Función radial

En matemáticas , una función radial es una función de valores reales definida en un espacio euclidiano .${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$cuyo valor en cada punto depende únicamente de la distancia entre ese punto y el origen . La distancia suele ser la distancia euclidiana . Por ejemplo, una función radial Φ en dos dimensiones tiene la forma ^{[ 1 ].}$${\displaystyle \Phi (x,y)=\varphi (r),\quad r={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}$$ donde φ es una función de una única variable real no negativa. Las funciones radiales se contraponen a las funciones esféricas , y cualquier función descendente (por ejemplo, continua y decreciente rápidamente ) en el espacio euclidiano puede descomponerse en una serie que consta de partes radiales y esféricas: la expansión en armónicos esféricos sólidos .

Una función es radial si y solo si es invariante bajo todas las rotaciones que dejan el origen fijo. Es decir, f es radial si y solo si $${\displaystyle f\circ \rho =f\,}$$ para todo ρ ∈ SO( n ) , el grupo ortogonal especial en n dimensiones. Esta caracterización de las funciones radiales también permite definir distribuciones radiales . Estas son distribuciones S en ⁠${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$de tal manera que $${\displaystyle S[\varphi ]=S[\varphi \circ \rho ]}$$ para cada función de prueba φ y rotación ρ .

Dada cualquier función f (localmente integrable) , su parte radial viene dada por el promedio sobre esferas centradas en el origen. A saber, $${\displaystyle \phi (x)={\frac {1}{\omega _{n-1}}}\int _{S^{n-1}}f(rx')\,dx'}$$ donde ω _{n − 1} es el área superficial de la ( n − 1)-esfera S ^{n − 1} , y r = | x | , x ′ = x / r . Se deduce esencialmente del teorema de Fubini que una función localmente integrable tiene una parte radial bien definida en casi todos los r .

La transformada de Fourier de una función radial también es radial, por lo que las funciones radiales desempeñan un papel fundamental en el análisis de Fourier . Además, la transformada de Fourier de una función radial suele tener un comportamiento de decaimiento más pronunciado en el infinito que las funciones no radiales: para funciones radiales acotadas en un entorno del origen, la transformada de Fourier decae más rápido que R ^{− ( n − 1)/2} . Las funciones de Bessel son una clase especial de funciones radiales que surgen de forma natural en el análisis de Fourier como las autofunciones radiales del laplaciano ; como tales, aparecen de forma natural como la parte radial de la transformada de Fourier.

• Función de base radial

• Stein, Elias ; Weiss, Guido (1971), Introducción al análisis de Fourier en espacios euclidianos , Princeton, NJ: Princeton University Press, ISBN 978-0-691-08078-9.