Disco aéreo

En óptica , el disco de Airy y el patrón de Airy describen el punto de luz mejor enfocado que puede producir una lente perfecta con apertura circular , limitado por la difracción de la luz. El disco de Airy es importante en física , óptica y astronomía .

El patrón de difracción resultante de una apertura circular uniformemente iluminada tiene una región central brillante , conocida como disco de Airy, que junto con la serie de anillos concéntricos que la rodean se denomina patrón de Airy. Ambos reciben su nombre de George Biddell Airy . El fenómeno del disco y los anillos ya se conocía antes de Airy; John Herschel describió la apariencia de una estrella brillante vista a través de un telescopio con gran aumento en un artículo sobre la luz publicado en 1828 en la Encyclopedia Metropolitana .

...la estrella se observa entonces (en circunstancias favorables de atmósfera tranquila, temperatura uniforme, etc.) como un disco planetario perfectamente redondo y bien definido, rodeado por dos, tres o más anillos alternativamente oscuros y brillantes, que, si se examinan con atención, se ven ligeramente coloreados en sus bordes. Se suceden unos a otros casi a intervalos iguales alrededor del disco central... ^{[ 1 ]}

Airy escribió el primer tratamiento teórico completo que explicaba el fenómeno (su obra de 1835 "Sobre la difracción de un objetivo de vidrio con apertura circular"). ^{[ 2 ]}

Matemáticamente, el patrón de difracción se caracteriza por la longitud de onda de la luz que ilumina la abertura circular y el tamaño de dicha abertura. La apariencia del patrón de difracción también se caracteriza por la sensibilidad del ojo u otro detector utilizado para observarlo.

La aplicación más importante de este concepto se encuentra en cámaras , microscopios y telescopios. Debido a la difracción, el punto más pequeño en el que una lente o espejo puede enfocar un haz de luz es del tamaño del disco de Airy. Incluso si se pudiera fabricar una lente perfecta, la resolución de la imagen que produce seguiría teniendo un límite. Un sistema óptico cuya resolución ya no está limitada por imperfecciones en las lentes, sino únicamente por la difracción, se denomina limitado por difracción .

Lejos de la apertura, el ángulo en el que se produce el primer mínimo, medido desde la dirección de la luz incidente, viene dado por la fórmula aproximada:

$${\displaystyle \sin \theta \approx 1.22{\frac {\lambda }{d}}}$$

o, para ángulos pequeños, simplemente

$${\displaystyle \theta \approx 1.22{\frac {\lambda }{d}},}$$

dónde${\displaystyle \theta }$está en radianes,${\displaystyle \lambda }$es la longitud de onda de la luz en metros, y${\displaystyle {d}}$es el diámetro de la abertura en metros. El ancho total a media altura viene dado por${\displaystyle \theta _{\mathrm {FWHM} }=1.029{\frac {\lambda }{d}}.}$

Airy escribió esta relación como

$${\displaystyle s={\frac {2.76}{a}},}$$

dónde${\displaystyle {s}}$era el ángulo del primer mínimo en segundos de arco,${\displaystyle {a}}$era el radio de la apertura en pulgadas, y se asumió que la longitud de onda de la luz era de 0,000022  pulgadas (560  nm; la media de las longitudes de onda visibles). ^{[ 3 ]} Esto es igual a la resolución angular de una apertura circular. El criterio de Rayleigh para resolver apenas dos objetos que son fuentes puntuales de luz, como estrellas vistas a través de un telescopio, es que el centro del disco de Airy del primer objeto se encuentra en el primer mínimo del disco de Airy del segundo. Esto significa que la resolución angular de un sistema limitado por difracción viene dada por las mismas fórmulas.

Sin embargo, si bien el ángulo en el que se produce el primer mínimo (que a veces se describe como el radio del disco de Airy) depende únicamente de la longitud de onda y el tamaño de la apertura, la apariencia del patrón de difracción varía con la intensidad (brillo) de la fuente de luz. Dado que cualquier detector (ojo, película, digital) utilizado para observar el patrón de difracción puede tener un umbral de intensidad para su detección, es posible que el patrón de difracción completo no sea visible. En astronomía, los anillos exteriores a menudo no son visibles incluso en una imagen de una estrella con gran aumento. Puede ocurrir que ninguno de los anillos sea visible, en cuyo caso la imagen de la estrella aparece como un disco (solo el máximo central) en lugar de como un patrón de difracción completo. Además, las estrellas más débiles aparecerán como discos más pequeños que las estrellas más brillantes, porque una menor parte de su máximo central alcanza el umbral de detección. ^{[ 4 ]} Si bien en teoría todas las estrellas u otras "fuentes puntuales" de una longitud de onda dada y vistas a través de una apertura dada tienen el mismo radio de disco de Airy caracterizado por la ecuación anterior (y el mismo tamaño de patrón de difracción), diferenciándose solo en intensidad, la apariencia es que las fuentes más débiles aparecen como discos más pequeños y las fuentes más brillantes aparecen como discos más grandes. ^{[ 5 ]} Esto fue descrito por Airy en su trabajo original: ^{[ 6 ]}

La rápida disminución de la luz en los anillos sucesivos explicará suficientemente la visibilidad de dos o tres anillos con una estrella muy brillante y la no visibilidad de anillos con una estrella débil. La diferencia de los diámetros de los puntos centrales (o discos espurios) de diferentes estrellas... también se explica completamente. Así, el radio del disco espurio de una estrella débil, donde la luz de menos de la mitad de la intensidad de la luz central no produce impresión en el ojo, está determinado por [ s = 1,17/ a ], mientras que el radio del disco espurio de una estrella brillante, donde la luz de 1/10 de la intensidad de la luz central es perceptible, está determinado por [ s = 1,97/ a ].

A pesar de esta característica del trabajo de Airy, el radio del disco de Airy a menudo se da simplemente como el ángulo del primer mínimo, incluso en los libros de texto estándar. ^{[ 7 ]} En realidad, el ángulo del primer mínimo es un valor límite para el tamaño del disco de Airy, y no un radio definido.

La luz procedente de una abertura circular uniformemente iluminada (o de un haz uniforme y plano) mostrará un patrón de difracción de Airy lejos de la abertura debido a la difracción de Fraunhofer (difracción de campo lejano).

Las condiciones para estar en el campo lejano y exhibir un patrón de Airy son: la luz incidente que ilumina la apertura es una onda plana (sin variación de fase a través de la apertura), la intensidad es constante en el área de la apertura y la distancia${\displaystyle R}$desde la abertura donde se observa la luz difractada (la distancia de la pantalla) es grande en comparación con el tamaño de la abertura, y el radio${\displaystyle a}$La apertura no es mucho mayor que la longitud de onda.${\displaystyle \lambda }$de la luz. Las dos últimas condiciones se pueden escribir formalmente como${\displaystyle R>a^{2}/\lambda .}$

En la práctica, las condiciones para una iluminación uniforme se pueden lograr colocando la fuente de luz lejos de la apertura. Si no se cumplen las condiciones para el campo lejano (por ejemplo, si la apertura es grande), el patrón de difracción de Airy de campo lejano también se puede obtener en una pantalla mucho más cercana a la apertura utilizando una lente justo después de la misma (o la propia lente puede formar la apertura). En ese caso, el patrón de Airy se formará en el foco de la lente, en lugar de en el infinito.

Por lo tanto, el punto focal de un haz láser circular uniforme (un haz de cima plana) enfocado por una lente también tendrá un patrón de Airy.

En una cámara o sistema de imagen, un objeto lejano se proyecta sobre la película o el plano del detector mediante la lente objetivo, y el patrón de difracción de campo lejano se observa en el detector. La imagen resultante es una convolución de la imagen ideal con el patrón de difracción de Airy, debido a la difracción producida por la apertura del diafragma o al tamaño finito de la lente. Esto da lugar a la resolución finita del sistema de lentes descrito anteriormente.

La intensidad del patrón de Airy sigue el patrón de difracción de Fraunhofer de una apertura circular, dado por el módulo al cuadrado de la transformada de Fourier de la apertura circular:

$${\displaystyle I(\theta )=I_{0}\left[{\frac {2J_{1}(k\,a\sin \theta )}{k\,a\sin \theta }}\right]^{2}=I_{0}\left[{\frac {2J_{1}(x)}{x}}\right]^{2}}$$

dónde${\displaystyle I_{0}}$es la intensidad máxima del patrón en el centro del disco de Airy,${\displaystyle J_{1}}$es la función de Bessel de primer tipo de orden uno,${\displaystyle k={2\pi }/{\lambda }}$es el número de onda ,${\displaystyle a}$es el radio de la abertura, y${\displaystyle \theta }$es el ángulo de observación, es decir, el ángulo entre el eje de la abertura circular y la línea que une el centro de la abertura con el punto de observación.${\displaystyle x=ka\sin \theta ={\frac {2\pi a}{\lambda }}{\frac {q}{R}},}$donde q es la distancia radial desde el punto de observación hasta el eje óptico y R es su distancia a la apertura. Nótese que el disco de Airy, tal como se define en la expresión anterior, solo es válido para valores grandes de R , donde se aplica la difracción de Fraunhofer ; el cálculo de la sombra en el campo cercano debe realizarse utilizando la difracción de Fresnel .

Sin embargo, el patrón de Airy exacto aparece a una distancia finita si se coloca una lente en la apertura. En ese caso, el patrón de Airy estará perfectamente enfocado a la distancia determinada por la distancia focal de la lente (suponiendo que la luz incidente en la apertura está colimada ), según las ecuaciones anteriores.

Los ceros de${\displaystyle J_{1}(x)}$están en${\displaystyle x=ka\sin \theta \approx 3.8317,7.0156,10.1735,13.3237,16.4706\dots .}$De esto se deduce que el primer anillo oscuro en el patrón de difracción aparece donde${\displaystyle ka\sin {\theta }=3.8317\dots ,}$o

$${\displaystyle \sin \theta \approx {\frac {3.83}{ka}}={\frac {3.83\lambda }{2\pi a}}=1.22{\frac {\lambda }{2a}}=1.22{\frac {\lambda }{d}}.}$$

Si se utiliza una lente para enfocar el patrón de Airy a una distancia finita, entonces el radio${\displaystyle q_{1}}$del primer anillo oscuro en el plano focal viene dado únicamente por la apertura numérica A (estrechamente relacionada con el número f ) por $${\displaystyle q_{1}=R\sin \theta _{1}\approx 1.22{R}{\frac {\lambda }{d}}=1.22{\frac {\lambda }{2A}}}$$

donde la apertura numérica A es igual al radio de la apertura d /2 dividido por R', la distancia desde el centro del patrón de Airy hasta el borde de la apertura. Si consideramos la apertura de radio d /2 y la lente como una cámara (ver diagrama anterior) que proyecta una imagen sobre un plano focal a una distancia f , la apertura numérica A se relaciona con el número f comúnmente citado N = f/d (relación entre la distancia focal y el diámetro de la lente) según

$${\displaystyle A={\frac {r}{R'}}={\frac {r}{\sqrt {f^{2}+r^{2}}}}={\frac {1}{\sqrt {4N^{2}+1}}};}$$

para N ≫1 se aproxima simplemente como${\textstyle A\approx 1/2N.}$Esto demuestra que la mejor resolución de imagen posible de una cámara está limitada por la apertura numérica (y por lo tanto el número f) de su lente debido a la difracción .

La mitad del máximo del disco de Airy central (donde${\displaystyle 2J_{1}(x)/x=1/{\sqrt {2}}}$) ocurre en${\displaystyle x=1.61633995\dots$ ;} el punto1/e ^{2 (donde}${\displaystyle 2J_{1}(x)/x=1/{e}}$) ocurre en${\displaystyle x=2.58383899\dots ,}$y el máximo del primer anillo se produce en${\displaystyle x=5.13562230\dots .}$

La intensidad${\displaystyle I_{0}}$en el centro del patrón de difracción está relacionado con la potencia total${\displaystyle P_{0}}$incidente en la abertura por ^{[ 12 ]}

$${\displaystyle I_{0}={\frac {\mathrm {E} _{A}^{2}A^{2}}{2R^{2}}}={\frac {P_{0}A}{\lambda ^{2}R^{2}}}}$$

dónde${\displaystyle \mathrm {E} }$es la intensidad de la fuente por unidad de área en la apertura, A es el área de la apertura (${\displaystyle A=\pi a^{2}}$) y R es la distancia desde la apertura. En el plano focal de una lente,${\displaystyle I_{0}=(P_{0}A)/(\lambda ^{2}f^{2}).}$La intensidad en el máximo del primer anillo es aproximadamente el 1,75% de la intensidad en el centro del disco de Airy.

La expresión para${\displaystyle I(\theta )}$Lo anterior se puede integrar para obtener la potencia total contenida en el patrón de difracción dentro de un círculo de tamaño dado:

$${\displaystyle P(\theta )=P_{0}[1-J_{0}^{2}(ka\sin \theta )-J_{1}^{2}(ka\sin \theta )]}$$

dónde${\displaystyle J_{0}}$y${\displaystyle J_{1}}$son funciones de Bessel . Por lo tanto, las fracciones de la potencia total contenidas dentro del primer, segundo y tercer anillo oscuro (donde${\displaystyle J_{1}(ka\sin \theta )=0}$) son 83,8%, 91,0% y 93,8% respectivamente. ^{[ 13 ]}

Los tratamientos clásicos del disco de Airy y el patrón de difracción asumen que la luz incidente es una onda plana compuesta por fotones coherentes (en fase) de la misma longitud de onda que interfieren entre sí. El famoso experimento de la doble rendija demostró que los patrones de difracción podían surgir incluso cuando los fotones coherentes estaban tan espaciados en el tiempo que no podían interferir entre sí. Esto condujo a la descripción cuántica de que cada fotón toma efectivamente todas las trayectorias posibles desde una fuente hasta un detector. Richard Feynman explicó que cada trayectoria tiene una amplitud compleja que puede considerarse como un vector unitario perpendicular a la trayectoria, el cual realiza una rotación completa por cada longitud de onda de avance. La probabilidad de detección es el cuadrado del módulo de la suma de las amplitudes complejas en el detector. Los patrones de difracción surgen porque las trayectorias se suman de manera diferente en distintas posiciones del detector. De acuerdo con estos principios, el disco de Airy y el patrón de difracción pueden calcularse numéricamente utilizando las integrales de trayectoria de fotones de Feynman para determinar la probabilidad de detección en diferentes puntos del plano focal de un espejo parabólico. ^{[ 14 ]}

El patrón de Airy disminuye lentamente hasta cero a medida que aumenta la distancia desde el centro, y los anillos exteriores contienen una porción significativa de la intensidad integrada del patrón. Como resultado, el tamaño del punto cuadrático medio (RMS) no está definido (es decir, es infinito). Una medida alternativa del tamaño del punto es ignorar los anillos exteriores relativamente pequeños del patrón de Airy y aproximar el lóbulo central con un perfil gaussiano , de modo que

$${\displaystyle I(q)\approx I'_{0}\exp \left({\frac {-2q^{2}}{\omega _{0}^{2}}}\right)\ ,}$$

dónde${\displaystyle I'_{0}}$es la irradiancia en el centro del patrón,${\displaystyle q}$representa la distancia radial desde el centro del patrón, y${\textstyle \omega _{0}}$es el ancho RMS gaussiano (en una dimensión). Si igualamos la amplitud máxima del patrón de Airy y el perfil gaussiano, es decir,${\displaystyle I'_{0}=I_{0},}$y hallar el valor de${\textstyle \omega _{0}}$Al dar la aproximación óptima al patrón, obtenemos ^{[ 15 ].}

${\textstyle \omega _{0}\approx 0.84\lambda N\ ,}$

donde N es el número f . Si, por otro lado, deseamos imponer que el perfil gaussiano tenga el mismo volumen que el patrón de Airy, entonces esto se convierte en

${\textstyle \omega _{0}\approx 0.90\lambda N\ .}$

En la teoría de aberraciones ópticas , es común describir un sistema de imagen como limitado por difracción si el radio del disco de Airy es mayor que el tamaño del punto RMS determinado a partir del trazado de rayos geométrico (véase Diseño de lentes ópticas ). La aproximación del perfil gaussiano proporciona un medio de comparación alternativo: utilizando la aproximación anterior se muestra que la cintura gaussiana${\textstyle \omega _{0}}$de la aproximación gaussiana al disco de Airy es aproximadamente dos tercios del radio del disco de Airy, es decir${\displaystyle 0.84\lambda N}$en contraposición a${\displaystyle 1.22\lambda N.}$

También se pueden derivar ecuaciones similares para el patrón de difracción de Airy oscurecido ^{[ 16 ] [ 17 ]} , que es el patrón de difracción de una apertura o haz anular, es decir, una apertura (haz) circular uniforme oscurecida por un bloque circular en el centro. Esta situación es relevante para muchos diseños comunes de telescopios reflectores que incorporan un espejo secundario , incluidos los telescopios newtonianos y los telescopios Schmidt-Cassegrain .

$${\displaystyle I(R)={\frac {I_{0}}{(1-\epsilon ^{2})^{2}}}\left({\frac {2J_{1}(x)}{x}}-{\frac {2\epsilon J_{1}(\epsilon x)}{x}}\right)^{2}}$$

dónde${\displaystyle \epsilon }$es la relación de obstrucción de la apertura anular, o la relación entre el diámetro del disco de obstrucción y el diámetro de la apertura (haz).${\displaystyle \left(0\leq \epsilon <1\right),}$y x se define como se indicó anteriormente:${\displaystyle x=ka\sin(\theta )\approx {\frac {\pi R}{\lambda N}}}$dónde${\displaystyle R}$es la distancia radial en el plano focal desde el eje óptico,${\displaystyle \lambda }$es la longitud de onda y${\displaystyle N}$es el número f del sistema. La energía fraccionaria encerrada (la fracción de la energía total contenida dentro de un círculo de radio${\displaystyle R}$La función de onda centrada en el eje óptico en el plano focal viene dada por:

$${\displaystyle E(R)={\frac {1}{(1-\epsilon ^{2})}}\left(1-J_{0}^{2}(x)-J_{1}^{2}(x)+\epsilon ^{2}\left[1-J_{0}^{2}(\epsilon x)-J_{1}^{2}(\epsilon x)\right]-4\epsilon \int _{0}^{x}{\frac {J_{1}(t)J_{1}(\epsilon t)}{t}}\,dt\right)}$$

Para${\displaystyle \epsilon \rightarrow 0}$Las fórmulas se reducen a las versiones sin ambigüedades que se muestran arriba.

El efecto práctico de tener una obstrucción central en un telescopio es que el disco central se vuelve ligeramente más pequeño, y el primer anillo brillante se vuelve más brillante a expensas del disco central. Esto se vuelve más problemático con telescopios de corta distancia focal que requieren espejos secundarios más grandes. ^{[ 18 ]}

Un haz láser circular con un perfil de intensidad uniforme, enfocado por una lente, formará un patrón de Airy en el plano focal de la lente. La intensidad en el centro del foco será${\displaystyle I_{0,Airy}=(P_{0}A)/(\lambda ^{2}f^{2})}$dónde${\displaystyle P_{0}}$es la potencia total del haz,${\displaystyle A=\pi D^{2}/4}$es el área del haz (${\displaystyle D}$es el diámetro del haz ),${\displaystyle \lambda }$es la longitud de onda, y${\displaystyle f}$es la distancia focal del objetivo.

Un haz gaussiano transmitido a través de una apertura dura se recortará. Se pierde energía y se produce difracción en los bordes, lo que aumenta efectivamente la divergencia. Debido a estos efectos, existe un diámetro de haz gaussiano que maximiza la intensidad en el campo lejano. Esto ocurre cuando el${\displaystyle 1/e^{2}}$El diámetro de la gaussiana es el 89% del diámetro de la apertura, y la intensidad en el eje en el campo lejano será el 81% de la producida por un perfil de intensidad uniforme. ^{[ 19 ]}

La integral de Fourier de la sección transversal circular de radio${\displaystyle a}$es

${\displaystyle \int _{0}^{a}rdr\int _{0}^{2\pi }d\phi e^{i{\vec {k}}\cdot {\vec {r}}}=\int _{0}^{a}rdr\int _{0}^{2\pi }d\phi e^{ikr\cos \phi }=2\int _{0}^{a}rdr\int _{0}^{\pi }d\phi \cos(kr\cos \phi )=2\pi \int _{0}^{a}rdrJ_{0}(kr)=2\pi {\frac {a}{k}}J_{1}(ka).}$

Este es el caso especial de la integral de Fourier de la sección transversal elíptica con semiejes.${\displaystyle a}$y${\displaystyle b}$: ^{[ 20 ] [ 21 ]}

${\displaystyle \int _{x^{2}/a^{2}+y^{2}/b^{2}\leq 1}e^{ik_{x}x}e^{ik_{y}y}dxdy=2\pi {\frac {ab}{c}}J_{1}(c)}$

dónde

${\displaystyle c\equiv {\sqrt {(k_{x}a)^{2}+(k_{y}b)^{2}}}.}$

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