Estabilidad lineal

En matemáticas, en la teoría de ecuaciones diferenciales y sistemas dinámicos , una solución particular estacionaria o cuasistacionaria de un sistema no lineal se denomina linealmente inestable si la linealización de la ecuación en esta solución tiene la forma , donde r es la perturbación al estado estacionario, A es un operador lineal cuyo espectro contiene valores propios con parte real positiva . Si todos los valores propios tienen parte real negativa , entonces la solución se denomina linealmente estable . Otros nombres para la estabilidad lineal incluyen estabilidad exponencial o estabilidad en términos de primera aproximación . ^{[1] [2]} Si existe un valor propio con parte real cero , entonces la cuestión sobre la estabilidad no se puede resolver sobre la base de la primera aproximación y nos acercamos al llamado "problema de centro y foco". ^[3]${\displaystyle dr/dt=Ar}$

La ecuación diferencial tiene dos soluciones estacionarias (independientes del tiempo): x  = 0 y x  = 1. La linealización en x  = 0 tiene la forma . El operador linealizado es A ₀  = 1. El único valor propio es . Las soluciones de esta ecuación crecen exponencialmente; el punto estacionario x  = 0 es linealmente inestable. $${\displaystyle {\frac {dx}{dt}}=xx^{2}}$$${\displaystyle {\frac {dx}{dt}}=x}$${\displaystyle \lambda = 1}$

Para derivar la linealización en x = 1 , se escribe , donde r = x − 1. La ecuación linealizada es entonces ; el operador linealizado es A ₁ = −1 , el único valor propio es , por lo tanto, este punto estacionario es linealmente estable. ${\displaystyle {\frac {dr}{dt}}=(1+r)-(1+r)^{2}=-rr^{2}}$${\displaystyle {\frac {dr}{dt}}=-r}$${\displaystyle \lambda = -1}$

La ecuación no lineal de Schrödinger donde u ( x , t ) ∈ C y k > 0 , tiene soluciones de onda solitaria de la forma . ^[4] Para derivar la linealización en una onda solitaria, se considera la solución en la forma . La ecuación linealizada en está dada por donde con y los operadores diferenciales . Según el criterio de estabilidad de Vakhitov-Kolokolov , ^[5] cuando k > 2 , el espectro de A tiene valores propios puntuales positivos, de modo que la ecuación linealizada es linealmente (exponencialmente) inestable; para 0 < k ≤ 2 , el espectro de A es puramente imaginario, de modo que las ondas solitarias correspondientes son linealmente estables. $${\displaystyle i{\frac {\parcial u}{\parcial t}}=-{\frac {\parcial ^{2}u}{\parcial x^{2}}}-|u|^{2k}u,}$$${\displaystyle \phi(x)e^{-i\omega t}}$${\displaystyle u(x,t)=(\phi (x)+r(x,t))e^{-i\omega t}}$${\estilo de visualización r(x,t)}$$${\displaystyle {\frac {\parcial }{\parcial t}}{\begin{bmatrix}{\text{Re}}\,r\\{\text{Im}}\,r\end{bmatrix}}=A{\begin{bmatrix}{\text{Re}}\,r\\{\text{Im}}\,r\end{bmatrix}},}$$$${\displaystyle A={\begin{bmatrix}0&L_{0}\\-L_{1}&0\end{bmatrix}},}$$$${\displaystyle L_{0}=-{\frac {\parcial }{\parcial x^{2}}}-k\phi ^{2}-\omega }$$$${\displaystyle L_{1}=-{\frac {\parcial }{\parcial x^{2}}}-(2k+1)\phi ^{2}-\omega }$$

Cabe mencionar que la estabilidad lineal no implica automáticamente estabilidad; en particular, cuando k = 2 , las ondas solitarias son inestables. Por otro lado, para 0 < k < 2 , las ondas solitarias no solo son linealmente estables sino también orbitalmente estables . ^[6]

• Estabilidad asintótica
• Linealización (análisis de estabilidad)
• Estabilidad de Lyapunov
• Estabilidad orbital
• Teoría de la estabilidad
• Criterio de estabilidad de Vakhitov-Kolokolov