Variables conjugadas

En física clásica , las derivadas de la acción son variables conjugadas de la magnitud respecto de la cual se deriva. En mecánica cuántica, estos mismos pares de variables están relacionados por el principio de incertidumbre de Heisenberg .

• La energía de una partícula en un determinado evento es el negativo de la derivada de la acción a lo largo de una trayectoria de esa partícula que termina en ese evento con respecto al tiempo del evento.
• El momento lineal de una partícula es la derivada de su acción con respecto a su posición .
• El momento angular de una partícula es la derivada de su acción con respecto a su orientación (posición angular).
• El momento de masa (${\displaystyle \mathbf {N} =t\mathbf {p} -E\mathbf {r} }$) de una partícula es el negativo de la derivada de su acción con respecto a su rapidez .
• El potencial eléctrico (φ, voltaje ) y la carga eléctrica en un circuito LC cuántico . ^{[ 4 ]}
• El potencial magnético ( A ) en un evento es la derivada de la acción del campo electromagnético con respecto a la densidad de corriente eléctrica (libre) en ese evento.
• El campo eléctrico ( E ) en un evento es la derivada de la acción del campo electromagnético con respecto a la densidad de polarización eléctrica en ese evento.
• La inducción magnética ( B ) en un evento es la derivada de la acción del campo electromagnético con respecto a la magnetización en ese evento.
• El potencial gravitatorio newtoniano en un evento es el negativo de la derivada de la acción del campo gravitatorio newtoniano con respecto a la densidad de masa en ese evento.

En mecánica cuántica , las variables conjugadas se realizan como pares de observables cuyos operadores no conmutan. En la terminología convencional, se dice que son observables incompatibles . Consideremos, como ejemplo, las cantidades medibles dadas por la posición${\displaystyle \left(x\right)}$y el impulso${\displaystyle \left(p\right)}$. En el formalismo mecánico cuántico, los dos observables${\displaystyle x}$y${\displaystyle p}$corresponden a operadores${\displaystyle {\widehat {x}}}$y${\displaystyle {\widehat {p\,}}}$, que necesariamente satisfacen la relación de conmutación canónica : $${\displaystyle [{\widehat {x}},{\widehat {p\,}}]={\widehat {x}}{\widehat {p\,}}-{\widehat {p\,}}{\widehat {x}}=i\hbar }$$

Para cada conmutador no nulo de dos operadores, existe un "principio de incertidumbre", que en nuestro ejemplo actual puede expresarse de la siguiente forma: $${\displaystyle \Delta x\,\Delta p\geq \hbar /2}$$

En esta notación mal definida,${\displaystyle \Delta x}$y${\displaystyle \Delta p}$denotan "incertidumbre" en la especificación simultánea de${\displaystyle x}$y${\displaystyle p}$Una afirmación más precisa y estadísticamente completa que involucre la desviación estándar${\displaystyle \sigma }$lee: $${\displaystyle \sigma _{x}\sigma _{p}\geq \hbar /2}$$

De manera más general, para cualesquiera dos observables${\displaystyle A}$y${\displaystyle B}$correspondientes a los operadores${\displaystyle {\widehat {A}}}$y${\displaystyle {\widehat {B}}}$El principio de incertidumbre generalizado viene dado por: $${\displaystyle {\sigma _{A}}^{2}{\sigma _{B}}^{2}\geq \left({\frac {1}{2i}}\left\langle \left[{\widehat {A}},{\widehat {B}}\right]\right\rangle \right)^{2}}$$

Supongamos ahora que definimos explícitamente dos operadores particulares, asignando a cada uno una forma matemática específica , de modo que el par satisfaga la relación de conmutación antes mencionada. Es importante recordar que nuestra "elección" particular de operadores simplemente reflejaría una de las muchas representaciones equivalentes, o isomorfas, de la estructura algebraica general que caracteriza fundamentalmente la mecánica cuántica. La generalización viene dada formalmente por el álgebra de Lie de Heisenberg.${\displaystyle {\mathfrak {h}}_{3}}$, con un grupo correspondiente llamado grupo de Heisenberg${\displaystyle H_{3}}$.

En la mecánica de fluidos hamiltoniana y la hidrodinámica cuántica , la acción misma (o potencial de velocidad ) es la variable conjugada de la densidad (o densidad de probabilidad ).