péndulo de Furuta

Consideremos el péndulo invertido rotacional montado sobre un motor de CC como se muestra en la Fig. 1. El motor de CC se utiliza para aplicar un par motor.${\displaystyle \tau _{1}}$al Brazo 1. El enlace entre el Brazo 1 y el Brazo 2 no está accionado, pero puede girar libremente. Los dos brazos tienen longitudes ${\displaystyle L_{1}}$ y ${\displaystyle L_{2}}$Los brazos tienen masas ${\displaystyle m_{1}}$y ${\displaystyle m_{2}}$que se encuentran en${\displaystyle l_{1}}$ y${\displaystyle l_{2}}$ respectivamente, que son las longitudes desde el punto de rotación del brazo hasta su centro de masa . Los brazos tienen tensores de inercia. ${\displaystyle {\boldsymbol {J}}_{1}}$y${\displaystyle {\boldsymbol {J}}_{2}}$(alrededor del centro de masa de los brazos respectivamente). Cada articulación rotacional está amortiguada viscosamente con coeficientes de amortiguación ${\displaystyle b_{1}}$y ${\displaystyle b_{2}}$, dónde ${\displaystyle b_{1}}$es la amortiguación proporcionada por los cojinetes del motor y ${\displaystyle b_{2}}$es la amortiguación que surge del acoplamiento de pasador entre el brazo 1 y el brazo 2.

Se ha utilizado un sistema de coordenadas diestro para definir las entradas, los estados y los sistemas de coordenadas cartesianas 1 y 2. Los ejes de coordenadas del brazo 1 y del brazo 2 son los ejes principales, de modo que los tensores de inercia son diagonales.

La rotación angular del brazo 1,${\displaystyle \theta _{1}}$, se mide en el plano horizontal donde una dirección en sentido contrario a las agujas del reloj (vista desde arriba) es positiva. La rotación angular del Brazo 2,${\displaystyle \theta _{2}}$Se mide en el plano vertical, donde una dirección en sentido contrario a las agujas del reloj (vista desde el frente) es positiva. Cuando el brazo cuelga en la posición de equilibrio estable.${\displaystyle \theta _{2}=0}$.

El par que el servomotor aplica al brazo 1,${\displaystyle \tau _{1}}$, es positivo en sentido antihorario (visto desde arriba). Un par de perturbación, ${\displaystyle \tau _{2}}$, es experimentado por el Brazo 2, donde una dirección en sentido contrario a las agujas del reloj (vista desde el frente) es positiva.

Antes de derivar la dinámica del sistema, es necesario hacer una serie de suposiciones. Estas son:

• Se supone que el eje del motor y el brazo 1 están acoplados rígidamente y son infinitamente rígidos.
• Se supone que el brazo 2 es infinitamente rígido.
• Los ejes de coordenadas del Brazo 1 y del Brazo 2 son los ejes principales, de modo que los tensores de inercia son diagonales.
• Se supone que la inercia del rotor del motor es despreciable. Sin embargo, este término se puede añadir fácilmente al momento de inercia del brazo 1.
• Solo se considera la amortiguación viscosa . Se han omitido todas las demás formas de amortiguación (como la de Coulomb); sin embargo, es sencillo añadirla a la ecuación diferencial final que rige el sistema.

Las ecuaciones de movimiento no lineales vienen dadas por ^{[ 15 ].}

${\displaystyle {\ddot {\theta }}_{1}\left(J_{1zz}+m_{1}l_{1}^{2}+m_{2}L_{1}^{2}+(J_{2yy}+m_{2}l_{2}^{2})\sin ^{2}(\theta _ {2})+J_{2xx}\cos ^{2}(\theta _{2})\right)+{\ddot {\theta }}_{2}m_{2}L_{1}l_{2}\cos(\theta _{2})-m_{2}L_{1}l_{2}\sin(\theta _{2}){\dot {\theta }}_{2}^{2}+{\dot {\theta }}_{1}{\dot {\theta }}_ {2}\sin(2\theta _{2})(m_{2}l_{2}^{2}+J_{2yy}-J_{2xx})+b_{1}{\dot {\theta }}_{1}=\tau _{1}}$

y

${\displaystyle {\ddot {\theta }}_{1}m_{2}L_{1}l_{2}\cos(\theta _{2})+{\ddot {\theta }}_{2}(m_{2}l_{2}^{2}+J_{2zz})+1/2{\dot {\theta }}_{1}^{2}\sin(2\theta _{2})(-m_{2}l_{2}^{2}-J_{2yy}+J_{2xx})+b_{2}{\dot {\theta }}_{2}+gm_{2}l_{2}\sin(\theta _{2})=\tau _{2}}$

La mayoría de los péndulos de Furuta tienden a tener brazos largos y delgados, de modo que el momento de inercia a lo largo del eje de los brazos es despreciable. Además, la mayoría de los brazos presentan simetría rotacional, de manera que los momentos de inercia en dos de los ejes principales son iguales. Por lo tanto, los tensores de inercia pueden aproximarse de la siguiente manera:

${\displaystyle {\boldsymbol {J}}_{1}=diag[J_{1xx},J_{1yy},J_{1zz}]=diag[0,J_{1},J_{1}]}$

${\displaystyle {\boldsymbol {J}}_{2}=diag[J_{2xx},J_{2yy},J_{2zz}]=diag[0,J_{2},J_{2}]}$

Se obtienen simplificaciones adicionales realizando las siguientes sustituciones. El momento de inercia total del brazo 1 con respecto al punto de pivote (utilizando el teorema de los ejes paralelos ) es${\displaystyle {\sombrero {J_{1}}}=J_{1}+m_{1}l_{1}^{2}}$. El momento de inercia total del brazo 2 con respecto a su punto de pivote es${\displaystyle {\sombrero {J_{2}}}=J_{2}+m_{2}l_{2}^{2}}$. Finalmente, defina el momento de inercia total que experimenta el rotor del motor cuando el péndulo (Brazo 2) está en su posición de equilibrio (colgando verticalmente hacia abajo),${\displaystyle {\hat {J_{0}}}={\hat {J}}_{1}+m_{2}L_{1}^{2}=J_{1}+m_{1}l_{1}^{2}+m_{2}L_{1}^{2}}$.

Sustituyendo las definiciones anteriores en las DE que rigen se obtiene la forma más compacta.

${\displaystyle {\ddot {\theta }}_{1}\left({\hat {J_{0}}}+{\hat {J_{2}}}\sin ^{2}(\theta _{2})\right)+{\ddot {\theta }}_{2}m_{2}L_{1}l_{2}\cos(\theta _{2})-m_{2}L_{1}l_{2}\sin(\theta _{2}){\dot {\theta }}_{2}^{2}+{\dot {\theta }}_{1}{\dot {\theta }}_{2}\sin(2\theta _{2}){\hat {J_{2}}}+b_{1}{\dot {\theta }}_ {1} = \ tau _ {1}}$

y

${\displaystyle {\ddot {\theta }}_{1}m_{2}L_{1}l_{2}\cos(\theta _{2})+{\ddot {\theta }}_{2}{\hat {J_{2}}}-1/2{\dot {\theta }}_{1}^{2}\sin(2\theta _{2}){\hat {J_{2}}}+b_{2}{\dot {\theta }}_{2}+gm_{2}l_{2}\sin(\theta _{2})=\tau _{2}}$