Ondícula de Legendre

En el análisis funcional , las wavelets con soporte compacto derivadas de polinomios de Legendre se denominan wavelets de Legendre o wavelets armónicos esféricos. ^[1] Las funciones de Legendre tienen aplicaciones generalizadas en las que el sistema de coordenadas esféricas es apropiado. ^{[2] [3] [4]} Como ocurre con muchos wavelets, no existe una fórmula analítica precisa para describir estos wavelets esféricos armónicos. El filtro de paso bajo asociado al análisis multirresolución de Legendre es un filtro de respuesta al impulso finito (FIR).

Los wavelets asociados a filtros FIR son comúnmente preferidos en la mayoría de las aplicaciones. ^[3] Una característica adicional atractiva es que los filtros Legendre son FIR de fase lineal (es decir, análisis multirresolución asociado con filtros de fase lineal ). Estos wavelets se han implementado en MATLAB (caja de herramientas wavelet). A pesar de ser wavelets con soporte compacto, legdN no son ortogonales (excepto para N = 1). ^[5]

Los polinomios de Legendre asociados son la parte colateral de los armónicos esféricos que son comunes a todas las separaciones de la ecuación de Laplace en coordenadas polares esféricas. ^[2] La parte radial de la solución varía de un potencial a otro, pero los armónicos son siempre los mismos y son consecuencia de la simetría esférica. Los armónicos esféricos son soluciones de la ecuación diferencial de orden Legendre, n entero: $Estilo de visualización P_{n}(z)}$${\displaystyle 2^{nd}}$

${\displaystyle \left(1-z^{2}\right){\frac {d^{2}y}{dz^{2}}}-2z{\frac {dy}{dz}}+n(n+1)y=0.}$

${\displaystyle P_{n}(\cos(\theta ))}$Los polinomios se pueden utilizar para definir el filtro de suavizado de un análisis multirresolución (MRA). ^[6] Dado que las condiciones de contorno adecuadas para un MRA son y , el filtro de suavizado de un MRA se puede definir de modo que la magnitud del paso bajo se pueda asociar a los polinomios de Legendre de acuerdo con:${\displaystyle H(\omega )}$${\displaystyle |H(0)|=1}$${\displaystyle |H(\pi )|=0}$${\displaystyle |H(\omega )|}$${\displaystyle \nu =2n+1.}$

${\displaystyle |H_{\nu }(\omega )|=\left|{\frac {P_{\nu }(\cos \left({\frac {\omega }{2}}\right)\right)}{P_{\nu }\cos(0)}}\right|}$

En la figura 1 se muestran ejemplos ilustrativos de funciones de transferencia de filtro para un MRA de Legendre. Como se esperaba, se muestra un comportamiento de paso bajo para el filtro H. La cantidad de ceros dentro es igual al grado del polinomio de Legendre. Por lo tanto, la reducción gradual de los lóbulos laterales con la frecuencia se controla fácilmente mediante el parámetro . ${\displaystyle \nu = 1,3,5.}$${\displaystyle -\pi <\omega <\pi }$${\estilo de visualización \nu}$

La función de transferencia del filtro de paso bajo está dada por

${\displaystyle H_{\nu}(\omega )=-e^{-j\nu {\frac {\omega -\pi }{2}}}P_{\nu}(\cos \left({\tfrac {\omega }{2}}\right)\right)}$

La función de transferencia del filtro de análisis de paso alto se elige de acuerdo con la condición del filtro de espejo en cuadratura , ^{[6] [7]} obteniéndose: ${\displaystyle G_{\nu }(\omega )}$

${\displaystyle H_{\nu}(\omega )=-e^{-j{(\nu -2)}{\frac {\omega }{2}}}P_{\nu}(\sin \left({\tfrac {\omega }{2}}\right)\right)}$

En efecto, y como era de esperar. ${\displaystyle |G_{\nu}(0)|=0}$${\displaystyle |G_{\nu }(\pi )|=1}$

Se realiza una asignación de fase adecuada para ajustar adecuadamente la función de transferencia a la forma ${\ Displaystyle H _ {\ nu} (\ omega)}$

${\displaystyle H_{\nu }(\omega )={\frac {1}{\sqrt {2}}}\sum _{k\in Z}h_{k}^{\nu }e^{-j \omegak}}$

Los coeficientes de filtro vienen dados por: ${\displaystyle \{h_{k}\}_{k\in \mathbb {Z}}}$

${\displaystyle h_{k}^{\nu }=-{\frac {\sqrt {2}}{2^{2\nu }}}{\binom {2k}{k}}{\binom {2\ nu -2k}{\nu -k}}}$

De donde la simetría:

${\displaystyle {h_{k}^{\nu }}={h_{\nu -k}^{\nu }},}$

sigue. Solo hay coeficientes de filtro distintos de cero en , de modo que las wavelets de Legendre tienen soporte compacto para cada entero impar . ${\displaystyle \nu+1}$${\displaystyle H_{n}(\omega )}$${\estilo de visualización \nu}$

Tabla I - Coeficientes de suavizado del filtro FIR de Legendre para ( es el orden de wavelet).${\displaystyle \nu = 1,3,5}$${\estilo de visualización N}$

NB La señal negativa se puede suprimir.

Las wavelets de Legendre se pueden cargar fácilmente en la caja de herramientas de wavelets de MATLAB . Los archivos m que permiten el cálculo de la transformada, los detalles y el filtro de wavelets de Legendre están disponibles (gratuitamente). La familia Legendre de ancho de soporte finito se denota por legd (nombre corto). Wavelets: 'legdN'. El parámetro N en la familia legdN se encuentra de acuerdo con (longitud de los filtros MRA). ${\displaystyle 2N=\nu+1}$

Las ondículas de Legendre se pueden derivar del filtro de reconstrucción de paso bajo mediante un procedimiento iterativo (el algoritmo de cascada ). La ondícula tiene un soporte compacto y se utilizan filtros AMR de respuesta al impulso finito (FIR) (tabla 1). La primera ondícula de la familia de Legendre es exactamente la conocida ondícula de Haar . La figura 2 muestra un patrón emergente que progresivamente se parece a la forma de la ondícula.

La forma de la ondícula de Legendre se puede visualizar utilizando el comando wavemenu de MATLAB. La Figura 3 muestra la ondícula de legd8 visualizada utilizando MATLAB. Los polinomios de Legendre también están asociados con familias de ventanas. ^[8]

Los sistemas de paquetes wavelet (WP) derivados de wavelets de Legendre también se pueden implementar fácilmente. La Figura 5 ilustra las funciones WP derivadas de legd2.

• MMS Lira, HM de Oliveira, MA Carvalho Jr, RMCSouza, Wavelets con soporte compacto derivados de polinomios de Legendre: Wavelets armónicos esféricos, en: Métodos computacionales en aplicaciones de circuitos y sistemas , NE Mastorakis, IA Stahopulos, C. Manikopoulos, GE Antoniou, VM Mladenov, IF Gonos Eds., WSEAS press, págs. 211–215, 2003. ISBN 960-8052-88-2 . Disponible en ee.ufpe.br 
• AA Colomer y AA Colomer, Compresión de datos de ECG adaptativa utilizando la transformada de Legendre discreta, Procesamiento de señales digitales , 7, 1997, págs. 222–228.
• AG Ramm, AI Zaslavsky, Transformada de rayos X, Transformada de Legendre y Envolventes, J. of Math. Analysis and Appl ., 183, págs. 528–546, 1994.
• C. Herley, M. Vetterli, Ortogonalización de bases wavelet con soporte compacto, IEEE Digital Signal Process. Taller , 13-16 de septiembre, págs. 1.7.1-1.7.2, 1992.
• S. Mallat, Una teoría para la descomposición de señales multiresolución: la representación wavelet, IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence , 11 de julio, págs. 674–693, 1989.
• M. Vetterli, C. Herly, Wavelets y bancos de filtros: teoría y diseño, IEEE Trans. on Acoustics, Speech, and Signal Processing , 40, 9, pág. 2207, 1992.
• M. Jaskula, Nueva familia de Windows basada en polinomios de Legendre modificados, IEEE Instruments and Measurement Technol. Conf. , Anchorage, AK, mayo de 2002, págs. 553–556.