Transformada wavelet armónica

En las matemáticas del procesamiento de señales , la transformada wavelet armónica , introducida por David Edward Newland en 1993, es una transformación lineal basada en wavelets de una función dada en una representación tiempo-frecuencia . Combina las ventajas de la transformada de Fourier de corta duración y la transformada wavelet continua . Se puede expresar en términos de transformadas de Fourier repetidas , y su análogo discreto se puede calcular de manera eficiente utilizando un algoritmo de transformada rápida de Fourier .

La transformación utiliza una familia de wavelets "armónicos" indexados por dos enteros j (el "nivel" u "orden") y k (la "traducción"), dados por , donde ${\displaystyle w(2^{j}tk)\!}$

${\displaystyle w(t)={\frac {e^{i4\pi t}-e^{i2\pi t}}{i2\pi t}}.}$

Estas funciones son ortogonales y sus transformadas de Fourier son una función de ventana cuadrada (constante en una determinada banda de octava y cero en el resto). En particular, satisfacen:

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }w^{*}(2^{j}tk)\cdot w(2^{j'}tk')\,dt={\frac { 1}{2^{j}}}\delta _{j,j'}\delta _{k,k'}}$

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }w(2^{j}tk)\cdot w(2^{j'}tk')\,dt=0}$

donde "*" denota conjugación compleja y es el delta de Kronecker . ${\estilo de visualización \delta}$

A medida que aumenta el orden j , estas wavelets se localizan más en el espacio de Fourier (frecuencia) y en bandas de frecuencia más altas, y, a la inversa, se localizan menos en el tiempo ( t ). Por lo tanto, cuando se utilizan como base para expandir una función arbitraria, representan comportamientos de la función en diferentes escalas de tiempo (y en diferentes desfases de tiempo para diferentes k ).

Sin embargo, es posible combinar todos los órdenes negativos ( j < 0) juntos en una sola familia de funciones de "escala" donde ${\displaystyle \varphi (tk)}$

${\displaystyle \varphi(t)={\frac {e^{i2\pi t}-1}{i2\pi t}}.}$

La función φ es ortogonal a sí misma para diferentes k y también es ortogonal a las funciones wavelet para j no negativo :

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\varphi ^{*}(tk)\cdot \varphi (tk')\,dt=\delta _{k,k'}}$

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }w^{*}(2^{j}t-k)\cdot \varphi (t-k')\,dt=0{\text{ for }}j\geq 0}$

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\varphi (t-k)\cdot \varphi (t-k')\,dt=0}$

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }w(2^{j}t-k)\cdot \varphi (t-k')\,dt=0{\text{ for }}j\geq 0.}$

Por lo tanto, en la transformada wavelet armónica, una función arbitraria de valor real o complejo (en L2 ) se expande en base a las wavelets armónicas (para todos los números enteros j ) y sus conjugados complejos: ${\displaystyle f(t)}$

${\displaystyle f(t)=\sum _{j=-\infty }^{\infty }\sum _{k=-\infty }^{\infty }\left[a_{j,k}w(2^{j}t-k)+{\tilde {a}}_{j,k}w^{*}(2^{j}t-k)\right],}$

o alternativamente en base a los wavelets para j no negativo suplementado por las funciones de escala φ :

${\displaystyle f(t)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }\left[a_{k}\varphi (t-k)+{\tilde {a}}_{k}\varphi ^{*}(t-k)\right]+\sum _{j=0}^{\infty }\sum _{k=-\infty }^{\infty }\left[a_{j,k}w(2^{j}t-k)+{\tilde {a}}_{j,k}w^{*}(2^{j}t-k)\right].}$

Los coeficientes de expansión pueden entonces, en principio, calcularse utilizando las relaciones de ortogonalidad:

${\displaystyle {\begin{aligned}a_{j,k}&{}=2^{j}\int _{-\infty }^{\infty }f(t)\cdot w^{*}(2^{j}t-k)\,dt\\{\tilde {a}}_{j,k}&{}=2^{j}\int _{-\infty }^{\infty }f(t)\cdot w(2^{j}t-k)\,dt\\a_{k}&{}=\int _{-\infty }^{\infty }f(t)\cdot \varphi ^{*}(t-k)\,dt\\{\tilde {a}}_{k}&{}=\int _{-\infty }^{\infty }f(t)\cdot \varphi (t-k)\,dt.\end{aligned}}}$

Para una función de valor real f ( t ), se puede reducir a la mitad el número de coeficientes de expansión independientes. ${\displaystyle {\tilde {a}}_{j,k}=a_{j,k}^{*}}$${\displaystyle {\tilde {a}}_{k}=a_{k}^{*}}$

Esta expansión tiene la propiedad, análoga al teorema de Parseval , de que:

${\displaystyle {\begin{aligned}&\sum _{j=-\infty }^{\infty }\sum _{k=-\infty }^{\infty }2^{-j}\left(|a_{j,k}|^{2}+|{\tilde {a}}_{j,k}|^{2}\right)\\&{}=\sum _{k=-\infty }^{\infty }\left(|a_{k}|^{2}+|{\tilde {a}}_{k}|^{2}\right)+\sum _{j=0}^{\infty }\sum _{k=-\infty }^{\infty }2^{-j}\left(|a_{j,k}|^{2}+|{\tilde {a}}_{j,k}|^{2}\right)\\&{}=\int _{-\infty }^{\infty }|f(x)|^{2}\,dx.\end{aligned}}}$

Sin embargo, en lugar de calcular los coeficientes de expansión directamente a partir de las relaciones de ortogonalidad, es posible hacerlo utilizando una secuencia de transformadas de Fourier. Esto es mucho más eficiente en el análogo discreto de esta transformada ( t discreta ), donde puede aprovechar los algoritmos de transformada rápida de Fourier .

• Newland, David E. (8 de octubre de 1993). "Análisis de wavelets armónicos". Actas de la Royal Society de Londres . A. 443 (1917): 203–225. Bibcode :1993RSPSA.443..203N. doi :10.1098/rspa.1993.0140. JSTOR  52388. S2CID  122912891.
• Silverman, BW; Vassilicos, JC, eds. (2000). Wavelets: ¿La clave para la información intermitente? . Oxford University Press . ISBN 0-19-850716-X.
• Boashash, Boualem, ed. (2003). Análisis y procesamiento de señales de frecuencia temporal: una referencia completa . Elsevier . ISBN 0-08-044335-4.