Ondícula

Una ondícula es una oscilación ondulatoria con una amplitud que comienza en cero, aumenta o disminuye y luego regresa a cero una o más veces. Las ondículas se denominan "oscilaciones breves". Se ha establecido una taxonomía de ondículas, basada en el número y la dirección de sus pulsos. Las ondículas poseen propiedades específicas que las hacen útiles para el procesamiento de señales .

Por ejemplo, se podría crear una ondícula con una frecuencia de do central y una duración corta, de aproximadamente una décima de segundo. Si esta ondícula se convolucionara con una señal generada a partir de la grabación de una melodía, la señal resultante sería útil para determinar cuándo  aparece la nota do central en la canción. Matemáticamente, una ondícula se correlaciona con una señal si una parte de esta es similar. La correlación es fundamental en muchas aplicaciones prácticas de las ondículas.

Como herramienta matemática, las ondículas se pueden utilizar para extraer información de diversos tipos de datos, incluyendo señales de audio e imágenes. Se necesitan conjuntos de ondículas para analizar los datos por completo. Las ondículas complementarias descomponen una señal sin interrupciones ni solapamientos, de modo que el proceso de descomposición es matemáticamente reversible. Por lo tanto, los conjuntos de ondículas complementarias son útiles en algoritmos de compresión/descompresión basados ​​en ondículas , donde se busca recuperar la información original con una pérdida mínima.

En términos formales, esta representación es una representación en serie de ondículas de una función de cuadrado integrable con respecto a un conjunto completo y ortonormal de funciones base , o a un conjunto sobrecompleto o marco de un espacio vectorial , para el espacio de Hilbert de funciones de cuadrado integrable. Esto se logra mediante estados coherentes .

En física clásica , el fenómeno de difracción se describe mediante el principio de Huygens-Fresnel , que trata cada punto de un frente de onda propagante como una colección de ondículas esféricas individuales. ^{[ 1 ]} El patrón de curvatura característico es más pronunciado cuando una onda de una fuente coherente (como un láser) encuentra una rendija/apertura cuyo tamaño es comparable a su longitud de onda . Esto se debe a la suma, o interferencia , de diferentes puntos del frente de onda (o, equivalentemente, de cada ondícula) que viajan por trayectorias de distinta longitud hasta la superficie de registro. Múltiples aberturas muy próximas entre sí (por ejemplo, una red de difracción ) pueden dar lugar a un patrón complejo de intensidad variable.

La palabra wavelet se ha utilizado durante décadas en el procesamiento de señales digitales y la geofísica de exploración. ^{[ 2 ]} La palabra francesa equivalente ondelette, que significa "onda pequeña", fue utilizada por Jean Morlet y Alex Grossmann a principios de la década de 1980.

La teoría de ondículas es aplicable a varios temas. Todas las transformadas de ondículas pueden considerarse formas de representación tiempo-frecuencia para señales de tiempo continuo (analógicas) y, por lo tanto, están relacionadas con el análisis armónico . ^{[ 3 ]} La transformada discreta de ondículas (continua en el tiempo) de una señal de tiempo discreto (muestreada) mediante el uso de bancos de filtros de tiempo discreto de configuración diádica (banda de octava) es una aproximación de ondículas a esa señal. Los coeficientes de dicho banco de filtros se denominan coeficientes de desplazamiento y de escala en la nomenclatura de ondículas. Estos bancos de filtros pueden contener filtros de respuesta de impulso finito (FIR) o de respuesta de impulso infinito (IIR). Las ondículas que forman una transformada continua de ondículas (CWT) están sujetas al principio de incertidumbre del análisis de Fourier y a la teoría de muestreo correspondiente: ^{[ 4 ]} dada una señal con algún evento, no se puede asignar simultáneamente una escala de respuesta de tiempo y frecuencia exacta a ese evento. El producto de las incertidumbres de la escala de respuesta de tiempo y frecuencia tiene un límite inferior. Así, en el escalagrama de una transformada wavelet continua de esta señal, dicho evento marca una región completa en el plano tiempo-escala, en lugar de un solo punto. Además, las bases wavelet discretas pueden considerarse en el contexto de otras formas del principio de incertidumbre. ^{[ 5 ] [ 6 ] [ 7 ] [ 8 ]}

Las transformadas wavelet se dividen generalmente en tres clases: continuas, discretas y basadas en multirresolución.

Transformadas wavelet discretas basadas en multirresolución (continuas en el tiempo)

En cualquier transformada wavelet discretizada, solo existe un número finito de coeficientes wavelet para cada región rectangular acotada en el semiplano superior. Sin embargo, cada coeficiente requiere la evaluación de una integral. En situaciones especiales, esta complejidad numérica puede evitarse si las wavelets escaladas y desplazadas forman un ^análisis multirresolución . Esto significa que debe existir una función auxiliar , la wavelet padre φ en L² ( R ), y que a es un entero. Una elección típica es a = 2 y b = 1. El par más famoso de wavelets padre y madre es la wavelet de Daubechies de 4 taps. Cabe señalar que no todas las bases wavelet discretas ortonormales pueden asociarse a un análisis multirresolución; por ejemplo, la wavelet de Journe no admite un análisis multirresolución. ^{[ 9 ]}

A partir de las ondículas madre y padre se construyen los subespacios. La ondícula padre conserva las propiedades del dominio del tiempo, mientras que la ondícula madre conserva las propiedades del dominio de la frecuencia.$${\displaystyle V_{m}=\operatorname {span} (\phi _{m,n}:n\in \mathbb {Z} ),{\text{ donde }}\phi _{m,n}(t)=2^{-m/2}\phi (2^{-m}tn)}$$$${\displaystyle W_{m}=\operatorname {span} (\psi _{m,n}:n\in \mathbb {Z} ),{\text{ donde }}\psi _{m,n}(t)=2^{-m/2}\psi (2^{-m}tn).}$$${\displaystyle V_{i}}$${\displaystyle W_{i}}$

De estos se requiere que la secuencia forme un análisis multirresolución de L ² y que los subespacios sean las "diferencias" ortogonales de la secuencia anterior, es decir, W _m es el complemento ortogonal de V _m dentro del subespacio V _{m −1} , $${\displaystyle \{0\}\subset \dots \subset V_{1}\subset V_{0}\subset V_{-1}\subset V_{-2}\subset \dots \subset L^{2}(\mathbb {R} )}$$${\displaystyle \dots,W_{1},W_{0},W_{-1},\dots}$$${\displaystyle V_{m}\oplus W_{m}=V_{m-1}.}$$

En analogía con el teorema de muestreo, se puede concluir que el espacio V _m con distancia de muestreo 2 ^m cubre más o menos la banda base de frecuencia de 0 a 1/2 ^{m -1} . Como complemento ortogonal, W _m cubre aproximadamente la banda [1/2 ^{m −1} , 1/2 ^m ].

De esas inclusiones y relaciones de ortogonalidad, especialmente , se deduce la existencia de secuencias y que satisfacen las identidades de modo que y de modo que La segunda identidad del primer par es una ecuación de refinamiento para la wavelet padre φ. Ambos pares de identidades forman la base del algoritmo de la transformada wavelet rápida .${\displaystyle V_{0}\oplus W_{0}=V_{-1}}$${\displaystyle h=\{h_{n}\}_{n\in \mathbb {Z} }}$${\displaystyle g=\{g_{n}\}_{n\in \mathbb {Z} }}$$${\displaystyle g_{n}=\langle \phi _{0,0},\,\phi _{-1,n}\rangle }$$${\textstyle \phi (t)={\sqrt {2}}\sum _{n\in \mathbb {Z} }g_{n}\phi (2t-n),}$$${\displaystyle h_{n}=\langle \psi _{0,0},\,\phi _{-1,n}\rangle }$$${\textstyle \psi (t)={\sqrt {2}}\sum _{n\in \mathbb {Z} }h_{n}\phi (2t-n).}$

Del análisis multirresolución se deriva la descomposición ortogonal del espacio L ² como Para cualquier señal o función, esto da una representación en funciones base de los subespacios correspondientes como donde los coeficientes son y $${\displaystyle L^{2}=V_{j_{0}}\oplus W_{j_{0}}\oplus W_{j_{0}-1}\oplus W_{j_{0}-2}\oplus W_{j_{0}-3}\oplus \cdots }$$${\displaystyle S\in L^{2}}$$${\displaystyle S=\sum _{k}c_{j_{0},k}\phi _{j_{0},k}+\sum _{j\leq j_{0}}\sum _{k}d_{j,k}\psi _{j,k}}$$$${\displaystyle c_{j_{0},k}=\langle S,\phi _{j_{0},k}\rangle }$$$${\displaystyle d_{j,k}=\langle S,\psi _{j,k}\rangle .}$$

Para aplicaciones prácticas y por razones de eficiencia, se prefieren las funciones continuamente diferenciables con soporte compacto como ondículas madre (prototipo). Sin embargo, para satisfacer los requisitos analíticos (en la transformada wavelet continua) y, en general, por razones teóricas, se eligen las funciones wavelet de un subespacio del espacio Este es el espacio de funciones medibles de Lebesgue que son a la vez absolutamente integrables y de cuadrado integrable en el sentido de que y${\displaystyle L^{1}(\mathbb {R} )\cap L^{2}(\mathbb {R} ).}$$${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }|\psi (t)|\,dt<\infty }$$$${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }|\psi (t)|^{2}\,dt<\infty .}$$

Estar en este espacio garantiza que uno pueda formular las condiciones de media cero y norma cuadrada uno: es la condición para media cero, y es la condición para norma cuadrada uno.$${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\psi (t)\,dt=0}$$$${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }|\psi (t)|^{2}\,dt=1}$$

Para que ψ sea una ondícula para la transformada continua de ondículas (véase allí la formulación exacta), la ondícula madre debe satisfacer un criterio de admisibilidad (en términos generales, una especie de semidiferenciabilidad) para obtener una transformada establemente invertible.

Para la transformada wavelet discreta , se requiere al menos la condición de que la serie wavelet sea una representación de la identidad en el espacio L² ( R ). La mayoría de las construcciones de la transformada wavelet discreta utilizan el análisis multirresolución , que define la wavelet mediante una función de escala. Esta función de escala es, a su vez, la solución de una ecuación funcional ^.

En la mayoría de las situaciones es útil restringir ψ a una función continua con un mayor número M de momentos nulos , es decir, para todo entero m < M.$${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }t^{m}\,\psi (t)\,dt=0.}$$

La ondícula madre se escala (o dilata) por un factor a y se traslada (o desplaza) por un factor b para dar como resultado (según la formulación original de Morlet):

$${\displaystyle \psi _{a,b}(t)={1 \over {\sqrt {a}}}\psi \left({tb \over a}\right).}$$

Para la WT continua, el par ( a , b ) varía sobre todo el semiplano R ₊ × R ; para la WT discreta, este par varía sobre un subconjunto discreto de la misma, que también se denomina grupo afín .

Estas funciones suelen denominarse erróneamente funciones base de la transformada (continua). De hecho, al igual que en la transformada continua de Fourier, no existe una base en la transformada wavelet continua. La interpretación tiempo-frecuencia utiliza una formulación sutilmente diferente (siguiendo a Delprat).

Restricción:

1. ${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {a}}}\int _{-\infty }^{\infty }\varphi _{a1,b1}(t)\varphi \left({\frac {tb}{a}}\right)\,dt}$cuando a ₁ = a y b ₁ = b ,
2. ${\displaystyle \Psi (t)}$tiene un intervalo de tiempo finito

La transformada wavelet se compara frecuentemente con la transformada de Fourier , en la que las señales se representan como una suma de sinusoides. De hecho, la transformada de Fourier puede considerarse un caso especial de la transformada wavelet continua, con la elección de la wavelet madre . La principal diferencia radica en que las wavelets están localizadas tanto en el tiempo como en la frecuencia, mientras que la transformada de Fourier estándar solo lo está en la frecuencia . La transformada de Fourier de tiempo corto (STFT) es similar a la transformada wavelet, ya que también está localizada en el tiempo y la frecuencia, pero presenta problemas con la relación de compromiso entre la resolución temporal y la frecuencia.${\displaystyle \psi (t)=e^{-2\pi it}}$

En particular, asumiendo una región de ventana rectangular, se puede pensar en la STFT como una transformada con un núcleo ligeramente diferente donde a menudo se puede escribir como , donde y u denotan respectivamente la longitud y el desplazamiento temporal de la función de ventana. Usando el teorema de Parseval , se puede definir la energía de la ondícula como A partir de esto, el cuadrado del soporte temporal de la ventana desplazada en el tiempo u viene dado por $${\displaystyle \psi (t)=g(tu)e^{-2\pi it}}$$${\displaystyle g(tu)}$${\textstyle \operatorname {rect} \left({\frac {tu}{\Delta _{t}}}\right)}$${\displaystyle \Delta _{t}}$$${\displaystyle E=\int _{-\infty }^{\infty }|\psi (t)|^{2}\,dt={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }|{\hat {\psi }}(\omega )|^{2}\,d\omega }$$$${\displaystyle \sigma _{u}^{2}={\frac {1}{E}}\int |t-u|^{2}|\psi (t)|^{2}\,dt}$$

y el cuadrado del soporte espectral de la ventana que actúa sobre una frecuencia${\displaystyle \xi }$$${\displaystyle {\hat {\sigma }}_{\xi }^{2}={\frac {1}{2\pi E}}\int |\omega -\xi |^{2}|{\hat {\psi }}(\omega )|^{2}\,d\omega }$$

La multiplicación con una ventana rectangular en el dominio del tiempo corresponde a la convolución con una función en el dominio de la frecuencia, lo que produce artefactos de oscilación espurios para ventanas temporales cortas o localizadas. Con la transformada de Fourier de tiempo continuo, esta convolución se realiza con una función delta en el espacio de Fourier, lo que da como resultado la verdadera transformada de Fourier de la señal . La función de ventana puede ser algún otro filtro de apodización , como una gaussiana . La elección de la función de ventana afectará el error de aproximación con respecto a la verdadera transformada de Fourier.${\displaystyle \operatorname {sinc} (\Delta _{t}\omega )}$${\displaystyle \Delta _{t}\to \infty }$${\displaystyle x(t)}$

El producto tiempo-ancho de banda de una celda de resolución determinada no debe excederse con la STFT. Todos los elementos base de la STFT mantienen un soporte espectral y temporal uniforme para todos los desplazamientos o desfases temporales, logrando así una resolución temporal igual para frecuencias bajas y altas. La resolución está determinada exclusivamente por el ancho de muestreo.

En contraste, las propiedades multirresolución de la transformada wavelet permiten amplios soportes temporales para frecuencias bajas, manteniendo anchos temporales cortos para frecuencias altas gracias a las propiedades de escalado de la transformada wavelet. Esta propiedad extiende el análisis tiempo-frecuencia convencional al análisis tiempo-escala. ^{[ 12 ]}

La transformada discreta de ondículas es menos compleja computacionalmente , con un tiempo de O( N ) en comparación con O( N  log N ) para la transformada rápida de Fourier (FFT). Esta ventaja computacional no es inherente a la transformada, sino que refleja la elección de una división logarítmica de la frecuencia, en contraste con las divisiones de frecuencia igualmente espaciadas de la FFT, que utiliza las mismas funciones base que la transformada discreta de Fourier (DFT). ^{[ 13 ]} Esta complejidad solo se aplica cuando el tamaño del filtro no tiene relación con el tamaño de la señal. Una ondícula sin soporte compacto , como la ondícula de Shannon, ^requeriría O( N² ). (Por ejemplo, también existe una transformada de Fourier logarítmica con una complejidad de O( N ), pero la señal original debe muestrearse logarítmicamente en el tiempo, lo que solo es útil para ciertos tipos de señales. ^{[ 14 ]} ) 

Una ondícula (o una familia de ondículas) se puede definir de varias maneras:

El desarrollo de las ondículas se puede vincular a varias líneas de pensamiento distintas, comenzando con el trabajo de Alfréd Haar a principios del siglo XX. El trabajo posterior de Dennis Gabor dio lugar a los átomos de Gabor (1946), que se construyen de forma similar a las ondículas y se aplican con fines similares.

Las contribuciones notables a la teoría de ondículas desde entonces pueden atribuirse al descubrimiento de George Zweig de la transformada continua de ondículas (CWT) en 1975 (originalmente llamada transformada coclear y descubierta mientras estudiaba la reacción del oído al sonido), ^{[ 16 ]} la formulación de Pierre Goupillaud, Alex Grossmann y Jean Morlet de lo que ahora se conoce como la CWT (1982), el trabajo inicial de Jan-Olov Strömberg sobre ondículas discretas (1983), el banco de filtros no ortogonales de Le Gall-Tabatabai (LGT) de 5/3 taps con fase lineal (1988), ^{[ 17 ] [ 18 ] [ 19 ]} las ondículas ortogonales con soporte compacto de Ingrid Daubechies (1988), el marco de multirresolución no ortogonal de Stéphane Mallat (1989), el QMF binomial de Ali Akansu (1990), Nathalie Delprat Interpretación tiempo-frecuencia de la CWT (1991), la transformada wavelet armónica de Newland (1993) y la partición de conjuntos en árboles jerárquicos (SPIHT) desarrollada por Amir Said con William A. Pearlman en 1996. ^{[ 20 ]}

El estándar JPEG 2000 fue desarrollado entre 1997 y 2000 por un comité del Joint Photographic Experts Group (JPEG) presidido por Touradj Ebrahimi (posteriormente presidente de JPEG). ^{[ 21 ]} A diferencia del algoritmo DCT utilizado por el formato JPEG original , JPEG 2000 utiliza algoritmos de transformada discreta de ondículas (DWT). Utiliza la transformada de ondículas CDF 9/7 (desarrollada por Ingrid Daubechies en 1992) para su algoritmo de compresión con pérdida , y el banco de filtros de tiempo discreto Le Gall-Tabatabai (LGT) 5/3 (desarrollado por Didier Le Gall y Ali J. Tabatabai en 1988) para su algoritmo de compresión sin pérdida . ^{[ 22 ]} La tecnología JPEG 2000 , que incluye la extensión Motion JPEG 2000 , fue seleccionada como el estándar de codificación de vídeo para cine digital en 2004. ^{[ 23 ]}

Una ondícula es una función matemática que se utiliza para dividir una función o señal de tiempo continuo en diferentes componentes de escala. Generalmente, se puede asignar un rango de frecuencia a cada componente de escala. Cada componente de escala se puede estudiar con una resolución que se ajuste a su escala. Una transformada wavelet es la representación de una función mediante ondículas. Las ondículas son copias escaladas y trasladadas (conocidas como "ondículas hijas") de una forma de onda oscilante de longitud finita o de rápida atenuación (conocida como "ondícula madre"). Las transformadas wavelet presentan ventajas sobre las transformadas de Fourier tradicionales para representar funciones con discontinuidades y picos pronunciados, y para deconstruir y reconstruir con precisión señales finitas, no periódicas y/o no estacionarias .

Las transformadas wavelet se clasifican en transformadas wavelet discretas (DWT) y transformadas wavelet continuas (CWT). Cabe destacar que tanto las DWT como las CWT son transformadas de tiempo continuo (analógicas). Se pueden utilizar para representar señales de tiempo continuo (analógicas). Las CWT operan sobre cualquier escala y traslación posibles, mientras que las DWT utilizan un subconjunto específico de valores de escala y traslación o una cuadrícula de representación.

Existen numerosas transformadas wavelet, cada una adecuada para diferentes aplicaciones. Para obtener una lista completa, consulte la lista de transformadas wavelet, pero las más comunes se enumeran a continuación:

• transformada wavelet continua (CWT)
• Transformada discreta de ondículas (DWT)
• Transformada rápida de ondículas (FWT)
• Esquema de elevación y esquema de elevación generalizado
• Descomposición de paquetes de ondículas (WPD)
• Transformada wavelet estacionaria (SWT)
• Transformada fraccional de Fourier (FRFT)
• Transformada de ondículas fraccionarias (FRWT)

Generalmente, se utiliza una aproximación a la DWT para la compresión de datos si la señal ya está muestreada, y la CWT para el análisis de señales . ^{[ 31 ] [ 32 ]} Por lo tanto, la aproximación DWT se usa comúnmente en ingeniería e informática, ^{[ 33 ]} y la CWT en investigación científica. ^{[ 34 ]}

Al igual que otras transformaciones, las transformaciones wavelet se pueden usar para transformar datos y luego codificar los datos transformados, lo que resulta en una compresión efectiva. Por ejemplo, JPEG 2000 es un estándar de compresión de imágenes que utiliza wavelets biorthogonales. Esto significa que, aunque el marco es sobrecompleto, es un marco ajustado (ver tipos de marcos de un espacio vectorial ), y las mismas funciones de marco (excepto la conjugación en el caso de wavelets complejas) se usan tanto para el análisis como para la síntesis, es decir, tanto en la transformada directa como en la inversa. Para más detalles, ver compresión wavelet .

Un uso relacionado es el suavizado/reducción de ruido de datos mediante umbralización de coeficientes wavelet, también conocida como reducción wavelet. Al aplicar un umbral adaptativo a los coeficientes wavelet que corresponden a componentes de frecuencia no deseados, se pueden realizar operaciones de suavizado y/o reducción de ruido.

Las transformadas wavelet también están empezando a utilizarse en aplicaciones de comunicación. La modulación OFDM wavelet es el esquema de modulación básico utilizado en HD-PLC (una tecnología de comunicaciones por línea eléctrica desarrollada por Panasonic ) y en uno de los modos opcionales incluidos en el estándar IEEE 1901. La modulación OFDM wavelet puede lograr muescas más profundas que la OFDM FFT tradicional y no requiere un intervalo de guarda (que suele representar una sobrecarga significativa en los sistemas OFDM FFT). ^{[ 35 ]}

eliminación de ruido mediante ondículas

Supongamos que medimos una señal ruidosa , donde representa la señal y representa el ruido. Supongamos que tiene una representación dispersa en una determinada base de ondículas, y${\displaystyle x=s+v}$${\displaystyle s}$${\displaystyle v}$${\displaystyle s}$${\displaystyle v\ \sim \ {\mathcal {N}}(0,\,\sigma ^{2}I)}$

Sea la transformada wavelet de , donde es la transformada wavelet del componente de señal y es la transformada wavelet del componente de ruido.${\displaystyle x}$${\displaystyle y=W^{T}x=W^{T}s+W^{T}v=p+z}$${\displaystyle p=W^{T}s}$${\displaystyle z=W^{T}v}$

La mayoría de los elementos son 0 o cercanos a 0, y${\displaystyle p}$${\displaystyle z\ \sim \ \ {\mathcal {N}}(0,\,\sigma ^{2}I)}$

Dado que es ortogonal, el problema de estimación se reduce a la recuperación de una señal en ruido gaussiano i.i.d. . Como es disperso, un método consiste en aplicar un modelo de mezcla gaussiana para .${\displaystyle W}$${\displaystyle p}$${\displaystyle p}$

Supongamos una distribución previa , donde es la varianza de los coeficientes "significativos" y es la varianza de los coeficientes "no significativos".${\displaystyle p\ \sim \ a{\mathcal {N}}(0,\,\sigma _{1}^{2})+(1-a){\mathcal {N}}(0,\,\sigma _{2}^{2})}$${\displaystyle \sigma _{1}^{2}}$${\displaystyle \sigma _{2}^{2}}$

Luego , se llama factor de contracción, que depende de las varianzas previas y . Al establecer a cero los coeficientes que caen por debajo de un umbral de contracción, una vez que se aplica la transformada inversa, se pierde una cantidad esperadamente pequeña de señal debido a la suposición de escasez. Se espera que los coeficientes más grandes representen principalmente la señal debido a la escasez, y estadísticamente se espera que muy poca señal, aunque la mayor parte del ruido, esté representada en dichos coeficientes de menor magnitud... por lo tanto, se espera que la operación de anulación elimine la mayor parte del ruido y no mucha señal. Normalmente, los coeficientes por encima del umbral no se modifican durante este proceso. Algunos algoritmos para la eliminación de ruido basada en ondículas también pueden atenuar los coeficientes más grandes, basándose en una estimación estadística de la cantidad de ruido que se espera que se elimine con dicha atenuación.${\displaystyle {\tilde {p}}=E(p/y)=\tau (y)y}$${\displaystyle \tau (y)}$${\displaystyle \sigma _{1}^{2}}$${\displaystyle \sigma _{2}^{2}}$

Por último, aplique la transformada wavelet inversa para obtener${\displaystyle {\tilde {s}}=W{\tilde {p}}}$

• Transformación de Chirplet
• Polinomios de Hermite
• Ondícula hermitiana
• Curvelet
• Cine digital
• Reducción de dimensiones
• Bancos de filtros
• Transformadas relacionadas con Fourier
• Compresión fractal
• Transformada fraccional de Fourier
• Ondícula de Gabor §  Espacio de ondículas ^{[ 46 ]}
• Principio de Huygens-Fresnel (ondículas físicas)
• JPEG 2000
• Análisis espectral de mínimos cuadrados para calcular la periodicidad en cualquier conjunto de datos, incluidos los espaciados de forma desigual.
• Ondícula de Morlet
• Análisis multirresolución
• Noiselet
• Ondícula no separable
• Espacio de escala
• Correlación escalada
• Shearlet
• Transformada de Fourier de corto tiempo
• Espectrograma
• Radio de banda ultraancha : transmite ondículas.
• Análisis de señales multidimensionales mediante ondículas

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