Procesamiento de señales multidimensional

En el procesamiento de señales , el procesamiento de señales multidimensional abarca todo el procesamiento de señales realizado utilizando señales y sistemas multidimensionales. Si bien el procesamiento de señales multidimensional es un subconjunto del procesamiento de señales, es único en el sentido de que trata específicamente con datos que solo pueden detallarse adecuadamente utilizando más de una dimensión. En el procesamiento digital de señales mD, los datos útiles se muestrean en más de una dimensión. Ejemplos de esto son el procesamiento de imágenes y la detección por radar multisensor. Ambos ejemplos utilizan múltiples sensores para muestrear señales y formar imágenes basadas en la manipulación de estas señales múltiples. El procesamiento en multidimensional (mD) requiere algoritmos más complejos, en comparación con el caso 1-D, para manejar cálculos como la transformada rápida de Fourier debido a los más grados de libertad. ^{[ 1 ]} En algunos casos, las señales y los sistemas mD pueden simplificarse en métodos de procesamiento de señales de una sola dimensión, si los sistemas considerados son separables.

Por lo general, el procesamiento de señales multidimensionales se asocia directamente con el procesamiento de señales digitales, ya que su complejidad justifica el uso de modelado y computación computacional. ^{[ 1 ]} Una señal multidimensional es similar a una señal unidimensional en cuanto a las manipulaciones que se pueden realizar, como el muestreo , el análisis de Fourier y el filtrado . Los cálculos reales de estas manipulaciones aumentan con el número de dimensiones.

El muestreo multidimensional requiere un análisis diferente al del muestreo unidimensional típico. El muestreo unidimensional se realiza seleccionando puntos a lo largo de una línea continua y almacenando los valores de este flujo de datos. En el caso del muestreo multidimensional, los datos se seleccionan utilizando una retícula , que es un "patrón" basado en los vectores de muestreo del conjunto de datos multidimensionales. ^{[ 2 ]} Estos vectores pueden ser unidimensionales o multidimensionales, dependiendo de los datos y la aplicación. ^{[ 2 ]}

El muestreo multidimensional es similar al muestreo clásico, ya que debe cumplir con el teorema de muestreo de Nyquist-Shannon . Se ve afectado por el aliasing y se deben tener en cuenta consideraciones para la eventual reconstrucción de la señal multidimensional .

Una señal multidimensional puede representarse en términos de componentes sinusoidales. Esto se suele realizar mediante una transformada de Fourier . La transformada de Fourier multidimensional transforma una señal de su representación en el dominio de la señal a su representación en el dominio de la frecuencia . En el caso del procesamiento digital, se utiliza una transformada discreta de Fourier (DFT) para transformar una representación muestreada en el dominio de la señal a una representación en el dominio de la frecuencia.

${\displaystyle X(k_{1},k_{2},\dots ,k_{m})=\sum _{n_{1}=-\infty }^{\infty }\sum _{n_{2}=-\infty }^{\infty }\cdots \sum _{n_{m}=-\infty }^{\infty }x(n_{1},n_{2},\dots ,n_{m})e^{-j2\pi k_{1}n_{1}}e^{-j2\pi k_{2}n_{2}}\cdots e^{-j2\pi k_{m}n_{m}}}$

donde X representa la transformada discreta de Fourier multidimensional, x representa la señal muestreada en el dominio del tiempo/espacio, m representa el número de dimensiones en el sistema, n son los índices de muestra y k son las muestras de frecuencia. ^{[ 3 ]} La complejidad computacional suele ser la principal preocupación al implementar cualquier transformada de Fourier. Para señales multidimensionales, la complejidad se puede reducir mediante varios métodos diferentes. El cálculo puede simplificarse si existe independencia entre las variables de la señal multidimensional. ^{[ 3 ]} En general, las transformadas rápidas de Fourier (FFT) reducen el número de cálculos en un factor sustancial. Si bien existen varias implementaciones diferentes de este algoritmo para señales mD, dos variaciones de uso frecuente son la FFT de base vectorial y la FFT de fila-columna.

El filtrado es una parte importante de cualquier aplicación de procesamiento de señales. Al igual que en las aplicaciones típicas de procesamiento de señales unidimensionales, existen diferentes grados de complejidad en el diseño de filtros para un sistema dado. Los sistemas MD utilizan filtros digitales en muchas aplicaciones diferentes. La implementación real de estos filtros mD puede plantear un problema de diseño dependiendo de si el polinomio multidimensional es factorizable. ^{[ 3 ]} Normalmente, se diseña un filtro prototipo en una dimensión y ese filtro se extrapola a mD utilizando una función de mapeo . ^{[ 3 ]} Una de las funciones de mapeo originales de 1-D a 2D fue la Transformada de McClellan. ^{[ 4 ]} Tanto los filtros FIR como los IIR se pueden transformar a mD, dependiendo de la aplicación y la función de mapeo.

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