Banco de filtros

Un filtro paso bajo estrecho se define como un filtro paso bajo con una banda de paso estrecha . Para crear un filtro FIR paso bajo estrecho multivelocidad, se puede reemplazar el filtro FIR invariante en el tiempo con un filtro anti-aliasing paso bajo y un decimador, junto con un interpolador y un filtro anti-imagen paso bajo. De esta forma, el sistema multivelocidad resultante es un filtro de fase lineal variable en el tiempo mediante el decimador y el interpolador. El filtro paso bajo consta de dos filtros polifásicos, uno para el decimador y otro para el interpolador. ^{[ 4 ]}

Un banco de filtros divide la señal de entrada.${\displaystyle x\left(n\right)}$en un conjunto de señales${\displaystyle x_{1}(n),x_{2}(n),x_{3}(n),...}$De esta manera, cada una de las señales generadas corresponde a una región diferente en el espectro de${\displaystyle x\left(n\right)}$En este proceso, es posible que las regiones se superpongan (o no, según la aplicación).

Las señales generadas${\displaystyle x_{1}(n),x_{2}(n),x_{3}(n),...}$se puede generar mediante una colección de conjuntos de filtros de paso de banda con anchos de banda ${\displaystyle {\rm {BW_{1},BW_{2},BW_{3},...}}}$y frecuencias centrales${\displaystyle f_{c1},f_{c2},f_{c3},...}$(respectivamente). Un banco de filtros multivelocidad utiliza una única señal de entrada y luego produce múltiples salidas de la señal mediante filtrado y submuestreo. Para dividir la señal de entrada en dos o más señales, se puede utilizar un sistema de análisis y síntesis.

La señal se dividiría con la ayuda de cuatro filtros.${\displaystyle H_{k}(z)}$para k =0,1,2,3 en 4 bandas de los mismos anchos de banda (en el banco de análisis) y luego cada subseñal se diezma por un factor de 4. En cada banda, al dividir la señal en cada banda, tendríamos diferentes características de señal.

En la sección de síntesis, el filtro reconstruirá la señal original: primero, se sobremuestrean las 4 subseñales a la salida de la unidad de procesamiento por un factor de 4 y luego se filtran mediante 4 filtros de síntesis.${\displaystyle F_{k}(z)}$para k = 0,1,2,3. Finalmente, se suman las salidas de estos cuatro filtros.

Un marco de banco de filtros de tiempo discreto permite incluir características dependientes de la señal de entrada deseadas en el diseño, además de la propiedad de reconstrucción perfecta más tradicional. Las características de la teoría de la información, como la compactación de energía maximizada, la descorrelación perfecta de señales de subbanda y otras características para la estructura de covarianza/correlación de entrada dada, se incorporan en el diseño de bancos de filtros óptimos. ^{[ 5 ]} Estos bancos de filtros se asemejan a la transformada de Karhunen-Loève (KLT) dependiente de la señal, que es la transformada de bloques óptima donde la longitud L de las funciones base (filtros) y la dimensión del subespacio M son iguales.

Podemos usar la representación polifásica, por lo que la señal de entrada${\displaystyle x[n]}$puede representarse mediante un vector de sus componentes polifásicas.${\displaystyle x(z){\stackrel {\rm {def}}{=}}(X_{0}(z),...,X_{|M|-1}(z))^{T}}$. Denotar${\displaystyle y(z){\stackrel {\rm {def}}{=}}(Y_{0}(z),...,Y_{|N|-1}(z))^{T}.}$ Entonces tendríamos${\displaystyle y(z)=H(z)x(z)}$, dónde${\displaystyle H_{i,j}(z)}$denota el j -ésimo componente polifásico del filtro${\displaystyle H_{i}(z)}$.

De manera similar, para la señal de salida tendríamos${\displaystyle {\hat {x}}(z)=G(z)y(z)}$, dónde${\displaystyle {\hat {x}}(z){\stackrel {\rm {def}}{=}}({\hat {X}}_{0}(z),...,{\hat {X}}_{|M|-1}(z))^{T}}$. Además, G es una matriz donde${\displaystyle G_{i,j}(z)}$denota el i-ésimo componente polifásico del j-ésimo filtro de síntesis Gj(z).

El banco de filtros tiene una reconstrucción perfecta si${\displaystyle x(z)={\hat {x}}(z)}$para cualquier entrada, o equivalentemente${\displaystyle I_{|M|}=G(z)H(z)}$lo que significa que G(z) es una inversa izquierda de H(z).

A continuación se presentan varios enfoques para el diseño de bancos de filtros multidimensionales. Para obtener más detalles, consulte las referencias ORIGINALES .

Cuando sea necesario reconstruir la señal dividida para obtener la señal original, se pueden utilizar bancos de filtros de reconstrucción perfecta (PR).

Sea H( z ) la función de transferencia de un filtro. El tamaño del filtro se define como el orden del polinomio correspondiente en cada dimensión. La simetría o antisimetría de un polinomio determina la propiedad de fase lineal del filtro correspondiente y está relacionada con su tamaño. Al igual que en el caso 1D, el término de aliasing A(z) y la función de transferencia T(z) para un banco de filtros de 2 canales son: ^{[ 9 ]}

A( z )=1/2(H ₀ (- z ) F ₀ ( z )+H ₁ (- z ) F ₁ ( z )); T( z )=1/2(H ₀ ( z ) F ₀ ( z )+H ₁ ( z ) F ₁ ( z )), donde H ₀ y H ₁ son filtros de descomposición, y F ₀ y F ₁ son filtros de reconstrucción.

La señal de entrada se puede reconstruir perfectamente si se cancela el término de alias y T( z ) es igual a un monomio. Por lo tanto, la condición necesaria es que T'( z ) sea generalmente simétrico y de tamaño impar.

Los filtros PR de fase lineal son muy útiles para el procesamiento de imágenes. Este banco de filtros de dos canales es relativamente fácil de implementar. Sin embargo, a veces dos canales no son suficientes. Los bancos de filtros de dos canales se pueden conectar en cascada para generar bancos de filtros multicanal.

Los bancos de filtros direccionales M-dimensionales (MDFB) son una familia de bancos de filtros que permiten la descomposición direccional de señales M-dimensionales arbitrarias mediante una estructura de árbol simple y eficiente. Poseen propiedades distintivas como la descomposición direccional, una construcción de árbol eficiente, resolución angular y reconstrucción perfecta. En el caso general M-dimensional, los soportes de frecuencia ideales de los MDFB son hiperpirámides basadas en hipercubos. El primer nivel de descomposición de los MDFB se logra mediante un banco de filtros no diezmado de N canales, cuyos filtros componentes son filtros MD con forma de "reloj de arena" alineados con los ejes w₁ _, ..., wM _, respectivamente. Después, la señal de entrada se descompone aún más mediante una serie de bancos de filtros de tablero de ajedrez remuestreados iterativamente en 2D IRC _li ^{( Li )} (i=2,3,...,M), donde IRC _li ^{( Li )} opera sobre cortes en 2D de la señal de entrada representados por el par de dimensiones (n ₁ ,n _i ) y el superíndice (Li) indica los niveles de descomposición para el banco de filtros de nivel i. Nótese que, a partir del segundo nivel, se adjunta un banco de filtros IRC a cada canal de salida del nivel anterior, por lo que el filtro completo tiene un total de 2 ^{( L ₁ +...+ L _N )} canales de salida. ^{[ 10 ]}

Los bancos de filtros sobremuestreados son bancos de filtros multivelocidad donde el número de muestras de salida en la etapa de análisis es mayor que el número de muestras de entrada. Se proponen para aplicaciones robustas. Una clase particular de bancos de filtros sobremuestreados son los bancos de filtros sin submuestreo, sin reducción ni aumento de frecuencia. La condición de reconstrucción perfecta para un banco de filtros sobremuestreado puede expresarse como un problema inverso de matrices en el dominio polifásico. ^{[ 11 ]}

Para bancos de filtros sobremuestreados IIR, la reconstrucción perfecta se ha estudiado en Wolovich ^{[ 12 ]} y Kailath ^{[ 13 ]} en el contexto de la teoría de control. Mientras que para bancos de filtros sobremuestreados FIR debemos usar una estrategia diferente para 1-D y MD. Los filtros FIR son más populares ya que son más fáciles de implementar. Para bancos de filtros FIR sobremuestreados 1-D, el algoritmo euclidiano juega un papel clave en el problema inverso de la matriz ^{[ 14 ]} . Sin embargo, el algoritmo euclidiano falla para filtros multidimensionales (MD). Para filtros MD, podemos convertir la representación FIR en una representación polinómica ^{[ 15 ]} . Y luego usar geometría algebraica y bases de Gröbner para obtener el marco y la condición de reconstrucción de los bancos de filtros sobremuestreados multidimensionales ^{[ 11 ] .}

Los bancos de filtros no submuestreados son bancos de filtros sobremuestreados particulares sin submuestreo ni sobremuestreo. La condición de reconstrucción perfecta para los bancos de filtros FIR no submuestreados conduce a un problema inverso vectorial: los filtros de análisis${\displaystyle \{H_{1},...,H_{N}\}}$Se dan los datos y FIR, y el objetivo es encontrar un conjunto de filtros de síntesis FIR.${\displaystyle \{G_{1},...,G_{N}\}}$satisfactorio. ^{[ 11 ]}

Dado que los bancos de filtros multidimensionales pueden representarse mediante matrices racionales multivariadas, este método es una herramienta muy eficaz que puede utilizarse para trabajar con bancos de filtros multidimensionales. ^{[ 15 ]}

En Charo, ^{[ 15 ]} se introduce y analiza un algoritmo de factorización de matrices polinómicas multivariadas. El problema más común son los bancos de filtros multidimensionales para la reconstrucción perfecta. Este artículo describe el método para lograr este objetivo, que satisface la condición de restricción de fase lineal.

Según la descripción del artículo, se discuten algunos resultados nuevos en factorización y se aplican a problemas de bancos de filtros de respuesta de impulso finito con reconstrucción perfecta de fase lineal multidimensional. El concepto básico de las bases de Gröbner se presenta en Adams. ^{[ 16 ]}

Este enfoque, basado en la factorización de matrices multivariadas, puede utilizarse en diferentes ámbitos. La teoría algorítmica de ideales y módulos polinomiales puede modificarse para abordar problemas de procesamiento, compresión, transmisión y decodificación de señales multidimensionales.

El banco de filtros multidimensional general (Figura 7) puede representarse mediante un par de matrices polifásicas de análisis y síntesis.${\displaystyle H(z)}$y${\displaystyle G(z)}$de tamaño${\displaystyle N\times M}$y${\displaystyle M\times N}$, donde N es el número de canales y${\displaystyle M{\stackrel {\rm {def}}{=}}|M|}$es el valor absoluto del determinante de la matriz de muestreo. Además${\displaystyle H(z)}$y${\displaystyle G(z)}$son la transformada Z de los componentes polifásicos de los filtros de análisis y síntesis. Por lo tanto, son polinomios de Laurent multivariados , que tienen la forma general:

${\displaystyle F(z)=\sum _{k\in \mathbf {Z} ^{d}}f[k]z^{k}=\sum _{k\in \mathbf {Z} ^{d}}f[k_{1},...,k_{d}]z_{1}^{k_{1}}...z_{d}^{k_{d}}}$.

La ecuación matricial polinómica de Laurent debe resolverse para diseñar bancos de filtros de reconstrucción perfectos:

${\displaystyle G(z)H(z)=I_{|M|}}$.

En el caso multidimensional con polinomios multivariados necesitamos utilizar la teoría y los algoritmos de las bases de Gröbner. ^{[ 17 ]}

Las bases de Gröbner se pueden utilizar para caracterizar bancos de filtros multidimensionales de reconstrucción perfecta, pero primero es necesario extenderlas de matrices polinómicas a matrices polinómicas de Laurent . ^{[ 18 ] [ 19 ]}

El cálculo basado en Gröbner puede considerarse equivalentemente como la eliminación gaussiana para resolver la ecuación matricial polinómica. ${\displaystyle G(z)H(z)=I_{|M|}}$Si tenemos un conjunto de vectores polinomiales

${\displaystyle \mathrm {Module} \left\{h_{1}(z),...,h_{N}(z)\right\}{\stackrel {\rm {def}}{=}}\{c_{1}(z)h_{1}(z)+...+c_{N}(z)h_{N}(z)\}}$

dónde${\displaystyle c_{1}(z),...,c_{N}(z)}$son polinomios.

El módulo es análogo al espacio vectorial generado por un conjunto de vectores en álgebra lineal. La teoría de las bases de Gröbner implica que el módulo tiene una única base de Gröbner reducida para un orden dado de productos de potencias en polinomios.

Si definimos la base de Gröbner como${\displaystyle \left\{b_{1}(z),...,b_{N}(z)\right\}}$, se puede obtener de${\displaystyle \left\{h_{1}(z),...,h_{N}(z)\right\}}$mediante una secuencia finita de pasos de reducción (división).

Mediante ingeniería inversa, podemos calcular los vectores base.${\displaystyle b_{i}(z)}$en términos de los vectores originales${\displaystyle h_{j}(z)}$a través de un${\displaystyle K\times N}$matriz de transformación${\displaystyle W_{ij}(z)}$como:

${\displaystyle b_{i}(z)=\sum _{j=1}^{N}W_{ij}(z)h_{j}(z),i=1,...,K}$

El diseño de filtros con buenas respuestas en frecuencia mediante el enfoque de bases de Gröbner resulta complejo. El diseño basado en mapeo se utiliza comúnmente para diseñar bancos de filtros multidimensionales no separables con buenas respuestas en frecuencia. ^{[ 20 ] [ 21 ]}

Los enfoques de mapeo tienen ciertas restricciones en el tipo de filtros; sin embargo, aportan muchas ventajas importantes, como una implementación eficiente mediante estructuras de elevación/escalera. Aquí proporcionamos un ejemplo de bancos de filtros de dos canales en 2D con matriz de muestreo. ${\displaystyle D_{1}=\left[{\begin{array}{cc}2&0\\0&1\end{array}}\right]}$ Tendríamos varias opciones posibles de respuestas de frecuencia ideales del filtro del canal.${\displaystyle H_{0}(\xi )}$y${\displaystyle G_{0}(\xi )}$. (Tenga en cuenta que los otros dos filtros${\displaystyle H_{1}(\xi )}$y${\displaystyle G_{1}(\xi )}$están soportadas en regiones complementarias.) Todas las regiones de frecuencia en la Figura pueden ser muestreadas críticamente por la red rectangular abarcada por${\displaystyle D_{1}}$Imaginemos que el banco de filtros logra una reconstrucción perfecta con filtros FIR. Entonces , a partir de la caracterización del dominio polifásico, se deduce que los filtros H1(z) y G1(z) están completamente definidos por H0(z) y G0(z), respectivamente. Por lo tanto, necesitamos diseñar H0(x) y G0(z) que tengan las respuestas en frecuencia deseadas y satisfagan las condiciones del dominio polifásico. ${\displaystyle H_{0}(z_{1},z_{2})G_{0}(z_{1},z_{2})+H_{0}(-z_{1},z_{2})G_{0}(-z_{1},z_{2})=2}$ Existen diferentes técnicas de mapeo que se pueden utilizar para obtener el resultado anterior. ^{[ 22 ]}

Cuando no se necesita una reconstrucción perfecta, el problema de diseño se puede simplificar trabajando en el dominio de la frecuencia en lugar de usar filtros FIR. ^{[ 23 ] [ 24 ]} Tenga en cuenta que el método del dominio de la frecuencia no se limita al diseño de bancos de filtros no submuestreados (consulte ^{[ 25 ]} ).

Muchos de los métodos existentes para diseñar bancos de filtros de 2 canales se basan en la técnica de transformación de variables. Por ejemplo, la transformada de McClellan se puede utilizar para diseñar bancos de filtros de 2 canales unidimensionales. Si bien los bancos de filtros bidimensionales tienen muchas propiedades similares al prototipo unidimensional, es difícil extenderlos a casos de más de 2 canales. ^{[ 26 ]}

En Nguyen, ^{[ 26 ]} los autores hablan sobre el diseño de bancos de filtros multidimensionales mediante optimización directa en el dominio de la frecuencia. El método propuesto aquí se centra principalmente en el diseño de bancos de filtros 2D de M canales. El método es flexible con respecto a las configuraciones de soporte de frecuencia. Los bancos de filtros 2D diseñados mediante optimización en el dominio de la frecuencia se han utilizado en Wei ^{[ 27 ]} y Lu. ^{[ 28 ]} En el artículo de Nguyen, ^{[ 26 ]} el método propuesto no se limita al diseño de bancos de filtros 2D de dos canales; el enfoque se generaliza a bancos de filtros de M canales con cualquier matriz de submuestreo crítica. Según la implementación en el artículo, se puede utilizar para lograr el diseño de bancos de filtros 2D de hasta 8 canales.

(6) Matriz de la cubierta inversa ^{[ 29 ]}

En el artículo de Lee de 1999, ^{[ 29 ]} los autores hablan sobre el diseño de un banco de filtros multidimensional utilizando una matriz de chaqueta inversa . Sea H una matriz de Hadamard de orden n , la transpuesta de H está estrechamente relacionada con su inversa. La fórmula correcta es:${\displaystyle HH^{T}=I_{n}}$donde I _n es la matriz identidad n×n y H ^T es la transpuesta de H. En el artículo de 1999, ^{[ 29 ]} los autores generalizan la matriz inversa de la chaqueta [RJ] _N utilizando matrices de Hadamard y matrices de Hadamard ponderadas. ^{[ 30 ] [ 31 ]}

En este artículo, los autores propusieron utilizar un filtro FIR de 128 coeficientes como filtro base, y calcularon el factor de decimación para matrices RJ. Realizaron simulaciones con diferentes parámetros y obtuvieron un buen rendimiento con un bajo factor de decimación.

• Harris, Fredric J. (2004). Procesamiento de señales multivelocidad para sistemas de comunicación . Upper Saddle River, NJ: Prentice Hall PTR. ISBN 0-13-146511-2.