negativos de x ).${\displaystyle E=\{{\sqrt {x}}\leq 4\}}$${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$${\displaystyle {\sqrt {x}}}$
• El conjunto de soluciones para con respecto a es S = 2π Z (véase la identidad de Euler ).${\displaystyle E=\{e^{ix}=1\}}$${\displaystyle x\in \mathbb {C} }$

• Resolución de ecuaciones
• Soluciones extrañas y faltantes