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Análisis de señales multidimensionales mediante ondículas

Las ondículas se utilizan frecuentemente para analizar señales suaves por partes. [ 1 ] Los coeficientes de ondícula pueden representar eficientemente una señal, lo que ha dado ...

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Las ondículas se utilizan frecuentemente para analizar señales suaves por partes. [ 1 ] Los coeficientes de ondícula pueden representar eficientemente una señal, lo que ha dado lugar a algoritmos de compresión de datos que utilizan ondículas. [ 2 ] El análisis de ondículas también se extiende al procesamiento de señales multidimensionales . Este artículo presenta algunos métodos para la síntesis y el análisis de ondículas para señales multidimensionales. También surgen desafíos como la directividad en el caso multidimensional.

Transformada discreta de ondículas separable multidimensional (DWT)

La transformada discreta de ondículas se extiende al caso multidimensional utilizando el producto tensorial de ondículas unidimensionales bien conocidas. En 2D, por ejemplo, el espacio de producto tensorial para 2D se descompone en cuatro espacios vectoriales de producto tensorial [ 3 ] como

(φ(x) ⨁ ψ(x)) ⊗ (φ(y) ⨁ ψ(y)) = { φ(x)φ(y), φ(x)ψ(y), ψ(x)φ(y), ψ(x)ψ(y) }

Esto lleva al concepto de DWT separable multidimensional, similar en principio a la DFT multidimensional.

φ(x)φ(y) proporciona los coeficientes de aproximación y otras subbandas:

subbanda baja-alta (LH) φ(x)ψ(y) ,

Subbanda alta-baja (HL) ψ(x)φ(y) ,

ψ(x)ψ(y) subbanda alta-alta (HH),

Proporcione coeficientes detallados.

Implementación de DWT separable multidimensional

Los coeficientes de ondícula se pueden calcular haciendo pasar la señal a descomponer a través de una serie de filtros. En el caso unidimensional, hay dos filtros en cada nivel: uno de paso bajo para la aproximación y uno de paso alto para los detalles. En el caso multidimensional, el número de filtros en cada nivel depende del número de espacios vectoriales de producto tensorial. Para MD, se necesitan 2M filtros en cada nivel. Cada uno de ellos se denomina subbanda. La subbanda con todos los filtros de paso bajo (LLL...) proporciona los coeficientes de aproximación y el resto proporciona los coeficientes de detalle en ese nivel. Por ejemplo, para M =3 y una señal de tamaño N1 × N2 × N3 , una DWT separable se puede implementar de la siguiente manera:

La figura muestra el procedimiento DWT separable 3D aplicando DWT 1D para cada dimensión y dividiendo los datos en fragmentos para obtener wavelets para diferentes subbandas.

Al aplicar el banco de filtros de análisis DWT 1-D en la dimensión N1 , se divide en dos fragmentos de tamaño N1 / 2 × N2 × N3 . Al aplicar DWT 1-D en la dimensión N2 , cada uno de estos fragmentos se divide en dos fragmentos más de N1 / 2 × N2 / 2 × N3 . Esto, repetido en 3-D, da un total de 8 fragmentos de tamaño N1 / 2 × N2 / 2 × N3 / 2 . [ 4 ]

La figura muestra el banco de filtros de análisis 3D para la DWT separable 3D.

Desventajas de la DWT separable MD

Las ondículas generadas por el procedimiento DWT separable presentan una alta variabilidad con el desplazamiento. Un pequeño desplazamiento en la señal de entrada modifica considerablemente los coeficientes de las ondículas. Además, estas ondículas tienen una magnitud casi idéntica en todas las direcciones, por lo que no reflejan la orientación ni la directividad que podría estar presente en la señal multidimensional. Por ejemplo, podría existir una discontinuidad en el borde de una imagen o un objeto que se mueve suavemente a lo largo de una línea recta en la dimensión espacio-temporal 4D. Un DWT separable no captura completamente estas discontinuidades. Para superar estas dificultades, se desarrolló un método de transformada wavelet denominado transformada wavelet compleja (CWT).

transformada wavelet compleja multidimensional

De forma similar a la transformada wavelet compleja unidimensional, [ 5 ] se consideran productos tensoriales de wavelets complejas para generar wavelets complejas para el análisis de señales multidimensionales. Un análisis posterior revela que estas wavelets complejas están orientadas. [ 6 ] Este tipo de orientación ayuda a resolver la ambigüedad direccional de la señal.

Implementación de CWT de árbol dual multidimensional (MD)

La transformada wavelet discreta de doble árbol en 1-D utiliza dos transformadas wavelet discretas reales, donde la primera proporciona la parte real de la transformada wavelet discreta y la segunda, la parte imaginaria. La transformada wavelet discreta de doble árbol multidimensional se analiza en términos de productos tensoriales. Sin embargo, es posible implementar transformadas wavelet discretas multidimensionales de manera eficiente utilizando transformadas wavelet discretas multidimensionales separables y considerando la suma y la diferencia de las subbandas obtenidas. Además, estas wavelets tienden a orientarse en direcciones específicas.

Se pueden implementar dos tipos de CWT MD orientadas. Al considerar solo la parte real del producto tensorial de las ondículas, se obtienen coeficientes reales. Todas las ondículas están orientadas en direcciones diferentes. Esto resulta 2 m veces más costoso, donde m es el número de dimensiones.

Si se consideran tanto la parte real como la imaginaria de los productos tensoriales de ondículas complejas, se obtiene una CWT de árbol dual orientada compleja, que es dos veces más extensa que una CWT de árbol dual orientada real. Por lo tanto, hay dos ondículas orientadas en cada una de las direcciones. Aunque la implementación de la estructura de árbol dual orientada compleja requiere más recursos, se utiliza para garantizar una propiedad aproximada de invariancia de traslación que una ondícula analítica compleja puede proporcionar en 1-D. En el caso 1-D, se requiere que la parte real de la ondícula y la parte imaginaria sean pares de transformada de Hilbert para que la ondícula sea analítica y presente invariancia de traslación. De manera similar, en el caso MD, las partes real e imaginaria de los productos tensoriales se hacen pares aproximados de transformada de Hilbert para que sean analíticas e invariantes de traslación. [ 6 ] [ 7 ]

Consideremos un ejemplo de CWT con orientación real de árbol dual 2D:

Sean ψ(x) y ψ(y) ondículas complejas:

ψ(x) = ψ(x) h + j ψ(x) g y ψ(y) = ψ(y) h + j ψ(y) g .

ψ(x,y) = [ψ(x) h + j ψ(x) g ][ ψ(y) h + j ψ(y) g ] = ψ(x) h ψ(y) h - ψ (x) g ψ(x) g + j [ψ(x) h ψ(y) g - ψ(x) h ψ(x) g ]

El soporte del espectro de Fourier de la wavelet anterior reside en el primer cuadrante. Cuando se considera solo la parte real, Real(ψ(x,y)) = ψ(x) h ψ(y) h - ψ(x) g ψ(x) g tiene soporte en cuadrantes opuestos (ver (a) en la figura). Tanto ψ(x) h ψ(y) h como ψ(x) g ψ(y) g corresponden a la subbanda HH de dos DWT 2-D separables diferentes. Esta wavelet está orientada a -45 o .

De manera similar, al considerar ψ 2 (x,y) = ψ(x)ψ(y) * , se obtiene una ondícula orientada a 45 ° . Para obtener 4 ondículas reales orientadas más, se consideran φ(x)ψ(y) , ψ(x)φ(y) , φ(x)ψ(y) * y ψ(x)φ(y) * .

La implementación de la estructura de árbol dual orientado complejo se realiza de la siguiente manera: Se implementan en paralelo dos transformadas wavelet discretas bidimensionales (DWT) separables utilizando la estructura de banco de filtros descrita en la sección anterior. A continuación, la suma y la diferencia apropiadas de las distintas subbandas (LL, LH, HL, HH) generan wavelets orientadas, un total de 6.

La figura muestra el soporte de Fourier de las 6 ondículas orientadas obtenidas mediante una transformada wavelet continua de doble árbol orientado real bidimensional.

De manera similar, en 3D, se necesitan 4 DWT 3D separables en paralelo y se obtiene un total de 28 wavelets orientadas.

Desventajas de MD CWT

Aunque la MD CWT proporciona ondículas orientadas, estas orientaciones solo son apropiadas para representar la orientación a lo largo de la dimensión (m-1) de una señal con m dimensiones . Cuando se consideran singularidades en la variedad [ 8 ] de dimensiones inferiores, como una abeja que se mueve en línea recta en el espacio-tiempo de 4 dimensiones, se necesitan ondículas orientadas que sean suaves en la dirección de la variedad y cambien rápidamente en la dirección normal a ella. Para abordar este problema, se desarrolló una nueva transformada, la transformada de ondículas hipercomplejas.

transformada wavelet hipercompleja

La transformada wavelet hipercompleja de árbol dual (HWT) desarrollada en [ 9 ] consta de un tensor DWT estándar y 2 m -1 wavelets obtenidas al combinar la transformada de Hilbert 1-D de estas wavelets a lo largo de las n coordenadas. En particular, una HWT 2-D consta del tensor DWT separable 2-D estándar y tres componentes adicionales:

H x {ψ(x) h ψ(y) h } = ψ(x) g ψ(y) h

H y {ψ(x) h ψ(y) h } = ψ(x) h ψ(y) g

H x H y {ψ(x) h ψ(y) h } = ψ(x) g ψ(y) g

Para el caso 2D, esto se denomina transformada wavelet de cuaternión de árbol dual (QWT) . [ 10 ] La redundancia total en MD es de 2 m marco ajustado.

Transformada wavelet hipercompleja direccional

La transformada hipercompleja descrita anteriormente sirve como bloque de construcción para la transformada wavelet hipercompleja direccional (DHWT) . Una combinación lineal de las wavelets obtenidas mediante la transformada hipercompleja da como resultado una wavelet orientada en una dirección particular. Para la DHWT bidimensional, se observa que estas combinaciones lineales corresponden al caso exacto de la CWT de árbol dual bidimensional. Para tres dimensiones, la DHWT puede considerarse en dos dimensiones, una DHWT para n = 1 y otra para n = 2. Para n = 2 , n = m-1 , por lo que, como en el caso bidimensional, esto corresponde a la CWT de árbol dual tridimensional. Pero el caso de n = 1 da lugar a una nueva transformada DHWT. La combinación de wavelets HWT tridimensionales se realiza de manera que la wavelet resultante sea de paso bajo en una dimensión y de paso de banda en dos dimensiones. En [ 9 ], esto se utilizó para detectar singularidades de línea en el espacio tridimensional.

Desafíos por delante

Las transformadas wavelet para señales multidimensionales suelen ser computacionalmente complejas, como ocurre con la mayoría de las señales multidimensionales. Además, los métodos CWT y DHWT son redundantes, a pesar de que ofrecen directividad e invariancia de desplazamiento.

Referencias

  1. ↑ Mallat, Stéphane (2008). Un recorrido por el procesamiento de señales mediante ondículas . Academic Press.
  2. ↑ Devore, RA; Jawerth, B.; Lucier, BJ (1991). "Compresión de datos mediante ondículas: error, suavidad y cuantización". [ 1991 ] Actas. Conferencia sobre compresión de datos . págs. 186–195 . doi : 10.1109/DCC.1991.213386 . ISBN  978-0-8186-9202-4. S2CID 11964668 . 
  3. ↑ Kugarajah, Tharmarajah; Zhang, Qinghua (noviembre de 1995). "Marcos de ondículas multidimensionales". IEEE Transactions on Neural Networks . 6 (6): 1552– 1556. doi : 10.1109/72.471353 . hdl : 1903/5619 . PMID 18263450 . 
  4. ↑ Cheng-Wu, Po; Gee-Chen, Liang (7 de agosto de 2002). "Una arquitectura eficiente para la transformada discreta de ondículas bidimensional". IEEE Transactions on Circuits and Systems for Video Technology . 11 (4): 536– 545. doi : 10.1109/76.915359 .
  5. ↑ Kingsbury, Nick (2001). "Ondículas complejas para el análisis y filtrado de señales invariantes a la traslación" . Análisis armónico aplicado y computacional . 10 (3): 234– 253. doi : 10.1006/acha.2000.0343 .
  6. 1 2 Selesnick, Ivan; Baraniuk, Richard; Kingsbury, Nick (2005). "La transformada wavelet compleja de doble árbol". IEEE Signal Processing Magazine . 22 (6): 123– 151. Bibcode : 2005ISPM...22..123S . doi : 10.1109/MSP.2005.1550194 . hdl : 1911/20355 . S2CID 833630 . 
  7. ↑ Selesnick, IW (junio de 2001). "Pares de transformadas de Hilbert de bases de ondículas". IEEE Signal Processing Letters . 8 (6): 170– 173. Bibcode : 2001ISPL....8..170S . CiteSeerX 10.1.1.139.5369 . doi : 10.1109/97.923042 . S2CID 5994808 .  
  8. ↑ Boothby, W (2003). Una introducción a las variedades diferenciables y la geometría riemanniana . San Diego: Academic.
  9. 1 2 Wai Lam Chan; Hyeokho Choi; Baraniuk, RG (2004). "Ondículas hipercomplejas direccionales para el análisis y procesamiento de señales multidimensionales". 2004 IEEE International Conference on Acoustics, Speech, and Signal Processing . Vol. 3. pp. iii–996–9. doi : 10.1109/ICASSP.2004.1326715 . hdl : 1911/19796 . ISBN   0-7803-8484-9. S2CID 8287497 . 
  10. ↑ Lam Chan, Wai; Choi, Hyeokho; Baraniuk, Richard (2008). "Procesamiento coherente de imágenes multiescala utilizando ondículas de cuaterniones de doble árbol". IEEE Transactions on Image Processing . 17 (7): 1069– 1082. Bibcode : 2008ITIP...17.1069C . doi : 10.1109/TIP.2008.924282 . PMID 18586616 . S2CID 16789586 .  
  • Implementación en Matlab de las transformadas wavelet
  • Un panorama sobre representaciones geométricas multiescala que entrelazan selectividad espacial, direccional y de frecuencia , una revisión sobre representaciones de ondículas 2D (bidimensionales)