Análisis multirresolución

El análisis multirresolución ( MRA ) o aproximación multiescala ( MSA ) es el método de diseño de la mayoría de las transformadas discretas de ondículas (DWT) de relevancia práctica y la justificación del algoritmo de la transformada rápida de ondículas (FWT). Fue introducido en este contexto en 1988/89 por Stephane Mallat e Yves Meyer y tiene precedentes en el análisis microlocal en la teoría de ecuaciones diferenciales (el método de planchado ) y los métodos piramidales de procesamiento de imágenes introducidos en 1981/83 por Peter J. Burt, Edward H. Adelson y James L. Crowley .

Un análisis multirresolución del espacio de Lebesgue${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} )}$Consiste en una secuencia de subespacios anidados.

${\displaystyle \{0\}\subset \dots \subset V_{1}\subset V_{0}\subset V_{-1}\subset \dots \subset V_{-n}\subset V_{-(n+1)}\subset \dots \subset L^{2}(\mathbb {R} )}$

que satisface ciertas relaciones de autosimilitud en el espacio-tiempo y la frecuencia-escala, así como relaciones de completitud y regularidad.

• La autosimilitud en el tiempo exige que cada subespacio V _k sea invariante bajo desplazamientos por múltiplos enteros de 2 ^k . Es decir, para cada${\displaystyle f\in V_{k},\;m\in \mathbb {Z} }$la función g definida como${\displaystyle g(x)=f(x-m2^{k})}$también contenido en${\displaystyle V_{k}}$.
• La autosimilitud en escala exige que todos los subespacios${\displaystyle V_{k}\subset V_{l},\;k>l,}$son versiones escaladas en el tiempo unas de otras, con un factor de dilatación de escala respectivamente de 2 ^k-l . Es decir, para cada${\displaystyle f\in V_{k}}$hay un${\displaystyle g\in V_{l}}$con${\displaystyle \forall x\in \mathbb {R}$ :\;g(x)=f(2^{kl}x)} .
• En la secuencia de subespacios, para k > l la resolución espacial 2 ^l del l -ésimo subespacio es mayor que la resolución 2 ^k del k -ésimo subespacio.
• La regularidad exige que el subespacio modelo V ₀ se genere como la envoltura lineal ( algebraica o incluso topológicamente cerrada ) de los desplazamientos enteros de una o un número finito de funciones generadoras.${\displaystyle \phi }$o${\displaystyle \phi _{1},\dots,\phi _{r}}$Esos desplazamientos enteros deberían al menos formar un marco para el subespacio.${\displaystyle V_{0}\subset L^{2}(\mathbb {R} )}$, que impone ciertas condiciones sobre el decaimiento en el infinito . Las funciones generadoras también se conocen como funciones de escala o wavelets padre . En la mayoría de los casos se exige que esas funciones sean continuas a trozos con soporte compacto .
• La completitud exige que esos subespacios anidados llenen todo el espacio, es decir, su unión debe ser densa en${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} )}$y que no sean demasiado redundantes, es decir, su intersección solo debe contener el elemento cero .

En el caso de una función de escala continua (o al menos con variación acotada) con soporte compacto y desplazamientos ortogonales, se pueden realizar varias deducciones. La demostración de la existencia de esta clase de funciones se debe a Ingrid Daubechies .

Suponiendo que la función de escalado tiene soporte compacto, entonces${\ Displaystyle V_ {0} \ subconjunto V_ {-1}}$implica que existe una secuencia finita de coeficientes${\displaystyle a_{k}=2\langle \phi (x),\phi (2x-k)\rangle }$para${\displaystyle |k|\leq N}$, y${\displaystyle a_{k}=0}$para${\displaystyle |k|>N}$, de tal manera que

${\displaystyle \phi (x)=\sum _{k=-N}^{N}a_{k}\phi (2x-k).}$

Definir otra función, conocida como ondícula madre o simplemente ondícula.

${\displaystyle \psi (x):=\sum _{k=-N}^{N}(-1)^{k}a_{1-k}\phi (2x-k),}$

uno puede demostrar que el espacio${\ Displaystyle W_ {0} \ subconjunto V_ {-1}}$, que se define como la envoltura lineal (cerrada) de los desplazamientos enteros de la ondícula madre, es el complemento ortogonal a${\displaystyle V_{0}}$adentro${\displaystyle V_{-1}}$. ^{[ 1 ]} O dicho de otra manera,${\displaystyle V_{-1}}$es la suma ortogonal (denotada por${\displaystyle \oplus }$) de${\displaystyle W_{0}}$y${\displaystyle V_{0}}$Por autosimilitud, existen versiones escaladas.${\displaystyle W_{k}}$de${\displaystyle W_{0}}$y por completitud uno tiene

${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} )={\mbox{cierre de }}\bigoplus _{k\in \mathbb {Z} }W_{k},}$

por lo tanto el conjunto

${\displaystyle \{\psi _{k,n}(x)={\sqrt {2}}^{-k}\psi (2^{-k}xn):\;k,n\in \mathbb {Z} \}}$

es una base de ondículas ortonormales completas y numerables en${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} )}$.

• Método multigrid
• Modelado multiescala
• Espacio de escala
• Análisis tiempo-frecuencia
• Ondícula

• Chui, Charles K. (1992). Introducción a las ondículas . San Diego: Academic Press. ISBN 0-585-47090-1.
• Akansu, AN ; Haddad, RA (1992). Descomposición de señales multirresolución: transformadas, subbandas y ondículas . Academic Press. ISBN 978-0-12-047141-6.
• Crowley, JL, (1982). Representaciones para la información visual , Tesis doctoral, Universidad Carnegie-Mellon, 1982.
• Burrus, CS ; Gopinath, RA; Guo, H. (1997). Introducción a las ondículas y las transformadas de ondículas: una introducción . Prentice-Hall. ISBN 0-13-489600-9.
• Mallat, SG (1999). Un recorrido por el procesamiento de señales mediante ondículas . Academic Press. ISBN 0-12-466606-X.