Sistema biortogonal

En matemáticas , un sistema biortogonal es un par de familias indexadas de vectores tales que donde y forman un par de espacios vectoriales topológicos que están en dualidad , es una aplicación bilineal y es el delta de Kronecker . $${\displaystyle {\tilde {v}}_{i}{\text{ en }}E{\text{ y }}{\tilde {u}}_{i}{\text{ en }}F}$$$${\displaystyle \left\langle {\tilde {v}}_{i},{\tilde {u}}_{j}\right\rangle =\delta _{i,j},}$$${\estilo de visualización E}$${\estilo de visualización F}$${\displaystyle \langle \,\cdot ,\cdot \,\rangle }$${\displaystyle \delta_{i,j}}$

Un ejemplo es el par de conjuntos de vectores propios respectivamente izquierdo y derecho de una matriz, indexados por el valor propio , si los valores propios son distintos. ^[1]

Un sistema biortogonal en el que y es un sistema ortonormal . ${\estilo de visualización E=F}$${\displaystyle {\tilde {v}}_{i}={\tilde {u}}_{i}}$

Relacionado con un sistema biortogonal está la proyección donde su imagen es el tramo lineal de y el núcleo es$${\displaystyle P:=\sum _{i\in I}{\tilde {u}}_{i}\otimes {\tilde {v}}_{i},}$$${\displaystyle (u\otimes v)(x):=u\langle v,x\rangle ;}$${\displaystyle \left\{{\tilde {u}}_{i}:i\in I\right\},}$${\displaystyle \left\{\left\langle {\tilde {v}}_{i},\cdot \right\rangle =0:i\in I\right\}.}$

Dado un conjunto de vectores posiblemente no ortogonales y la proyección relacionada es donde es la matriz con entradas${\displaystyle \mathbf {u} =\left(u_{i}\right)}$${\displaystyle \mathbf {v} =\left(v_{i}\right)}$$${\displaystyle P=\sum _{i,j}u_{i}\left(\langle \mathbf {v} ,\mathbf {u} \rangle ^{-1}\right)_{j,i}\otimes v_{j},}$$${\displaystyle \langle \mathbf {v},\mathbf {u} \rangle}$${\displaystyle \left(\langle \mathbf {v} ,\mathbf {u} \rangle \right)_{i,j}=\left\langle v_{i},u_{j}\right\rangle .}$

• ${\displaystyle {\tilde {u}}_{i}:=(IP)u_{i},}$y luego es un sistema biortogonal.${\displaystyle {\tilde {v}}_{i}:=(IP)^{*}v_{i}}$

• Base dual  – Concepto de álgebra lineal
• Espacio dual  – En matemáticas, espacio vectorial de formas lineales.
• Par doble
• Ortogonalidad  – Diversos significados de los términos
• Ortogonalización

• Jean Dieudonné, Sobre sistemas biortogonales Michigan Math. J. 2 (1953), núm. 1, 7–20 [1]