Ondícula de Mathieu

La ecuación de Mathieu es una ecuación diferencial lineal de segundo orden con coeficientes periódicos. El matemático francés E. Léonard Mathieu introdujo por primera vez esta familia de ecuaciones diferenciales, denominadas hoy en día ecuaciones de Mathieu, en su obra «Memorias sobre las vibraciones de una membrana elíptica» en 1868. «Las funciones de Mathieu son aplicables a una amplia variedad de fenómenos físicos, por ejemplo, difracción, distorsión de amplitud, péndulo invertido , estabilidad de un cuerpo flotante, cuadrupolo de radiofrecuencia y vibración en un medio con densidad modulada» ^{[ 1 ].}

Se trata de una amplia familia de sistemas de ondículas que proporciona un análisis multirresolución . La magnitud de los filtros de detalle y suavizado corresponde a funciones de Mathieu de primer tipo con exponente característico impar. El número de muescas de estos filtros se puede diseñar fácilmente eligiendo el exponente característico. Las ondículas elíptico-cilíndricas derivadas mediante este método ^{[ 2 ]} poseen potencial aplicación en los campos de la óptica y el electromagnetismo debido a su simetría.

La ecuación de Mathieu está relacionada con la ecuación de onda para el cilindro elíptico. En 1868, el matemático francés Émile Léonard Mathieu introdujo una familia de ecuaciones diferenciales que hoy se denominan ecuaciones de Mathieu . ^{[ 3 ]}

Dado${\displaystyle a\in \mathbb {R} ,q\in \mathbb {C} }$La ecuación de Mathieu viene dada por

${\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dw^{2}}}+(a-2q\cos 2w)y=0.}$

La ecuación de Mathieu es una ecuación diferencial lineal de segundo orden con coeficientes periódicos. Para q  =  0, se reduce al conocido oscilador armónico, donde a es el cuadrado de la frecuencia. ^{[ 4 ]}

La solución de la ecuación de Mathieu es el armónico elíptico-cilíndrico, conocido como función de Mathieu . Estas funciones se han aplicado durante mucho tiempo a una amplia gama de problemas de guías de onda que involucran geometría elíptica, incluyendo:

1. Análisis para guiado débil en fibras ópticas de núcleo elíptico de índice escalonado
2. transporte de potencia en guías de onda elípticas
3. evaluación de las ondas radiadas de antenas de bocina elípticas
4. Antenas microstrip anulares elípticas con excentricidad arbitraria${\displaystyle \nu }$)
5. dispersión mediante una tira recubierta.

En general, las soluciones de la ecuación de Mathieu no son periódicas. Sin embargo, para un q dado , existen soluciones periódicas para infinitos valores especiales (autovalores) de a . Para varias soluciones físicamente relevantes , y debe ser periódica de período${\displaystyle \pi }$o${\displaystyle 2\pi }$Es conveniente distinguir entre soluciones periódicas pares e impares, que se denominan funciones de Mathieu de primera especie.

Se puede considerar uno de los cuatro tipos más simples: Solución periódica (${\displaystyle \pi }$o${\displaystyle 2\pi }$) simetría (par o impar).

Para${\displaystyle q\neq 0}$, las únicas soluciones periódicas y correspondientes a cualquier valor característico${\displaystyle a=a_{r}(q)}$o${\displaystyle a=b_{r}(q)}$tienen las siguientes notaciones:

ce y se son abreviaturas de coseno-elíptico y seno-elíptico, respectivamente.

• Solución incluso periódica:$${\displaystyle ce_{r}(\omega ,q)=\sum _{m}A_{r,m}\cos {m\omega }{\text{ para }}a=a_{r}(q)}$$
• Solución periódica impar:$${\displaystyle se_{r}(\omega ,q)=\sum _{m}A_{r,m}\sin {m\omega }{\text{ para }}a=b_{r}(q)}$$

donde las sumas se toman sobre valores pares (respectivamente impares) de m si el período de y es${\displaystyle \pi }$(respectivamente${\displaystyle 2\pi }$).

Dado r , denotamos de ahora en adelante${\displaystyle A_{r,m}}$por${\displaystyle A_{m}}$, en resumen.

Se encuentran relaciones interesantes cuando${\displaystyle q\to 0}$,${\displaystyle r\neq 0}$:

$${\displaystyle \lim _{q\to 0}ce_{r}(\omega ,q)=\cos {r\omega }}$$$${\displaystyle \lim _{q\to 0}se_{r}(\omega ,q)=\sin {r\omega }}$$

La Figura 1 muestra dos formas de onda ilustrativas de cosenos elípticos, cuya forma depende en gran medida de los parámetros.${\displaystyle \nu }$y q .

Las ondículas se denotan por${\displaystyle \psi (t)}$y funciones de escalado por${\displaystyle \phi (t)}$, con sus espectros correspondientes${\displaystyle \Psi (\omega)}$ y ${\displaystyle \Phi (\omega)}$, respectivamente.

La ecuación ${\displaystyle \phi (t)={\sqrt {2}}\sum _{n\in Z}h_{n}\phi (2t-n)}$, que se conoce como la ecuación de dilatación o refinamiento , es la relación principal que determina un análisis multirresolución (MRA).

${\displaystyle H(\omega )={\frac {1}{\sqrt {2}}}\sum _ {k\in Z}h_{k}e^{j\omega k}}$es la función de transferencia del filtro de suavizado.

${\displaystyle G(\omega )={\frac {1}{\sqrt {2}}}\sum _ {k\in Z}g_{k}e^{j\omega k}}$es la función de transferencia del filtro de detalle.

La función de transferencia del "filtro de detalle" de una ondícula de Mathieu es

${\displaystyle G_{\nu }(\omega )=e^{j(\nu -2)[{\frac {\omega -\pi }{2}}]}.{\frac {ce_{\nu }({\frac {\omega -\pi }{2}},q)}{ce_{\nu }(0,q)}}.}$

La función de transferencia del "filtro de suavizado" de una ondícula de Mathieu es

${\displaystyle H_{\nu }(\omega )=-e^{j\nu [{\frac {\omega }{2}}]}.{\frac {ce_{\nu }({\frac {\omega }{2}},q)}{ce_{\nu }(0,q)}}.}$

El exponente característico${\displaystyle \nu }$debe elegirse de manera que se garanticen condiciones iniciales adecuadas, es decir${\displaystyle G_{\nu }(0)=0}$y${\displaystyle G_{\nu }(\pi )=1}$, que son compatibles con los requisitos del filtro wavelet. Por lo tanto,${\displaystyle \nu }$Debe ser extraño.

La magnitud de la función de transferencia corresponde exactamente al módulo de una elíptica-seno:

En la figura 2 se muestran ejemplos de la función de transferencia del filtro para un MRA de Mathieu. El valor de a se ajusta a un valor propio en cada caso, lo que da lugar a una solución periódica. Dichas soluciones presentan una serie de${\displaystyle \nu }$ceros en el intervalo${\displaystyle 0\leq |\omega |\leq \pi }$.

Los coeficientes de filtro G y H del MRA de Mathieu se pueden expresar en términos de los valores${\displaystyle \{A_{2l+1}\}_{l\in Z}}$de la función de Mathieu como:

${\displaystyle {\frac {h_{l}}{\sqrt {2}}}=-{\frac {A_{|2l+1|}/2}{ce_{\nu }(0,q)}}}$

${\displaystyle {\frac {g_{l}}{\sqrt {2}}}=(-1)^{l}{\frac {A_{|2l-3|}/2}{ce_{\nu }(0,q)}}}$

Existen relaciones de recurrencia entre los coeficientes:

${\displaystyle (a-1-q)A_{1}-qA_{3}=0}$

${\displaystyle (am^{2})A_{m}-q(A_{m-2}+A_{m+2}=0}$

para${\displaystyle m\geq 3}$, m impar.

Es sencillo demostrar que ${\displaystyle h_{-l}=h_{|l|-1}}$,${\displaystyle \forall l>0}$.

Las condiciones de normalización son ${\displaystyle \sum _{k=-\infty }^{k=+\infty }{h_{k}=-1}}$y${\displaystyle \sum _{k=-\infty }^{k=+\infty }{(-1)^{k}h_{k}=0}}$.

Las ondículas de Mathieu se pueden obtener a partir del filtro de reconstrucción de paso bajo mediante el algoritmo en cascada . Se deben usar filtros de respuesta impulsional infinita ( filtros IIR ) ya que la ondícula de Mathieu no tiene soporte compacto . La figura 3 muestra un patrón emergente que se asemeja progresivamente a la forma de la ondícula. Dependiendo de los parámetros a y q, algunas formas de onda (por ejemplo, la figura 3b) pueden presentar una forma algo inusual.