Procesamiento de señales multidimensionales no lineales

En el procesamiento de señales , el procesamiento de señales multidimensionales no lineales (NMSP) abarca todo el procesamiento de señales que utiliza señales y sistemas multidimensionales no lineales. El procesamiento de señales multidimensionales no lineales es un subconjunto del procesamiento de señales ( procesamiento de señales multidimensionales ). Los sistemas multidimensionales no lineales se pueden utilizar en una amplia gama de campos, como imágenes, ^{[ 1 ]} teletrafico, comunicaciones, hidrología, geología y economía. Los sistemas no lineales no se pueden tratar como sistemas lineales , utilizando la transformada de Fourier y el análisis de ondículas . Los sistemas no lineales tendrán comportamiento caótico , ciclo límite , estado estacionario , bifurcación , multiestabilidad, etc. Los sistemas no lineales no tienen una representación canónica, como la respuesta impulsional para sistemas lineales. Pero hay algunos esfuerzos para caracterizar sistemas no lineales, como Volterra y las series de Wiener utilizando integrales polinómicas , ya que el uso de estos métodos extiende naturalmente la señal a múltiples dimensiones. ^{[ 2 ] [ 3 ]} Otro ejemplo es el método de descomposición de modo empírico que utiliza la transformada de Hilbert en lugar de la transformada de Fourier para sistemas multidimensionales no lineales. ^{[ 4 ] [ 5 ]} Este método es empírico y puede aplicarse directamente a conjuntos de datos. Los filtros no lineales multidimensionales (MDNF) también son una parte importante de NMSP; los MDNF se utilizan principalmente para filtrar el ruido en datos reales. Existen filtros híbridos de tipo no lineal utilizados en el procesamiento de imágenes en color, ^{[ 1 ]} y filtros no lineales que preservan los bordes utilizados en la restauración de imágenes de resonancia magnética. Estos filtros utilizan información tanto temporal como espacial y combinan la estimación de máxima verosimilitud con el algoritmo de suavizado espacial. ^{[ 6 ]}

Una función de respuesta en frecuencia (FRF) lineal puede extenderse a un sistema no lineal mediante la evaluación de funciones de transferencia de orden superior y funciones de respuesta al impulso mediante series de Volterra . ^{[ 2 ]} Supongamos que tenemos una serie temporal${\displaystyle y(t)}$, que se descompone${\displaystyle y(t)}$en componentes de diversos órdenes ^{[ 2 ]}

${\displaystyle y(t)=y_{0}+y_{1}(t)+y_{2}(t)+\cdots +y_{n}(t).}$

Cada componente se define como

${\displaystyle y_{n}(t)=\int _{-\infty }^{+\infty }\cdots \int _{-\infty }^{+\infty }h_{n}(\tau _{1},\tau _{2},\cdots ,\tau _{n})\displaystyle \prod _{i=1}^{n}x(t-\tau _{i})d\tau _{i}}$,

para${\displaystyle n=1}$,${\displaystyle y_{1}(t)}$es la convolución lineal. ${\displaystyle h_{n}(\tau _{1},\tau _{2},\cdots ,\tau _{n})}$es la respuesta impulsional generalizada de orden${\displaystyle n}$.

La transformada de Fourier 1D de${\displaystyle y_{n}(t)}$es

${\displaystyle Y_{(n)}(\omega )=\int _{-\infty }^{+\infty }[\int _{-\infty }^{+\infty }\cdots \int _{-\infty }^{+\infty }h_{n}(\tau _{1},\cdots ,\tau _{n})\prod _{i=1}^{n}x(t-\tau _{i})d\tau _{i}]\exp(-j\omega t)dt.}$

Schetzen ^{[ 7 ]} sugirió la definición de${\displaystyle n}$el componente de salida como${\displaystyle n}$variables de tiempo${\displaystyle y_{n}(t_{1},\cdots ,t_{n})}$para permitir la aplicación de la${\displaystyle n}$transformada de Fourier dimensional,

${\displaystyle Y_{n}(\omega _{1},\cdots ,\omega _{n})=\int _{-\infty }^{+\infty }\cdots \int _{-\infty }^{+\infty }[\int _{-\infty }^{+\infty }\cdots \int _{-\infty }^{+\infty }h_{n}(\tau _{1},\cdots ,\tau _{n})x(t-\tau _{1})\cdots x(t-\tau _{n})d\tau _{1}\cdots d\tau _{n}]\times \exp(-j\omega _{1}t_{1}\cdots -j\omega _{n}t_{n})dt_{1}\cdots dt_{n}.}$

Tomando la transformada inversa de Fourier de${\displaystyle Y_{(n)}(\omega)}$y${\ Displaystyle Y_ {n} (\ omega _ {1}, \ cdots, \ omega _ {n})}$y ecualización${\displaystyle t_{1}=t_{2}=\cdots =t_{n}=t}$, obtenemos la siguiente ecuación,

${\displaystyle Y_{(n)}(\omega )=\int _{-\infty }^{+\infty }\cdots \int _{-\infty }^{+\infty }Y_{n}(\omega -\omega _{2}-\cdots -\omega _{n},\omega _{2},\cdots ,\omega _{n})d\omega _{2}d\omega _{3}\cdots d\omega _{n}.}$^{[ 2 ]}

Se aplicó un método de descomposición empírica de modo de conjunto multidimensional a datos multidimensionales que incluían imágenes y sólidos con densidad variable. La descomposición se basa en la aplicación de la descomposición empírica de modo de conjunto (EEMD) a cortes de datos en cada una de las dimensiones involucradas. La reconstrucción final de la función de modo intrínseco correspondiente se basa en un principio de combinación de escala mínima comparable. ^{[ 8 ]}

Para una señal bidimensional${\displaystyle f(m,n)}$Utilizando EEMD, la señal se descompone primero en la dirección y para obtener${\displaystyle g_{j}(m,n)}$, cada fila de${\displaystyle g_{j}(m,n)}$ se descompone utilizando EEMD .

Dejar${\displaystyle f(x,y)}$ser muestreado como${\displaystyle f(m,n)=\left({\begin{array}{cccc}f_{1,1}&f_{2,1}&\cdots &f_{M,1}\\f_{1,2}&f_{2,2}&\cdots &f_{M,2}\\\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \\f_{1,n}&f_{2,N}&\cdots &f_{M,N}\end{array}}\right),}$

La descomposición EEMD de la${\displaystyle m}$columna de${\displaystyle f(m,n)}$es

${\displaystyle f(m,\sim )=\sum _{j=1}^{J}C_{j}(m,\sim )=\sum _{j=1}^{J}\left({\begin{array}{c}c_{m,1,j}\\c_{m,2,j}\\\cdots \\c_{m,N,j}\\\end{array}}\right),}$

Después de descomponer todas las columnas obtenemos${\displaystyle j}$la matriz siendo

${\displaystyle g_{j}(m,n)=\left({\begin{array}{cccc}c_{1,1,j}&c_{2,1,j}&\cdots &c_{M,1,j}\\c_{1,2,j}&c_{2,2,j}&\cdots &c_{M,2,j}\\\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \\c_{1,N,j}&c_{2,N,j}&\cdots &c_{M,N,j}\\\end{array}}\right).}$

Este es el${\displaystyle j^{th}}$componente de los datos originales${\displaystyle f(m,n)}$

${\displaystyle n^{th}}$fila de${\displaystyle g_{j}(m,n)}$La descomposición mediante EEMD es

${\displaystyle g_{j}(\sim ,n)=\sum _{k=1}^{K}D_{j,k}(\sim ,n)=\sum _{k=1}^{K}\left({\begin{array}{cccc}d_{1,n,j,k}&d_{2,n,j,k}&\cdots &d_{M,n,j,k}\\\end{array}}\right),}$

reorganizar el componente como

${\displaystyle h_{j,k}(m,n)=\left({\begin{array}{cccc}d_{1,1,j,k}&d_{2,1,j,k}&\cdots &d_{M,1,j,k}\\d_{1,2,j,k}&d_{2,2,j,k}&\cdots &d_{M,2,j,k}\\\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \\d_{1,N,j,k}&d_{2,1,N,k}&\cdots &d_{M,N,j,k}\\\end{array}}\right),}$

Entonces${\displaystyle f(m,n)=\sum _{k=1}^{K}\sum _{j=1}^{J}h_{j,k}(m,n).}$Para una descomposición multidimensional con una${\displaystyle n}$Función de dimensión podemos usar el mismo método anterior. ^{[ 4 ]}