Ondícula beta

Se pueden construir ondículas continuas de soporte compacto alfa, ^{[ 1 ]} que están relacionadas con la distribución beta . El proceso se deriva de distribuciones de probabilidad utilizando la derivada de desenfoque. Estas nuevas ondículas tienen un solo ciclo, por lo que se denominan ondículas monocíclicas. Se pueden ver como una variedad suave de ondículas de Haar cuya forma se ajusta con precisión mediante dos parámetros.${\displaystyle \alpha }$y${\displaystyle \beta }$Se derivan expresiones analíticas para las ondículas beta y las funciones de escala, así como sus espectros. Su importancia radica en el Teorema del Límite Central de Gnedenko y Kolmogorov, aplicado a señales con soporte compacto . ^{[ 2 ]}

La distribución beta es una distribución de probabilidad continua definida sobre el intervalo${\displaystyle 0\leq t\leq 1}$Se caracteriza por un par de parámetros, a saber:${\displaystyle \alpha }$y${\displaystyle \beta }$ de acuerdo a:

${\displaystyle P(t)={\frac {1}{B(\alpha ,\beta )}}t^{\alpha -1}\cdot (1-t)^{\beta -1},\quad 1\leq \alpha ,\beta \leq +\infty }$.

El factor de normalización es${\displaystyle B(\alpha ,\beta )={\frac {\Gamma (\alpha )\cdot \Gamma (\beta )}{\Gamma (\alpha +\beta )}}}$,

dónde${\displaystyle \Gamma (\cdot )}$es la función factorial generalizada de Euler y${\displaystyle B(\cdot ,\cdot )}$es la función Beta . ^{[ 3 ]}

Dejar${\displaystyle p_{i}(t)}$sea ​​una densidad de probabilidad de la variable aleatoria${\displaystyle t_{i}}$,${\displaystyle i=1,2,3..N}$es decir

${\displaystyle p_{i}(t)\geq 0}$,${\displaystyle (\forall t)}$y${\displaystyle \int _{-\infty }^{+\infty }p_{i}(t)dt=1}$.

Supongamos que todas las variables son independientes.

La media y la varianza de una variable aleatoria dada${\displaystyle t_{i}}$son, respectivamente

${\displaystyle m_{i}=\int _{-\infty }^{+\infty }\tau \cdot p_{i}(\tau )d\tau ,}$${\displaystyle \sigma _{i}^{2}=\int _{-\infty }^{+\infty }(\tau -m_{i})^{2}\cdot p_{i}(\tau )d\tau }$.

La media y la varianza de${\displaystyle t}$son por lo tanto${\displaystyle m=\sum _{i=1}^{N}m_{i}}$y${\displaystyle \sigma ^{2}=\sum _{i=1}^{N}\sigma _{i}^{2}}$.

La densidad${\displaystyle p(t)}$de la variable aleatoria correspondiente a la suma${\displaystyle t=\sum _{i=1}^{N}t_{i}}$es dado por el

Teorema del límite central para distribuciones de soporte compacto (Gnedenko y Kolmogorov). ^{[ 2 ]}

Dejar${\displaystyle \{p_{i}(t)\}}$sean distribuciones tales que${\displaystyle Supp\{(p_{i}(t))\}=(a_{i},b_{i})(\forall i)}$.

Dejar${\displaystyle a=\sum _{i=1}^{N}a_{i}<+\infty }$, y${\displaystyle b=\sum _{i=1}^{N}b_{i}<+\infty }$.

Sin pérdida de generalidad, supongamos que${\displaystyle a=0}$y${\displaystyle b=1}$.

La variable aleatoria${\displaystyle t}$sostiene, como${\displaystyle N\rightarrow \infty }$, ${\displaystyle p(t)\approx }$${\displaystyle {\begin{cases}{k\cdot t^{\alpha }(1-t)^{\beta }},\\otherwise\end{cases}}}$

dónde${\displaystyle \alpha ={\frac {m(mm^{2}-\sigma ^{2})}{\sigma ^{2}}},}$y${\displaystyle \beta ={\frac {(1-m)(\alpha +1)}{m}}.}$

Desde${\displaystyle P(\cdot |\alpha ,\beta )}$es unimodal , la ondícula generada por

${\displaystyle \psi _{beta}(t|\alpha ,\beta )=(-1){\frac {dP(t|\alpha ,\beta )}{dt}}}$ Tiene un solo ciclo (un semiciclo negativo y un semiciclo positivo).

Las principales características de las ondículas beta de parámetros${\displaystyle \alpha }$ y${\displaystyle \beta }$son:

${\displaystyle Supp(\psi )=[-{\sqrt {\frac {\alpha }{\beta }}}{\sqrt {\alpha +\beta +1}},{\sqrt {\frac {\beta }{\alpha }}}{\sqrt {\alpha +\beta +1}}]=[a,b].}$

${\displaystyle lengthSupp(\psi )=T(\alpha ,\beta )=(\alpha +\beta ){\sqrt {\frac {\alpha +\beta +1}{\alpha \beta }}}.}$

El parámetro${\displaystyle R=b/|a|=\beta /\alpha }$Se denomina “equilibrio cíclico” y se define como la relación entre las longitudes de la parte causal y la no causal de la ondícula. El instante de transición${\displaystyle t_{zerocross}}$del primer al segundo semiciclo viene dado por

${\displaystyle t_{zerocross}={\frac {(\alpha -\beta )}{(\alpha +\beta -2)}}{\sqrt {\frac {\alpha +\beta +1}{\alpha \beta }}}.}$

La función de escala (unimodal) asociada a las ondículas viene dada por

${\displaystyle \phi _{beta}(t|\alpha ,\beta )={\frac {1}{B(\alpha ,\beta )T^{\alpha +\beta -1}}}\cdot (ta)^{\alpha -1}\cdot (bt)^{\beta -1},}$${\displaystyle a\leq t\leq b}$.

Se puede derivar fácilmente una expresión de forma cerrada para las ondículas beta de primer orden. Dentro de su soporte,

${\displaystyle \psi _{beta}(t|\alpha ,\beta )={\frac {-1}{B(\alpha ,\beta )T^{\alpha +\beta -1}}}\cdot [{\frac {\alpha -1}{t-a}}-{\frac {\beta -1}{b-t}}]\cdot (t-a)^{\alpha -1}\cdot (b-t)^{\beta -1}}$

El espectro de la ondícula beta se puede derivar en términos de la función hipergeométrica de Kummer. ^{[ 4 ]}

Dejar${\displaystyle \psi _{beta}(t|\alpha ,\beta )\leftrightarrow \Psi _{BETA}(\omega |\alpha ,\beta )}$denotamos el par de transformadas de Fourier asociado con la ondícula.

Este espectro también se denota por${\displaystyle \Psi _{BETA}(\omega )}$En resumen, se puede demostrar aplicando propiedades de la transformada de Fourier que

${\displaystyle \Psi _{BETA}(\omega )=-j\omega \cdot M(\alpha ,\alpha +\beta ,-j\omega (\alpha +\beta ){\sqrt {\frac {\alpha +\beta +1}{\alpha \beta }}})\cdot exp\{(j\omega {\sqrt {\frac {\alpha (\alpha +\beta +1)}{\beta }}})\}}$

dónde${\displaystyle M(\alpha ,\alpha +\beta ,j\nu )={\frac {\Gamma (\alpha +\beta )}{\Gamma (\alpha )\cdot \Gamma (\beta )}}\cdot \int _{0}^{1}e^{j\nu t}t^{\alpha -1}(1-t)^{\beta -1}dt}$.

Solo simétrico${\displaystyle (\alpha =\beta )}$Algunos casos tienen ceros en el espectro. Algunos asimétricos${\displaystyle (\alpha \neq \beta )}$Las ondículas beta se muestran en la figura. Curiosamente, son simétricas respecto a los parámetros en el sentido de que mantienen${\displaystyle |\Psi _{BETA}(\omega |\alpha ,\beta )|=|\Psi _{BETA}(\omega |\beta ,\alpha )|.}$

Las derivadas de orden superior también pueden generar más ondículas beta. Las ondículas beta de orden superior se definen por ${\displaystyle \psi _{beta}(t|\alpha ,\beta )=(-1)^{N}{\frac {d^{N}P(t|\alpha ,\beta )}{dt^{N}}}.}$

De ahora en adelante se hará referencia a esto como un${\displaystyle N}$-onda beta de orden. Existen para el orden${\displaystyle N\leq Min(\alpha ,\beta )-1}$Tras algunas manipulaciones algebraicas, se puede encontrar su expresión en forma cerrada:

${\displaystyle \Psi _{beta}(t|\alpha ,\beta )={\frac {(-1)^{N}}{B(\alpha ,\beta )\cdot T^{\alpha +\beta -1}}}\sum _{n=0}^{N}sgn(2n-N)\cdot {\frac {\Gamma (\alpha )}{\Gamma (\alpha -(N-n))}}(t-a)^{\alpha -1-(N-n)}\cdot {\frac {\Gamma (\beta )}{\Gamma (\beta -n)}}(b-t)^{\beta -1-n}.}$

La teoría de ondículas es aplicable a diversos campos. Todas las transformadas de ondículas pueden considerarse formas de representación tiempo-frecuencia para señales de tiempo continuo (analógicas) y, por lo tanto, están relacionadas con el análisis armónico . Casi todas las transformadas de ondículas discretas de utilidad práctica utilizan bancos de filtros de tiempo discreto. De manera similar, la ondícula Beta ^{[ 1 ] [ 5 ]} y su derivada se utilizan en diversas aplicaciones de ingeniería en tiempo real, como la compresión de imágenes ^{[ 5 ]} , la compresión de señales biomédicas ^{[ 6 ] [ 7 ]} , el reconocimiento de imágenes [9] ^{[ 8 ]} , etc.

• WB Davenport , Probabilidad y procesos aleatorios, McGraw-Hill, Kogakusha, Tokio, 1970.

• https://jcis.sbrt.org.br/jcis/issue/view/27
• http://www.de.ufpe.br/~hmo/WEBLET.html
• http://www.de.ufpe.br/~hmo/beta.html