Submuestreo

En el procesamiento de señales , el submuestreo o muestreo de paso de banda es una técnica en la que se muestrea una señal filtrada por paso de banda a una frecuencia de muestreo inferior a su frecuencia de Nyquist (el doble de la frecuencia de corte superior ), pero aún así es posible reconstruir la señal.

Cuando se submuestrea una señal de paso de banda, las muestras son indistinguibles de las muestras de un alias de baja frecuencia de la señal de alta frecuencia. Este tipo de muestreo también se conoce como muestreo de paso de banda, muestreo armónico, muestreo de FI y conversión directa de FI a digital. ^[1]

Las transformadas de Fourier de funciones de valor real son simétricas alrededor del eje de 0 Hz . Después del muestreo, solo está disponible una suma periódica de la transformada de Fourier (llamada transformada de Fourier de tiempo discreto ). Las copias individuales desplazadas en frecuencia de la transformada original se denominan alias . El desplazamiento de frecuencia entre alias adyacentes es la frecuencia de muestreo, denotada por f _s . Cuando los alias son mutuamente excluyentes (espectralmente), la transformada original y la función continua original, o una versión desplazada en frecuencia de esta (si se desea), se pueden recuperar a partir de las muestras. Los gráficos primero y tercero de la Figura 1 representan un espectro de banda base antes y después de ser muestreado a una frecuencia que separa completamente los alias.

El segundo gráfico de la Figura 1 representa el perfil de frecuencia de una función de paso de banda que ocupa la banda ( A , A + B ) (sombreada en azul) y su imagen especular (sombreada en beige). La condición para una frecuencia de muestreo no destructiva es que los alias de ambas bandas no se superpongan cuando se desplazan por todos los múltiplos enteros de f _s . El cuarto gráfico representa el resultado espectral del muestreo a la misma frecuencia que la función de banda base. La frecuencia se eligió encontrando la frecuencia más baja que sea un submúltiplo entero de A y que también satisfaga el criterio de Nyquist de banda base : f _s  > 2 B . En consecuencia, la función de paso de banda se ha convertido efectivamente a banda base. Todas las demás frecuencias que evitan la superposición se dan por estos criterios más generales, donde A y A + B se reemplazan por f _L y f _H , respectivamente : ^{[2] [3]}

${\displaystyle {\frac {2f_{H}}{n}}\leq f_{s}\leq {\frac {2f_{L}}{n-1}}}$, para cualquier entero n que satisfaga:${\displaystyle 1\leq n\leq \left\lfloor {\frac {f_{H}}{f_{H}-f_{L}}}\right\rfloor }$

El n más alto para el cual se satisface la condición conduce a las tasas de muestreo más bajas posibles.

Las señales importantes de este tipo incluyen la señal de frecuencia intermedia (FI) de una radio, la señal de radiofrecuencia (RF) y los canales individuales de un banco de filtros .

Si n > 1, las condiciones dan como resultado lo que a veces se denomina submuestreo , muestreo de paso de banda o uso de una frecuencia de muestreo menor que la frecuencia de Nyquist (2 f _H ). Para el caso de una frecuencia de muestreo dada, a continuación se ofrecen fórmulas más simples para las restricciones en la banda espectral de la señal.

Ejemplo: Consideremos la radio FM para ilustrar la idea del submuestreo.

En los EE. UU., la radio FM opera en la banda de frecuencia de f _L = 88 MHz a f _H = 108 MHz. El ancho de banda está dado por

${\displaystyle W=f_{H}-f_{L}=108\ \mathrm {MHz} -88\ \mathrm {MHz} =20\ \mathrm {MHz} }$

Las condiciones de muestreo se cumplen para

${\displaystyle 1\leq n\leq \lfloor 5.4\rfloor =\left\lfloor {108\ \mathrm {MHz} \over 20\ \mathrm {MHz} }\right\rfloor }$

Por lo tanto, n puede ser 1, 2, 3, 4 o 5.

El valor n = 5 proporciona el intervalo de frecuencias de muestreo más bajo y este es un escenario de submuestreo. En este caso, el espectro de la señal se ajusta entre 2 y 2,5 veces la frecuencia de muestreo (superior a 86,4–88 MHz pero inferior a 108–110 MHz).${\displaystyle 43,2\ \mathrm {MHz} <f_{\mathrm {s} }<44\ \mathrm {MHz} }$

Un valor inferior de n también dará lugar a una frecuencia de muestreo útil. Por ejemplo, utilizando n = 4, el espectro de la banda FM se ajusta fácilmente entre 1,5 y 2,0 veces la frecuencia de muestreo, para una frecuencia de muestreo cercana a los 56 MHz (los múltiplos de la frecuencia de Nyquist son 28, 56, 84, 112, etc.). Vea las ilustraciones a la derecha.

Al submuestrear una señal del mundo real, el circuito de muestreo debe ser lo suficientemente rápido como para capturar la frecuencia de señal más alta de interés. Teóricamente, cada muestra debe tomarse durante un intervalo infinitesimalmente corto, pero esto no es factible en la práctica. En cambio, el muestreo de la señal debe realizarse en un intervalo lo suficientemente corto como para que pueda representar el valor instantáneo de la señal con la frecuencia más alta. Esto significa que en el ejemplo de radio FM anterior, el circuito de muestreo debe poder capturar una señal con una frecuencia de 108 MHz, no 43,2 MHz. Por lo tanto, la frecuencia de muestreo puede ser solo un poco mayor que 43,2 MHz, pero el ancho de banda de entrada del sistema debe ser al menos 108 MHz. De manera similar, la precisión de la sincronización del muestreo, o la incertidumbre de apertura del muestreador, con frecuencia el convertidor analógico a digital , debe ser apropiada para las frecuencias que se muestrean 108 MHz, no la frecuencia de muestreo más baja.

Si se interpreta que el teorema de muestreo requiere el doble de la frecuencia más alta, entonces se supondría que la frecuencia de muestreo requerida es mayor que la frecuencia de Nyquist de 216 MHz. Si bien esto satisface la última condición sobre la frecuencia de muestreo, está sobremuestreado enormemente.

Tenga en cuenta que si se muestrea una banda con n > 1, entonces se requiere un filtro de paso de banda para el filtro anti-aliasing , en lugar de un filtro de paso bajo.

Como hemos visto, la condición de banda base normal para el muestreo reversible es que X ( f ) = 0 fuera del intervalo :   ${\displaystyle \scriptstyle \left(-{\frac {1}{2}}f_{\mathrm {s} },{\frac {1}{2}}f_{\mathrm {s} }\right),}$

y la función de interpolación reconstructiva, o respuesta al impulso del filtro de paso bajo, es  ${\displaystyle \scriptstyle \operatorname {sinc} \left(t/T\right).}$

Para acomodar el submuestreo, la condición de paso de banda es que X ( f ) = 0 fuera de la unión de las bandas de frecuencia abiertas positivas y negativas

${\displaystyle \left(-{\frac {n}{2}}f_{\mathrm {s} },-{\frac {n-1}{2}}f_{\mathrm {s} }\right)\cup \left({\frac {n-1}{2}}f_{\mathrm {s} },{\frac {n}{2}}f_{\mathrm {s} }\right)}$para algún entero positivo .${\displaystyle n\,}$

que incluye la condición de banda base normal como caso n = 1 (excepto que donde los intervalos se unen en la frecuencia 0, pueden cerrarse).

La función de interpolación correspondiente es el filtro de paso de banda dado por esta diferencia de respuestas de impulso de paso bajo :

${\displaystyle n\operatorname {sinc} \left({\frac {nt}{T}}\right)-(n-1)\operatorname {sinc} \left({\frac {(n-1)t}{T}}\right)}$.

Por otra parte, la reconstrucción no suele ser el objetivo de las señales de FI o RF muestreadas. En cambio, la secuencia de muestras se puede tratar como muestras ordinarias de la señal desplazada en frecuencia hasta cerca de la banda base, y la demodulación digital puede proceder sobre esa base, reconociendo la duplicación del espectro cuando n es par.

Son posibles otras generalizaciones del submuestreo para el caso de señales con múltiples bandas y señales sobre dominios multidimensionales (espacio o espacio-tiempo), que han sido elaboradas en detalle por Igor Kluvánek .

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