Algoritmo de Rybicki Press

El algoritmo de Rybicki-Press es un algoritmo rápido para invertir una matriz cuyas entradas están dadas por${\displaystyle A(i,j)=\exp(-a\vert t_{i}-t_{j}\vert )}$, dónde${\displaystyle a\in \mathbb {R} }$^{[ 1 ]} y donde el${\displaystyle t_{i}}$están ordenados en orden. ^{[ 2 ]} La observación clave detrás de la observación de Rybicki-Press es que la matriz inversa de dicha matriz es siempre una matriz tridiagonal (una matriz con entradas no nulas solo en la diagonal principal y las dos adyacentes), y los sistemas de ecuaciones tridiagonales se pueden resolver eficientemente (para ser más precisos, en tiempo lineal). ^{[ 1 ]} Es una optimización computacional de un conjunto general de métodos estadísticos desarrollados para determinar si dos conjuntos de datos ruidosos y muestreados irregularmente son, de hecho, representaciones desplazadas dimensionalmente de la misma función subyacente. ^{[ 3 ] [ 4 ]} El uso más común del algoritmo es en la detección de periodicidad en observaciones astronómicas , como para detectar cuásares . ^{[ 4 ]}

El método se ha extendido al algoritmo generalizado de Rybicki-Press para invertir matrices con entradas de la forma${\displaystyle A(i,j)=\sum _{k=1}^{p}a_{k}\exp(-\beta _{k}\vert t_{i}-t_{j}\vert )}$. ^{[ 2 ]} La observación clave en el algoritmo generalizado de Rybicki-Press (GRP) es que la matriz${\displaystyle A}$es una matriz semiseparable con rango${\displaystyle p}$(es decir, una matriz cuya mitad superior, sin incluir la diagonal principal, es la de alguna matriz con rango de matriz${\displaystyle p}$y cuya mitad inferior es también de algún rango posiblemente diferente${\displaystyle p}$matriz ^{[ 2 ]} ) y, por lo tanto, puede incrustarse en una matriz de banda más grande (véase la figura de la derecha), cuya estructura de dispersión puede aprovecharse para reducir la complejidad computacional. A medida que la matriz${\displaystyle A\in \mathbb {R} ^{n\times n}}$tiene un rango semi-separable de${\displaystyle p}$la complejidad computacional de resolver el sistema lineal${\displaystyle Ax=b}$o de calcular el determinante de la matriz${\displaystyle A}$escalas como${\displaystyle {\mathcal {O}}\left(p^{2}n\right)}$, lo que lo hace atractivo para matrices grandes. ^{[ 2 ]}

El hecho de que matriz${\displaystyle A}$es una matriz semiseparable que también constituye la base de la biblioteca celerite ^{[ 5 ]} , la cual es una biblioteca para la regresión de procesos gaussianos rápida y escalable en una dimensión ^{[ 6 ]} con implementaciones en C++ , Python y Julia . El método celerite ^{[ 6 ]} también proporciona un algoritmo para generar muestras a partir de una distribución de alta dimensión. El método ha encontrado aplicaciones atractivas en una amplia gama de campos, especialmente en el análisis de datos astronómicos. ^{[ 7 ] [ 8 ]}

• Matriz invertible
• Descomposición matricial
• Procesamiento de señales multidimensional
• Sistema de ecuaciones lineales

• Implementación del algoritmo generalizado de Rybicki Press.
• Librería Celerite en GitHub