Péndulo invertido

En una configuración donde el punto de pivote del péndulo está fijo en el espacio, la ecuación de movimiento es similar a la de un péndulo no invertido . La ecuación de movimiento que se muestra a continuación supone que no hay fricción ni ninguna otra resistencia al movimiento, una varilla rígida sin masa y la restricción al movimiento bidimensional .

${\displaystyle {\ddot {\theta }}-{g \over \ell }\sin \theta =0}$

Dónde${\displaystyle {\ddot {\theta }}}$es la aceleración angular del péndulo,${\displaystyle g}$es la gravedad estándar en la superficie de la Tierra,${\displaystyle \ell }$es la longitud del péndulo, y${\displaystyle \theta }$es el desplazamiento angular medido desde la posición de equilibrio.

Cuando${\displaystyle {\ddot {\theta }}}$Sumado a ambos lados, tiene el mismo signo que el término de aceleración angular:

${\displaystyle {\ddot {\theta }}={g \over \ell }\sin \theta }$

Así, el péndulo invertido acelera alejándose del equilibrio vertical inestable en la dirección inicialmente desplazada, y la aceleración es inversamente proporcional a la longitud. Los péndulos altos caen más lentamente que los cortos.

Derivación mediante par motor y momento de inercia:

Se supone que el péndulo consta de una masa puntual, de masa${\displaystyle m}$, fijado al extremo de una varilla rígida sin masa, de longitud${\displaystyle \ell }$, unido a un punto de pivote en el extremo opuesto a la masa puntual.

El par neto del sistema debe ser igual al momento de inercia multiplicado por la aceleración angular:

${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}_{\mathrm {net} }=I{\ddot {\theta }}}$

El par de torsión debido a la gravedad proporciona el par de torsión neto:

${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}_{\mathrm {net} }=mg\ell \sin \theta \,\!}$

Dónde${\displaystyle \theta \ }$es el ángulo medido desde la posición de equilibrio invertida.

La ecuación resultante:

${\displaystyle I{\ddot {\theta }}=mg\ell \sin \theta \,\!}$

El momento de inercia de una masa puntual:

${\displaystyle I=mR^{2}}$

En el caso del péndulo invertido, el radio es la longitud de la varilla,${\displaystyle \ell }$.

Sustituyendo en${\displaystyle I=m\ell ^{2}}$

${\displaystyle m\ell ^{2}{\ddot {\theta }}=mg\ell \sin \theta \,\!}$

Masa y${\displaystyle \ell ^{2}}$se divide desde cada lado, lo que resulta en:

${\displaystyle {\ddot {\theta }}={g \over \ell }\sin \theta }$

Un péndulo invertido sobre un carro consta de una masa${\displaystyle m}$en la parte superior de un poste de longitud${\displaystyle \ell }$El carro pivota sobre una base que se mueve horizontalmente, como se muestra en la imagen adjunta. Su movimiento está restringido a una línea recta y está sujeto a fuerzas que provocan o dificultan dicho movimiento.

Los aspectos esenciales para estabilizar el péndulo invertido se pueden resumir cualitativamente en tres pasos.

1. Si el ángulo de inclinación${\displaystyle \theta }$Si el carro está a la derecha, debe acelerar hacia la derecha y viceversa.

2. La posición del carrito${\displaystyle x}$La estabilidad relativa al centro de la vía se estabiliza modulando ligeramente el ángulo nulo (el error angular que el sistema de control intenta anular) por la posición del carro, es decir, el ángulo nulo.${\displaystyle =\theta +kx}$dónde${\displaystyle k}$es pequeño. Esto hace que el poste tienda a inclinarse ligeramente hacia el centro de la pista y estabilizarse en ese punto, donde el ángulo de inclinación es exactamente vertical. Cualquier desviación en el sensor de inclinación o en la pendiente de la pista que de otro modo causaría inestabilidad se traduce en una desviación de posición estable. Una desviación adicional proporciona control de posición.

3. Un péndulo normal sujeto a un punto de pivote móvil, como una carga levantada por una grúa, tiene una respuesta máxima en la frecuencia angular del péndulo.${\displaystyle \omega _{p}={\sqrt {g/\ell }}}$Para evitar oscilaciones incontroladas, el espectro de frecuencia del movimiento del pivote debe suprimirse cerca de${\displaystyle \omega _{p}}$El péndulo invertido requiere el mismo filtro de supresión para lograr estabilidad.

Como consecuencia de la estrategia de modulación de ángulo nulo, la retroalimentación de posición es positiva; es decir, una orden repentina de movimiento a la derecha produce un movimiento inicial del carro hacia la izquierda, seguido de un movimiento a la derecha para reequilibrar el péndulo. La interacción entre la inestabilidad del péndulo y la inestabilidad de la retroalimentación de posición positiva para producir un sistema estable es una característica que convierte el análisis matemático en un problema interesante y desafiante.

Las ecuaciones de movimiento se pueden derivar utilizando las ecuaciones de Lagrange . Nos remitimos al dibujo de la derecha donde${\displaystyle \theta (t)}$es el ángulo del péndulo de longitud${\displaystyle l}$con respecto a la dirección vertical y las fuerzas que actúan son la gravedad y una fuerza externa F en la dirección x. Defina${\displaystyle x(t)}$ser la posición del carrito.

La energía cinética${\displaystyle T}$del sistema es:

${\displaystyle T={\frac {1}{2}}Mv_{1}^{2}+{\frac {1}{2}}mv_{2}^{2},}$

dónde${\displaystyle v_{1}}$es la velocidad del carro y${\displaystyle v_{2}}$es la velocidad de la masa puntual${\displaystyle m}$. ${\displaystyle v_{1}}$y${\displaystyle v_{2}}$se puede expresar en términos de x y${\displaystyle \theta }$escribiendo la velocidad como la primera derivada de la posición;

${\displaystyle v_{1}^{2}={\dot {x}}^{2},}$

${\displaystyle v_{2}^{2}=\left({\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}t}}{\left(x-\ell \sin \theta \right)}\right)^{2}+\left({\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}t}}{\left(\ell \cos \theta \right)}\right)^{2}.}$

Simplificando la expresión para${\displaystyle v_{2}}$conduce a:

${\displaystyle v_{2}^{2}={\dot {x}}^{2}-2\ell {\dot {x}}{\dot {\theta }}\cos \theta +\ell ^{2}{\dot {\theta }}^{2}.}$

La energía cinética ahora viene dada por:

${\displaystyle T={\frac {1}{2}}\left(M+m\right){\dot {x}}^{2}-m\ell {\dot {x}}{\dot {\theta }}\cos \theta +{\frac {1}{2}}m\ell ^{2}{\dot {\theta }}^{2}.}$

Las coordenadas generalizadas del sistema son${\displaystyle \theta }$y${\displaystyle x}$, cada uno tiene una fuerza generalizada. En el${\displaystyle x}$eje, la fuerza generalizada${\displaystyle Q_{x}}$puede calcularse a través de su trabajo virtual

${\displaystyle Q_{x}\delta x=F\delta x,\quad Q_{x}=F,}$

en el${\displaystyle \theta }$eje, la fuerza generalizada${\displaystyle Q_{\theta }}$También se puede calcular a través de su trabajo virtual.

${\displaystyle Q_{\theta }\delta \theta =mgl\sin \theta \delta \theta ,\quad Q_{\theta }=mgl\sin \theta .}$

Según las ecuaciones de Lagrange , las ecuaciones de movimiento son:

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\partial {T} \over \partial {\dot {x}}}-{\partial {T} \over \partial x}=F,}$

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\partial {T} \over \partial {\dot {\theta }}}-{\partial {T} \over \partial \theta }=mgl\sin \theta ,}$

sustituyendo${\displaystyle T}$En estas ecuaciones, al simplificarlas se llega a las ecuaciones que describen el movimiento del péndulo invertido:

${\displaystyle \left(M+m\right){\ddot {x}}-m\ell {\ddot {\theta }}\cos \theta +m\ell {\dot {\theta }}^{2}\sin \theta =F,}$

${\displaystyle \ell {\ddot {\theta }}-g\sin \theta ={\ddot {x}}\cos \theta .}$

Estas ecuaciones no son lineales, pero dado que el objetivo de un sistema de control sería mantener el péndulo en posición vertical, las ecuaciones se pueden linealizar alrededor de${\displaystyle \theta \approx 0}$.

Las fuerzas generalizadas pueden escribirse como energía potencial.${\displaystyle V_{x}}$y${\displaystyle V_{\theta }}$,

Según el principio de D'Alembert , las fuerzas generalizadas y la energía potencial están relacionadas:

${\displaystyle Q_{j}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\frac {\partial V}{\partial {\dot {q}}_{j}}}-{\frac {\partial V}{\partial q_{j}}}\,,}$

Sin embargo, en determinadas circunstancias, la energía potencial no es accesible; solo se dispone de fuerzas generalizadas.

Después de obtener el lagrangiano${\displaystyle L=T-V}$También podemos utilizar la ecuación de Euler-Lagrange para resolver las ecuaciones de movimiento:

${\displaystyle {\frac {\partial L}{\partial x}}-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {x}}}}\right)=0}$,

${\displaystyle {\frac {\partial L}{\partial \theta }}-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {\theta }}}}\right)=0}$.

La única diferencia radica en si se incorporan o no las fuerzas generalizadas a la energía potencial.${\displaystyle V_{j}}$o escribirlos explícitamente como${\displaystyle Q_{j}}$En el lado derecho, todos conducen a las mismas ecuaciones en la final.

A menudo resulta beneficioso utilizar la segunda ley de Newton en lugar de las ecuaciones de Lagrange, ya que estas últimas proporcionan las fuerzas de reacción en la articulación entre el péndulo y el carro. Dichas ecuaciones generan dos ecuaciones para cada cuerpo: una en el eje x y otra en el eje y. Las ecuaciones de movimiento del carro se muestran a continuación, donde el lado izquierdo representa la suma de las fuerzas que actúan sobre el cuerpo y el lado derecho, la aceleración.

${\displaystyle F-R_{x}=M{\ddot {x}}}$

${\displaystyle F_{N}-R_{y}-Mg=0}$

En las ecuaciones anteriores${\displaystyle R_{x}}$y${\displaystyle R_{y}}$son fuerzas de reacción en la articulación.${\displaystyle F_{N}}$es la fuerza normal aplicada al carro. Esta segunda ecuación depende solo de la fuerza de reacción vertical, por lo que la ecuación se puede usar para calcular la fuerza normal. La primera ecuación se puede usar para calcular la fuerza de reacción horizontal. Para completar las ecuaciones de movimiento, se debe calcular la aceleración de la masa puntual unida al péndulo. La posición de la masa puntual se puede dar en coordenadas inerciales como

${\displaystyle {\vec {r}}_{P}=(x-\ell \sin \theta ){\hat {x}}_{I}+\ell \cos \theta {\hat {y}}_{I}}$

Al tomar dos derivadas se obtiene el vector de aceleración en el sistema de referencia inercial.

${\displaystyle {\vec {a}}_{P/I}=({\ddot {x}}+\ell {\dot {\theta }}^{2}\sin \theta -\ell {\ddot {\theta }}\cos \theta ){\hat {x}}_{I}+(-\ell {\dot {\theta }}^{2}\cos \theta -\ell {\ddot {\theta }}\sin \theta ){\hat {y}}_{I}}$

Luego, aplicando la segunda ley de Newton, se pueden escribir dos ecuaciones en los ejes x e y. Nótese que las fuerzas de reacción son positivas cuando se aplican al péndulo y negativas cuando se aplican al carro. Esto se debe a la tercera ley de Newton.

${\displaystyle R_{x}=m({\ddot {x}}+\ell {\dot {\theta }}^{2}\sin \theta -\ell {\ddot {\theta }}\cos \theta )}$

${\displaystyle R_{y}-mg=m(-\ell {\dot {\theta }}^{2}\cos \theta -\ell {\ddot {\theta }}\sin \theta )}$

La primera ecuación permite otra forma de calcular la fuerza de reacción horizontal en caso de que la fuerza aplicada sea${\displaystyle F}$no se conoce. La segunda ecuación se puede utilizar para calcular la fuerza de reacción vertical. La primera ecuación de movimiento se deriva sustituyendo${\displaystyle F-R_{x}=M{\ddot {x}}}$en${\displaystyle R_{x}=m({\ddot {x}}+\ell {\dot {\theta }}^{2}\sin \theta -\ell {\ddot {\theta }}\cos \theta )}$, lo que produce

${\displaystyle \left(M+m\right){\ddot {x}}-m\ell {\ddot {\theta }}\cos \theta +m\ell {\dot {\theta }}^{2}\sin \theta =F}$

A simple vista, esta ecuación es idéntica al resultado del método de Lagrange. Para obtener la segunda ecuación, la ecuación de movimiento del péndulo debe escalarse con un vector unitario que sea perpendicular al péndulo en todo momento y que normalmente se denota como la coordenada x del sistema de referencia del cuerpo. En coordenadas inerciales, este vector se puede escribir utilizando una sencilla transformación de coordenadas bidimensional.

${\displaystyle {\hat {x}}_{B}=\cos \theta {\hat {x}}_{I}+\sin \theta {\hat {y}}_{I}}$

La ecuación de movimiento del péndulo escrita en forma vectorial es${\displaystyle \sum {\vec {F}}=m{\vec {a}}_{P/I}}$Puntos${\displaystyle {\hat {x}}_{B}}$Al realizar ambas operaciones, se obtiene lo siguiente en el lado izquierdo (tenga en cuenta que una transpuesta es lo mismo que un producto escalar ).

${\displaystyle ({\hat {x}}_{B})^{T}\sum {\vec {F}}=({\hat {x}}_{B})^{T}(R_{x}{\hat {x}}_{I}+R_{y}{\hat {y}}_{I}-mg{\hat {y}}_{I})=({\hat {x}}_{B})^{T}(R_{p}{\hat {y}}_{B}-mg{\hat {y}}_{I})=-mg\sin \theta }$

En la ecuación anterior se utiliza la relación entre las componentes de las fuerzas de reacción en el sistema de referencia del cuerpo y las componentes de las fuerzas de reacción en el sistema de referencia inercial. La suposición de que la barra que conecta la masa puntual con el carro no tiene masa implica que esta barra no puede transferir ninguna carga perpendicular a ella. Por lo tanto, las componentes de las fuerzas de reacción en el sistema de referencia inercial se pueden escribir simplemente como${\displaystyle R_{p}{\hat {y}}_{B}}$lo que significa que la barra solo puede transferir cargas a lo largo de su propio eje. Esto da lugar a otra ecuación que se puede utilizar para calcular la tensión en la propia barra:

${\displaystyle R_{p}={\sqrt {R_{x}^{2}+R_{y}^{2}}}}$

El lado derecho de la ecuación se calcula de forma similar mediante el método de puntos.${\displaystyle {\hat {x}}_{B}}$con la aceleración del péndulo. El resultado (tras algunas simplificaciones) se muestra a continuación.

${\displaystyle m({\hat {x}}_{B})^{T}({\vec {a}}_{P/I})=m({\ddot {x}}\cos \theta -\ell {\ddot {\theta }})}$

Combinando el lado izquierdo con el lado derecho y dividiendo por m se obtiene

${\displaystyle \ell {\ddot {\theta }}-g\sin \theta ={\ddot {x}}\cos \theta }$

lo cual, de nuevo, es idéntico al resultado del método de Lagrange. La ventaja de usar el método de Newton es que se revelan todas las fuerzas de reacción para garantizar que nada se dañe.

Para una derivación de las ecuaciones de movimiento a partir de la segunda ley de Newton, como se indicó anteriormente, utilizando la Symbolic Math Toolbox ^{[ 4 ]} y las referencias allí citadas.

Un péndulo invertido, cuyo pivote oscila rápidamente hacia arriba y hacia abajo, puede ser estable en la posición invertida. Este se conoce como péndulo de Kapitza , en honor al físico ruso Pyotr Kapitza, quien lo analizó por primera vez. La ecuación de movimiento para un péndulo conectado a una base oscilante sin masa se deriva de la misma manera que para el péndulo sobre un carro. La posición de la masa puntual viene dada por:

${\displaystyle \left(-\ell \sin \theta ,y+\ell \cos \theta \right)}$

y la velocidad se obtiene calculando la primera derivada de la posición:

${\displaystyle v^{2}={\dot {y}}^{2}-2\ell {\dot {y}}{\dot {\theta }}\sin \theta +\ell ^{2}{\dot {\theta }}^{2}.}$

El lagrangiano para este sistema se puede escribir como:

${\displaystyle L={\frac {1}{2}}m\left({\dot {y}}^{2}-2\ell {\dot {y}}{\dot {\theta }}\sin \theta +\ell ^{2}{\dot {\theta }}^{2}\right)-mg\left(y+\ell \cos \theta \right)}$

y la ecuación de movimiento se deduce de:

${\displaystyle {\mathrm {d} \over \mathrm {d} t}{\partial {L} \over \partial {\dot {\theta }}}-{\partial {L} \over \partial \theta }=0}$

Resultando en:

${\displaystyle \ell {\ddot {\theta }}-{\ddot {y}}\sin \theta =g\sin \theta .}$

Si y representa un movimiento armónico simple ,${\displaystyle y=A\sin \omega t}$La siguiente ecuación diferencial es:

${\displaystyle {\ddot {\theta }}-{g \over \ell }\sin \theta =-{A \over \ell }\omega ^{2}\sin \omega t\sin \theta .}$

Esta ecuación no tiene soluciones elementales en forma cerrada, pero puede explorarse de diversas maneras. Se aproxima bastante a la ecuación de Mathieu , por ejemplo, cuando la amplitud de las oscilaciones es pequeña. Los análisis muestran que el péndulo permanece vertical para oscilaciones rápidas. El primer gráfico muestra que cuando${\displaystyle y}$es una oscilación lenta, el péndulo cae rápidamente cuando se le perturba desde la posición vertical. El ángulo${\displaystyle \theta }$supera los 90° después de un breve tiempo, lo que significa que el péndulo ha caído al suelo. Si ${\displaystyle y}$es una oscilación rápida el péndulo puede mantenerse estable alrededor de la posición vertical. El segundo gráfico muestra que cuando se perturba la posición vertical, el péndulo ahora comienza una oscilación alrededor de la posición vertical (${\displaystyle \theta =0}$La desviación de la posición vertical se mantiene pequeña y el péndulo no se cae.