Ondícula compleja de sombrero mexicano

En matemáticas aplicadas , la ondícula compleja de sombrero mexicano es una ondícula de baja oscilación y valor complejo para la transformada continua de ondículas . Esta ondícula se formula en términos de su transformada de Fourier como la señal analítica de Hilbert de la ondícula convencional de sombrero mexicano :

${\displaystyle {\hat {\Psi }}(\omega )={\begin{cases}2{\sqrt {\frac {2}{3}}}\pi ^{-{\frac {1}{4}}}\omega ^{2}e^{-{\frac {1}{2}}\omega ^{2}}&\omega \geq 0\\0&\omega \leq 0.\end{cases}}}$

Temporalmente, esta ondícula se puede expresar en términos de la función de error , como:

${\displaystyle \Psi (t)={\frac {2}{\sqrt {3}}}\pi ^{-{\frac {1}{4}}}\left({\sqrt {\pi }}\left(1-t^{2}\right)e^{-{\frac {1}{2}}t^{2}}-\left({\sqrt {2}}it+{\sqrt {\pi }}\operatorname {erf} \left[{\frac {i}{\sqrt {2}}}t\right]\left(1-t^{2}\right)e^{-{\frac {1}{2}}t^{2}}\right)\right).}$

Esta ondícula tiene${\displaystyle O\left(|t|^{-3}\right)}$decaimiento temporal asintótico en${\displaystyle |\Psi (t)|}$, dominado por la discontinuidad de la segunda derivada de${\displaystyle {\sombrero {\Psi }}(\omega )}$en${\displaystyle \omega =0}$.

Esta ondícula fue propuesta en 2002 por Addison et al. ^{[ 1 ]} para aplicaciones que requieren un análisis tiempo-frecuencia de alta precisión temporal .