Ondícula de Poisson

Para cada entero positivo n, la ondícula de Poisson${\displaystyle \psi _{n}(t)}$se define por

${\displaystyle \psi _{n}(t)={\begin{cases}\left({\frac {tn}{n!}}\right)t^{n-1}e^{-t}&{\text{ para }}t\geq 0\\0&{\text{ para }}t<0.\end{cases}}}$

Para ver la relación entre la ondícula de Poisson y la distribución de Poisson, sea X una variable aleatoria discreta con distribución de Poisson con parámetro (media) t y, para cada entero no negativo n , sea Prob( X = n ) = p _n ( t ). Entonces tenemos

${\displaystyle p_{n}(t)={\frac {t^{n}}{n!}}e^{-t}.}$

La ondícula de Poisson${\displaystyle \psi _{n}(t)}$ahora se da por

${\displaystyle \psi _{n}(t)=-{\frac {d}{dt}}p_{n}(t).}$

• ${\displaystyle \psi _{n}(t)}$es la diferencia hacia atrás de los valores de la distribución de Poisson:

${\displaystyle \psi _{n}(t)=p_{n}(t)-p_{n-1}(t).}$

• La "ondulación" de los miembros de esta familia de ondículas se deriva de

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\psi _{n}(t)\,dt=0.}$

• La transformada de Fourier de${\displaystyle \psi _{n}(t)}$se da

${\displaystyle \Psi (\omega )={\frac {-i\omega }{(1+i\omega )^{n+1}}}.}$

• La constante de admisibilidad asociada con${\displaystyle \psi _{n}(t)}$es

${\displaystyle C_{\psi _{n}}=\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\left|\Psi _{n}(\omega )\right|^{2}}{|\omega |}}\,d\omega ={\frac {1}{n}}.}$

• La ondícula de Poisson no es una familia ortogonal de ondículas.

La familia de ondículas de Poisson se puede utilizar para construir la familia de transformadas de ondículas de Poisson de funciones definidas en el dominio del tiempo. Dado que las ondículas de Poisson también satisfacen la condición de admisibilidad, las funciones en el dominio del tiempo se pueden reconstruir a partir de sus transformadas de ondículas de Poisson utilizando la fórmula para las transformadas de ondículas inversas de tiempo continuo.

Si f ( t ) es una función en el dominio del tiempo, su n -ésima transformada wavelet de Poisson viene dada por

${\displaystyle (W_{n}f)(a,b)={\frac {1}{\sqrt {|a|}}}\int _{-\infty }^{\infty }f(t)\psi _{n}\left({\frac {tb}{a}}\right)\,dt}$

En sentido inverso, dada la transformada wavelet de Poisson de orden n${\displaystyle (W_{n}f)(a,b)}$Si se trata de una función f ( t ) en el dominio del tiempo, la función f ( t ) se puede reconstruir de la siguiente manera:

${\displaystyle f(t)={\frac {1}{C_{\psi _{n}}}}\int _{-\infty }^{\infty }\left[\int _{-\infty }^{\infty }\,\left\{(W_{n}f)(a,b){\frac {1}{\sqrt {|a|}}}\psi _{n}\left({\frac {tb}{a}}\right)\,\right\}db\right]{\frac {da}{a^{2}}}}$

Las transformadas wavelet de Poisson se han aplicado en el análisis multirresolución, la identificación de sistemas y la estimación de parámetros. Son particularmente útiles para estudiar problemas en los que las funciones en el dominio del tiempo consisten en combinaciones lineales de exponenciales decrecientes con retardo temporal.

La ondícula de Poisson se define mediante la función ^{[ 3 ].}

${\displaystyle \psi (t)={\frac {1}{\pi }}{\frac {1-t^{2}}{(1+t^{2})^{2}}}}$

Esto se puede expresar de la forma

${\displaystyle \psi (t)=P(t)+t{\frac {d}{dt}}P(t)}$dónde${\displaystyle P(t)={\frac {1}{\pi }}{\frac {1}{1+t^{2}}}}$.

La función${\displaystyle P(t)}$aparece como un núcleo integral en la solución de un cierto problema de valor inicial del operador de Laplace .

Este es el problema del valor inicial: Dado cualquier${\displaystyle s(x)}$en${\displaystyle L^{p}(\mathbb {R} )}$encontrar una función armónica${\displaystyle \phi (x,y)}$definido en el semiplano superior que satisface las siguientes condiciones:

1. ${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }|\phi (x,y)|^{p}\,dx\leq c<\infty }$, y
2. ${\displaystyle \phi (x,y)\rightarrow s(x)}$como${\displaystyle y\rightarrow 0}$en${\displaystyle L^{p}(\mathbb {R} )}$.

El problema tiene la siguiente solución: Hay exactamente una función.${\displaystyle \phi (x,y)}$que satisface las dos condiciones y está dado por

${\displaystyle \phi (t,y)=P_{y}(t)\star s(t)}$

dónde${\displaystyle P_{y}(t)={\frac {1}{y}}P\left({\frac {t}{y}}\right)={\frac {1}{\pi }}{\frac {y}{t^{2}+y^{2}}}}$y donde "${\displaystyle \star }$" denota la operación de convolución . La función${\displaystyle P_{y}(t)}$es el núcleo integral para la función${\displaystyle \phi (x,y)}$. La función${\displaystyle \phi (x,y)}$es la continuación armónica de${\displaystyle s(x)}$en el semiplano superior.

• La "ondulación" de la función se deriva de

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\psi (t)\,dt=0}$.

• La transformada de Fourier de${\displaystyle \psi (t)}$es dado por

${\displaystyle \Psi (\omega )=|\omega |e^{-|\omega |}}$.

• La constante de admisibilidad es

${\displaystyle C_{\psi }=\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\left|\Psi (\omega )\right|^{2}}{|\omega |}}\,d\omega =2.}$

La ondícula de Poisson es una familia de funciones de valor complejo indexadas por el conjunto de enteros positivos y definidas por ^{[ 4 ] [ 5 ].}

${\displaystyle \psi _{n}(t)={\frac {1}{2\pi }}(1-it)^{-(n+1)}}$dónde${\displaystyle n=1,2,3,\ldots }$

La función${\displaystyle \psi _{n}(t)}$puede expresarse como una derivada de orden n de la siguiente manera:

${\displaystyle \psi _{n}(t)={\frac {1}{2\pi }}{\frac {1}{n!\,i^{n}}}{\frac {d^{n}}{dt^{n}}}\left((1-it)^{-1}\right)}$

Escribiendo la función ${\displaystyle (1-it)^{-1}}$en términos del núcleo integral de Poisson${\displaystyle P(t)={\frac {1}{1+t^{2}}}}$como

${\displaystyle (1-it)^{-1}=P(t)+itP(t)}$

tenemos

${\displaystyle \psi _{n}(t)={\frac {1}{2\pi }}{\frac {1}{n!\,i^{n}}}{\frac {d^{n}}{dt^{n}}}P(t)+i\left({\frac {1}{2\pi }}{\frac {1}{n!\,i^{n}}}{\frac {d^{n}}{dt^{n}}}\left(tP(t)\right)\right)}$

De este modo${\displaystyle \psi _{n}(t)}$puede interpretarse como una función proporcional a las derivadas del núcleo integral de Poisson.

La transformada de Fourier de${\displaystyle \psi _{n}(t)}$es dado por

${\displaystyle \Psi _{n}(\omega )={\frac {1}{\Gamma (n+1)}}\omega ^{n}e^{-\omega }u(\omega )}$

dónde${\displaystyle u(\omega )}$es la función escalón unitario .