Artefactos resonantes

Por definición, el efecto de oscilación se produce cuando una entrada no oscilante genera una salida oscilante: formalmente, cuando una señal de entrada monótona en un intervalo tiene una respuesta de salida no monótona. Esto ocurre con mayor intensidad cuando la respuesta impulsional o la respuesta escalón de un filtro presentan oscilaciones; de forma menos formal, si para una entrada de pico o una entrada escalón (una transición brusca), respectivamente, la salida presenta picos. El término "oscilación" se refiere comúnmente a la oscilación escalón, y en este caso nos centraremos.

El efecto de oscilación (ringing) está estrechamente relacionado con el sobreimpulso y el subimpulso, que se producen cuando la salida toma valores superiores al valor máximo (o inferiores al mínimo) de la entrada. Si bien uno puede presentarse independientemente del otro, en casos importantes, como en un filtro de paso bajo , primero se produce un sobreimpulso, luego la respuesta rebota por debajo del nivel de estado estacionario, lo que provoca la primera oscilación, y posteriormente oscila entre el nivel de estado estacionario y el de estado estacionario. Por lo tanto, el sobreimpulso es el primer paso del fenómeno, mientras que la oscilación es el segundo y los pasos subsiguientes. Debido a esta estrecha relación, los términos suelen confundirse, refiriéndose "oscilación" tanto al sobreimpulso inicial como a las oscilaciones posteriores.

Si se dispone de un filtro lineal invariante en el tiempo (LTI), se puede comprender el filtro y el efecto de oscilación en términos de la respuesta impulsional (la perspectiva del dominio del tiempo) o de su transformada de Fourier, la respuesta en frecuencia (la perspectiva del dominio de la frecuencia). El efecto de oscilación es un artefacto del dominio del tiempo y, en el diseño de filtros , se busca un equilibrio entre las características deseadas del dominio de la frecuencia: la respuesta en frecuencia deseada puede provocar este efecto, mientras que reducirlo o eliminarlo puede empeorar la respuesta en frecuencia.

El ejemplo central, y a menudo lo que se entiende por "artefactos de resonancia", es el filtro paso bajo ideal ( de pared de ladrillos ) , el filtro sinc . Este tiene una función de respuesta impulsional oscilatoria, como se ilustra arriba, y la respuesta al escalón —su integral, la integral del seno— también presenta oscilaciones, como se muestra a la derecha.

Estos artefactos de oscilación no son resultado de una implementación o un ajuste de ventana imperfectos: el filtro de paso bajo ideal, si bien posee la respuesta de frecuencia deseada, necesariamente causa artefactos de oscilación en el dominio del tiempo .

En términos de respuesta impulsional, la correspondencia entre estos artefactos y el comportamiento de la función es la siguiente:

• El subimpulso del impulso es equivalente a que la respuesta al impulso tenga valores negativos,
• El zumbido de impulso (zumbido cerca de un punto) es precisamente equivalente a que la respuesta al impulso tenga oscilaciones, lo cual es equivalente a que la derivada de la respuesta al impulso alterne entre valores negativos y positivos,
• y no existe la noción de sobreimpulso, ya que se supone que el impulso unitario tiene una altura infinita (y es entero 1, una función delta de Dirac ), y por lo tanto no puede sobrepasarse.

En cuanto a la respuesta escalón, esta es la integral de la respuesta impulsional ; formalmente, el valor de la respuesta escalón en el instante a es la integral.${\displaystyle \int _{-\infty }^{a}}$de la respuesta impulsional. Por lo tanto, los valores de la respuesta escalón pueden entenderse en términos de integrales de cola de la respuesta impulsional.

Supongamos que la integral global de la respuesta al impulso es 1, por lo que envía una entrada constante a la misma constante que la salida; de lo contrario, el filtro tiene ganancia y el escalado por la ganancia da una integral de 1.

• El subimpulso escalonado es equivalente a que la integral de cola sea negativa, en cuyo caso la magnitud del subimpulso es el valor de la integral de cola.
• El sobreimpulso escalonado es equivalente a que una integral de cola sea mayor que 1, en cuyo caso la magnitud del sobreimpulso es la cantidad en que la integral de cola excede 1, o equivalentemente el valor de la cola en la otra dirección,${\displaystyle \int _{a}^{\infty },}$ya que estos suman 1.
• El efecto de escalón es equivalente a integrales de cola que alternan entre valores crecientes y decrecientes; al derivar, esto equivale a la respuesta impulsional que alterna entre valores positivos y negativos. ^{[ 3 ]} Las regiones donde una respuesta impulsional está por debajo o por encima del eje x (formalmente, regiones entre ceros) se denominan lóbulos, y la magnitud de una oscilación (de pico a valle) es igual a la integral del lóbulo correspondiente.

La respuesta impulsional puede tener muchos lóbulos negativos y, por lo tanto, muchas oscilaciones, cada una de las cuales produce un anillo, aunque estos se atenúan en los filtros prácticos, por lo que generalmente solo se ven unos pocos anillos, siendo el primero generalmente el más pronunciado.

Cabe destacar que si la respuesta impulsional presenta lóbulos negativos pequeños y lóbulos positivos grandes, exhibirá oscilaciones, pero no sobreimpulsos ni subimpulsos: la integral de la cola siempre estará entre 0 y 1, pero oscilará hacia abajo en cada lóbulo negativo. Sin embargo, en el filtro sinc, los lóbulos disminuyen monótonamente en magnitud y alternan de signo, como en la serie armónica alternada , y por lo tanto, las integrales de la cola también alternan de signo, lo que provoca sobreimpulsos además de oscilaciones.

Por el contrario, si la respuesta impulsional es siempre no negativa, es decir, no presenta lóbulos negativos (la función es una distribución de probabilidad ), entonces la respuesta escalón no mostrará oscilaciones, sobreimpulsos ni subimpulsos; será una función monótona que crece de 0 a 1, como una función de distribución acumulativa . Por lo tanto, la solución básica desde la perspectiva del dominio del tiempo consiste en utilizar filtros con respuesta impulsional no negativa.

Desde la perspectiva del dominio de la frecuencia, el efecto de resonancia es causado por el corte abrupto en la banda de paso rectangular en el dominio de la frecuencia, y por lo tanto se reduce mediante una atenuación más suave , como se analiza a continuación. ^{[ 1 ] [ 4 ]}

Si la causa es el uso de un filtro paso bajo de máxima atenuación, se puede reemplazar por uno que reduzca los artefactos en el dominio del tiempo, a costa del rendimiento en el dominio de la frecuencia. Esto se puede analizar desde la perspectiva del dominio del tiempo o del dominio de la frecuencia.

En el dominio del tiempo, la causa es una respuesta impulsional oscilante que asume valores negativos. Esto se puede solucionar utilizando un filtro cuya respuesta impulsional sea no negativa y no oscile, pero que comparta las características deseadas. Por ejemplo, en el caso de un filtro paso bajo, el filtro gaussiano es no negativo y no oscilatorio, por lo que no produce oscilaciones. Sin embargo, no es tan bueno como un filtro paso bajo: se atenúa en la banda de paso y presenta fugas en la banda de rechazo . En términos de imagen, un filtro gaussiano "desenfoca" la señal, lo que refleja la atenuación de las señales de alta frecuencia deseadas en la banda de paso.

Una solución general consiste en aplicar una función de ventana al filtro sinc, que recorta o reduce los lóbulos negativos: esto elimina y reduce, respectivamente, el sobreimpulso y la oscilación. Cabe destacar que truncar algunos, pero no todos, los lóbulos elimina la oscilación más allá de ese punto, pero no reduce la amplitud de la oscilación que no se trunca (ya que esta viene determinada por el tamaño del lóbulo), e incrementa la magnitud del sobreimpulso si el último lóbulo no recortado es negativo, puesto que la magnitud del sobreimpulso es la integral de la cola, que ya no se cancela con los lóbulos positivos.

Además, en las implementaciones prácticas se trunca al menos la función sinc; de lo contrario, se deben usar infinitos puntos de datos (o mejor dicho, todos los puntos de la señal) para calcular cada punto de la salida. El truncamiento corresponde a una ventana rectangular y hace que el filtro sea prácticamente implementable, pero la respuesta en frecuencia ya no es perfecta. ^{[ 5 ]} De hecho, si se toma un filtro paso bajo de pared de ladrillo (sinc en el dominio del tiempo, rectangular en el dominio de la frecuencia) y se trunca (se multiplica por una función rectangular en el dominio del tiempo), esto convoluciona el dominio de la frecuencia con sinc (transformada de Fourier de la función rectangular) y causa oscilaciones en el dominio de la frecuencia , ^{[ 2 ]} que se denominan ondulaciones . En símbolos,${\displaystyle {\mathcal {F}}(\mathrm {sinc} \cdot \mathrm {rect} )=\mathrm {rect} *\mathrm {sinc} .}$Las oscilaciones de frecuencia en la banda de rechazo también se conocen como lóbulos laterales . Se desea una respuesta plana en la banda de paso, por lo que se utilizan funciones cuya transformada de Fourier tenga menos oscilaciones, lo que mejora el comportamiento en el dominio de la frecuencia.

La multiplicación en el dominio del tiempo corresponde a la convolución en el dominio de la frecuencia, por lo que multiplicar un filtro por una función de ventana corresponde a convolucionar la transformada de Fourier del filtro original por la transformada de Fourier de la ventana, lo que tiene un efecto de suavizado; por lo tanto, el uso de ventanas en el dominio del tiempo corresponde al suavizado en el dominio de la frecuencia y reduce o elimina el sobreimpulso y el efecto de oscilación. ^{[ 6 ]}

En el dominio de la frecuencia , la causa puede interpretarse como debida al corte abrupto (de pared de ladrillos), y el efecto de resonancia se reduce al usar un filtro con una atenuación más suave. ^{[ 1 ]} Este es el caso del filtro gaussiano, cuya magnitud en el diagrama de Bode es una parábola que se abre hacia abajo (atenuación cuadrática), ya que su transformada de Fourier es nuevamente una gaussiana, por lo tanto (hasta la escala)${\displaystyle e^{-x^{2}}}$– al tomar logaritmos se obtiene${\displaystyle -x^{2}.}$

En los filtros electrónicos , la compensación entre la respuesta en el dominio de la frecuencia y los artefactos de resonancia en el dominio del tiempo se ilustra bien con el filtro Butterworth : la respuesta en frecuencia de un filtro Butterworth tiene una pendiente descendente lineal en la escala logarítmica, con un filtro de primer orden que tiene una pendiente de -6 dB por octava , un filtro de segundo orden de -12  dB por octava y un filtro de orden n que tiene una pendiente de${\displaystyle -6n}$dB por octava: en el límite, esto se aproxima a un filtro de pared de ladrillo. Por lo tanto, entre estos, el filtro de primer orden tiene la atenuación más lenta y, por consiguiente, presenta la menor cantidad de artefactos en el dominio del tiempo, pero tiene la mayor fuga en la banda de rechazo, mientras que a medida que aumenta el orden, la fuga disminuye, pero los artefactos aumentan. ^{[ 4 ]}

Otro artefacto es el sobreimpulso (y el subimpulso), que se manifiesta no como anillos, sino como un salto mayor en la transición. Está relacionado con el efecto de resonancia y, a menudo, se presenta junto con él.

El sobreimpulso y el subimpulso se deben a una cola negativa: en la función sinc, la integral desde el primer cero hasta el infinito, incluyendo el primer lóbulo negativo. En cambio, el efecto de oscilación se debe a una cola positiva posterior : en la función sinc, la integral desde el segundo cero hasta el infinito, incluyendo el primer lóbulo positivo no central. Por lo tanto, el sobreimpulso es necesario para que se produzca el efecto de oscilación, pero puede ocurrir por separado: por ejemplo, el filtro de Lanczos de dos lóbulos tiene solo un lóbulo negativo a cada lado, sin lóbulo positivo posterior, y por lo tanto presenta sobreimpulso pero no efecto de oscilación, mientras que el filtro de Lanczos de tres lóbulos presenta tanto sobreimpulso como efecto de oscilación, aunque el uso de ventanas reduce este efecto en comparación con el filtro sinc o el filtro sinc truncado.

De manera similar, el núcleo de convolución utilizado en la interpolación bicúbica es similar a una función sinc con ventana de 2 lóbulos, que toma valores negativos y, por lo tanto, produce artefactos de sobreimpulso, que aparecen como halos en las transiciones.

Tras el sobreimpulso y el subimpulso, se produce el recorte . Si la señal está acotada, por ejemplo, a un entero de 8 o 16 bits, este sobreimpulso y subimpulso pueden exceder el rango de valores permitidos, provocando así el recorte.

En rigor, el recorte se debe a la combinación de sobreimpulso y precisión numérica limitada, pero está estrechamente relacionado con el efecto de oscilación y, a menudo, se produce en combinación con él.

El recorte de señal también puede producirse por razones no relacionadas, como por ejemplo, cuando una señal excede el alcance de un canal.

Por otro lado, el recorte puede utilizarse para ocultar el efecto de anillo en las imágenes. Algunos códecs JPEG modernos, como mozjpeg e ISO libjpeg , utilizan este truco para reducir el efecto de anillo provocando deliberadamente sobreimpulsos en los resultados de la IDCT. ^{[ 9 ]} Esta idea se originó en un parche de mozjpeg. ^{[ 10 ]}

En el procesamiento de señales y campos relacionados, el fenómeno general de oscilación en el dominio del tiempo se denomina " ringing" (oscilación) , mientras que las oscilaciones en el dominio de la frecuencia se denominan generalmente " ripple " (ondulación) , aunque generalmente no "ripple" (ondulación).

Una fuente clave de rizado en el procesamiento de señales digitales es el uso de funciones de ventana : si se toma un filtro de respuesta de impulso infinita (IIR), como el filtro sinc, y se le aplica una ventana para que tenga una respuesta de impulso finita , como en el método de diseño de ventanas , entonces la respuesta en frecuencia del filtro resultante es la convolución de la respuesta en frecuencia del filtro IIR con la respuesta en frecuencia de la función de ventana. Cabe destacar que la respuesta en frecuencia del filtro rectangular es la función sinc (la función rectangular y la función sinc son duales de Fourier entre sí), y por lo tanto, la truncación de un filtro en el dominio del tiempo corresponde a la multiplicación por el filtro rectangular, es decir, la convolución por el filtro sinc en el dominio de la frecuencia, lo que causa rizado. En símbolos, la respuesta en frecuencia de${\displaystyle \mathrm {rect} (t)\cdot h(t)}$es${\displaystyle \mathrm {sinc} (t)*{\hat {h}}(t).}$En particular, truncar la función sinc en sí misma produce${\displaystyle \mathrm {rect} (t)\cdot \mathrm {sinc} (t)}$en el dominio del tiempo, y${\displaystyle \mathrm {sinc} (t)*\mathrm {rect} (t)}$en el dominio de la frecuencia, así como el filtrado de paso bajo (truncamiento en el dominio de la frecuencia) causa oscilaciones en el dominio del tiempo, el truncamiento en el dominio del tiempo (ventana mediante un filtro rectangular) causa ondulaciones en el dominio de la frecuencia.

La compresión JPEG puede introducir artefactos de anillo en las transiciones bruscas, que son especialmente visibles en el texto.

Esto se debe a la pérdida de componentes de alta frecuencia, como en el caso del efecto de oscilación por respuesta escalón. JPEG utiliza bloques de 8×8 píxeles , sobre los que se aplica la transformada discreta del coseno (DCT). La DCT es una transformada de Fourier , y el efecto de oscilación se produce por la pérdida de componentes de alta frecuencia o por la pérdida de precisión en dichos componentes.

También pueden aparecer en el borde de una imagen: dado que JPEG divide las imágenes en bloques de 8×8, si una imagen no tiene un número entero de bloques, el borde no se puede codificar fácilmente, y soluciones como rellenar con un borde negro crean una transición brusca en la fuente, lo que produce artefactos de anillo en la imagen codificada.

El efecto de oscilación también se produce en el formato JPEG 2000 basado en ondículas .

JPEG y JPEG 2000 presentan otros artefactos, como se ilustra arriba, tales como el bloqueo (" bordes dentados ") y el exceso de ruido en los bordes (" ruido de mosquito "), aunque estos se deben a características específicas de los formatos y no constituyen el efecto de resonancia que se analiza aquí.

Algunas ilustraciones:

• Artefactos de JPEG básico y JPEG2000 ilustrados

En el procesamiento de señales de audio , la resonancia puede provocar ecos antes y después de transitorios , como el sonido impulsivo de instrumentos de percusión , como los platillos (esto se conoce como resonancia impulsiva ). El eco ( causal ) posterior al transitorio no se escucha porque queda enmascarado por este, un efecto llamado enmascaramiento temporal . Por lo tanto, solo se escucha el eco ( anticausal ) anterior al transitorio, y este fenómeno se denomina pre-eco .

Este fenómeno se produce como un artefacto de compresión en los algoritmos de compresión de audio que utilizan transformadas relacionadas con Fourier , como MP3 , AAC y Vorbis .

La mejora de bordes , cuyo objetivo es aumentar la nitidez de los bordes, puede provocar fenómenos de resonancia, especialmente en aplicaciones repetidas, como la de un reproductor de DVD seguido de un televisor. Esto se puede lograr mediante un filtrado de paso alto , en lugar de un filtrado de paso bajo. ^{[ 4 ]}

Muchas funciones especiales presentan una atenuación oscilatoria, por lo que la convolución con dicha función produce oscilaciones en la salida; se puede considerar esto como oscilaciones, o restringir el término a artefactos no deseados en el procesamiento de señales en el dominio de la frecuencia.

La difracción de Fraunhofer produce el disco de Airy como función de dispersión de punto , que tiene un patrón de oscilación.

La función de Bessel de primera especie,${\displaystyle J_{0},}$que está relacionada con la función de Airy , exhibe dicha decadencia.

En las cámaras, la combinación de desenfoque y aberración esférica puede generar artefactos circulares (patrones en forma de anillo). Sin embargo, el patrón de estos artefactos no tiene por qué ser similar al de los anillos (como se explica en esta página); pueden presentar una atenuación oscilatoria (círculos de intensidad decreciente) u otros patrones de intensidad, como una única banda brillante.

El efecto fantasma es una forma de interferencia televisiva en la que una imagen se repite. Si bien no se trata de un efecto de anillo, puede interpretarse como una convolución con una función que es 1 en el origen y ε (la intensidad del fantasma) a cierta distancia, lo cual es formalmente similar a las funciones anteriores (un único pico discreto, en lugar de una oscilación continua).

En fotografía, el destello de lente es un defecto en el que pueden aparecer varios círculos alrededor de las zonas iluminadas, así como imágenes fantasma en toda la foto, debido a la luz no deseada, como la reflexión y la dispersión de los elementos de la lente.

En las transiciones, como en las bandas de Mach , pueden producirse ilusiones visuales que, desde el punto de vista perceptual, presentan un efecto de subimpulso/sobreimpulso similar al del fenómeno de Gibbs.