Estimación espectral multidimensional

La estimación espectral multidimensional es una generalización de la estimación espectral , normalmente formulada para señales unidimensionales , a señales multidimensionales o datos multivariados , como vectores de onda .

La estimación espectral multidimensional ha ganado popularidad debido a su aplicación en campos como la medicina, la industria aeroespacial, el sonar, el radar, la bioinformática y la geofísica. En el pasado reciente, se han sugerido varios métodos para diseñar modelos con parámetros finitos para estimar el espectro de potencia de señales multidimensionales. En este artículo, analizaremos los conceptos básicos de los métodos utilizados para estimar el espectro de potencia de señales multidimensionales.

Existen muchas aplicaciones de la estimación espectral de señales multi-D, como la clasificación de señales como paso bajo, paso alto, banda de paso y banda de rechazo. También se utiliza en la compresión y codificación de señales de audio y vídeo, formación de haces y búsqueda de dirección en radares , ^{[1] estimación y procesamiento} de datos sísmicos , matriz de sensores y antenas y análisis vibracional. En el campo de la radioastronomía, ^[1] se utiliza para sincronizar las salidas de una matriz de telescopios.

En un caso unidimensional, una señal se caracteriza por una amplitud y una escala de tiempo. Los conceptos básicos involucrados en la estimación espectral incluyen autocorrelación , transformada de Fourier multi-D , error cuadrático medio y entropía . ^[2] Cuando se trata de señales multidimensionales, existen dos enfoques principales: utilizar un banco de filtros o estimar los parámetros del proceso aleatorio para estimar el espectro de potencia.

Es una técnica para estimar el espectro de potencia de una señal unidimensional o multidimensional, ya que no se puede calcular con precisión. Se dan muestras de un proceso aleatorio estacionario de sentido amplio y sus estadísticas de segundo orden (mediciones). Las estimaciones se obtienen aplicando una transformada de Fourier multidimensional de la función de autocorrelación de la señal aleatoria. La estimación comienza calculando un periodograma que se obtiene elevando al cuadrado la magnitud de la transformada de Fourier multidimensional de las mediciones ri(n). Las estimaciones espectrales obtenidas del periodograma tienen una gran varianza en amplitud para muestras de periodogramas consecutivos o en número de onda. Este problema se resuelve utilizando técnicas que constituyen la teoría de estimación clásica. Son las siguientes: 1. Bartlett sugirió un método que promedia las estimaciones espectrales para calcular el espectro de potencia. Las mediciones se dividen en segmentos igualmente espaciados en el tiempo y se toma un promedio. Esto da una mejor estimación. ^[3] 2. Con base en el número de onda y el índice del receptor/salida podemos particionar los segmentos. Esto aumenta las estimaciones espectrales y disminuye las varianzas entre segmentos consecutivos. 3. Welch sugirió que deberíamos dividir las mediciones utilizando funciones de ventana de datos, calcular un periodograma, promediarlas para obtener una estimación espectral y calcular el espectro de potencia utilizando la Transformada Rápida de Fourier (FFT). Esto aumenta la velocidad computacional. ^[4] 4. La ventana de suavizado nos ayudará a suavizar la estimación al multiplicar el periodograma con un espectro de suavizado. Cuanto más ancho sea el lóbulo principal del espectro de suavizado, más suave se vuelve a costa de la resolución de frecuencia. ^[2]

${\displaystyle P(K_{x},w\right)=\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }\varphi _{ss}\left(x,t\right)\ e^{-j\left(wt-k'x\right)}\,dx\,dt}$

${\displaystyle \varphi _{ss}(x,t)=s[(\xi ,\tau)s^{*}(\xi -x,\tau -t)]}$ ^[2]

${\displaystyle P_{B}\left(w\right)={\frac {1}{detN}}\sum _{l}|\sum _{n}\ x\left(n+MI\right)\ e^{-j\left(w'n\right)}|^{2}}$ El caso de Bartlett ^[2]

${\displaystyle P_{M}\left(w\right)={\frac {1}{detN}}|\sum _{n}\ g\left(n\right)\ x\left(n\right)\ e^{-j\left(w'n\right)}|^{2}}$Periodograma modificado ^[2]

${\displaystyle P_{W}\left(w\right)={\frac {1}{detN}}\sum _{l}|\sum _{n}\ g\left(n\right)\ x\left(n+MI\right)\ e^{-j\left(w'n\right)}|^{2}}$El caso de Welch ^[2]

Ventajas

Método sencillo que implica transformadas de Fourier.

Limitaciones

1. Dado que algunos de los métodos anteriores muestrean la secuencia en el tiempo, la resolución de frecuencia se reduce (aliasing).
2. El número de instancias de un proceso aleatorio estacionario de sentido amplio es menor, lo que dificulta calcular las estimaciones con precisión.

Este método proporciona una mejor estimación cuya resolución de frecuencia es mayor que la teoría de estimación clásica. En el método de estimación de alta resolución, utilizamos una ventana de número de onda variable que solo permite ciertos números de onda y suprime los demás. El trabajo de Capon ^[5] nos ayudó a establecer un método de estimación mediante el uso de componentes de frecuencia-número de onda. Esto da como resultado una estimación con una resolución de frecuencia más alta. Es similar al método de máxima verosimilitud ya que la herramienta de optimización utilizada es similar.

Suposición

La salida obtenida de los sensores es un proceso aleatorio estacionario de sentido amplio con media cero. ^[6]

${\displaystyle P_{C}\left(K_{o}x,w_{o}\right)=E\left[|y\left(i,n\right)|^{2}\right]={\frac {1}{\sum _{\alpha =0}^{N-1}\sum _{\beta =0}^{M-1}\sum _{l=0}^{N-1}\sum _{m=0}^{M-1}\psi _{e}\left(l,\alpha ;m,\beta \right)}}}$ ^[2]

Ventajas

1. Mayor resolución de frecuencia en comparación con otros métodos existentes.
2. Mejor estimación de frecuencia ya que utilizamos una ventana de número de onda variable en comparación con el método clásico que utiliza una ventana de número de onda fijo.
3. Velocidad computacional más rápida ya que utiliza FFT.

En este tipo de estimación, seleccionamos la señal multidimensional como una función separable. ^[1] Debido a esta propiedad, podremos ver el análisis de Fourier llevándose a cabo en múltiples dimensiones sucesivamente. Un retraso de tiempo en la operación de cuadratura de la magnitud nos ayudará a procesar la transformación de Fourier en cada dimensión. Se aplica una transformada de Fourier multidimensional de tiempo discreto a lo largo de cada dimensión y, al final, se aplica un estimador de entropía máxima y se eleva al cuadrado la magnitud.

Ventajas

1. El análisis de Fourier es flexible ya que la señal es separable.
2. Conserva los componentes de fase de cada dimensión a diferencia de otros estimadores espectrales.

Este método es una extensión de una técnica 1-D llamada estimación espectral autorregresiva . En los modelos autorregresivos , las variables de salida dependen linealmente de sus propios valores previos. En este modelo, la estimación del espectro de potencia se reduce a estimar los coeficientes a partir de los coeficientes de autocorrelación del proceso aleatorio que se supone que son conocidos para una región específica. El espectro de potencia de un proceso aleatorio viene dado por: ^[2]${\displaystyle P_{A}(k_{x},w)}$${\displaystyle r(i,n)}$

${\displaystyle P_{A}\left(k_{x},w\right)=P_{e}\left(k_{x},w\right)|{\frac {1}{1-A\left(k_{x},w\right)}}|^{2}}$

Arriba, se muestra el espectro de potencia de un proceso aleatorio , que se da como entrada a un sistema con una función de transferencia para obtener ^[2] y es: ${\displaystyle P_{e}\left(k_{x},w\right)}$${\displaystyle e(i,n)}$${\displaystyle |{\frac {1}{1-A\left(k_{x},w\right)}}|}$${\displaystyle r(i,n)}$${\displaystyle A\left(k_{x},w\right)}$

${\displaystyle A\left(k_{x},w\right)=\sum _{p=o}^{N-1}\sum _{q=0}^{M-1}a(p,q)exp(jk_{x}p-jwq)}$

Por lo tanto, la estimación de potencia se reduce a la estimación de coeficientes de la función de autocorrelación del proceso aleatorio. Los coeficientes también se pueden estimar utilizando la formulación de predicción lineal que trata de la minimización del error cuadrático medio entre la señal aleatoria real y los valores predichos de la señal aleatoria. ${\displaystyle a\left(p,q\right)}$${\displaystyle \varphi \left(l,m\right)}$

Limitaciones

1. En 1-D tenemos la misma cantidad de ecuaciones lineales con la misma cantidad de incógnitas debido a la propiedad de coincidencia de autocorrelación. Pero puede que esto no sea posible en multi-D ^[2] ya que el conjunto de parámetros no contiene suficientes grados de libertad para que coincidan los coeficientes de autocorrelación.
2. Suponemos que el conjunto de coeficientes está limitado a un área determinada.
3. En la formulación unidimensional de la predicción lineal, el filtro inverso tiene una propiedad de fase mínima, lo que demuestra que el filtro es estable. Esto no siempre es necesariamente cierto en el caso multidimensional.
4. En la formulación 1-D, la matriz de autocorrelación es definida positiva, pero la extensión definida positiva puede no existir en el caso de multi-D.

En este método de estimación espectral, tratamos de encontrar la estimación espectral cuya transformada inversa de Fourier coincida con los coeficientes de autocorrelación conocidos. Maximizamos la entropía de la estimación espectral de modo que coincida con los coeficientes de autocorrelación. ^[2] La ecuación de entropía se da como: ^{[1] [2]}

${\displaystyle H={\frac {1}{4\pi ^{2}}}\int _{-\pi }^{\pi }\int _{-\pi }^{\pi }logP\left(k_{x},w\right)dk_{x}dw}$

El espectro de potencia se puede expresar como una suma de coeficientes de autocorrelación conocidos y desconocidos. Al ajustar los valores de los coeficientes sin restricciones, se puede maximizar la entropía. ${\displaystyle P\left(k,w\right)}$

La entropía máxima tiene la forma: ^[2]

${\displaystyle P_{ME}={\frac {1}{\sum _{l}\sum _{m}\lambda \left(l,m\right)exp\left(jk_{x}l-jwm\right)}}}$^[1]

λ(l,m) debe elegirse de manera que coincidan los coeficientes de autocorrelación conocidos.

Limitaciones

1. Tiene una optimización limitada que se puede superar utilizando el método de multiplicadores de Lagrange. ^[2]
2. La estimación espectral de todos los polos no es la solución para la entropía máxima en el caso multidimensional, como lo es en el caso de 1-D. Esto se debe a que el modelo espectral de todos los polos no contiene suficientes grados de libertad para coincidir con los coeficientes de autocorrelación conocidos.

Ventajas

Se pueden tener en cuenta los errores en la medición o estimación de los coeficientes de autocorrelación conocidos, ya que no se requiere una coincidencia exacta.

Desventaja

Se requieren demasiados cálculos.

Este es un enfoque relativamente nuevo. El método de máxima verosimilitud mejorado (IMLM) es una combinación de dos estimadores MLM ( máxima verosimilitud ). ^{[1] [7]} La ​​máxima verosimilitud mejorada de dos matrices bidimensionales A y B en un número de onda k (da información sobre la orientación de la matriz en el espacio) se da por la relación: ^[8]

${\displaystyle IMLM\left(k:A,B\right)={\frac {1}{{\frac {1}{MLM\left(k:A\right)}}-{\frac {1}{MLM\left(k:B\right)}}}}}$^[7]

La matriz B es un subconjunto de A. Por lo tanto, suponiendo que A>B, si hay una diferencia entre el MLM de A y el MLM de B, una parte significativa de la energía espectral estimada en la frecuencia puede deberse a una fuga de potencia de otras frecuencias. La reducción del énfasis del MLM de A puede mejorar la estimación espectral. Esto se logra multiplicando por una función ponderada que es menor cuando hay una mayor diferencia entre el MLA de B y el MLA de A.

${\displaystyle IMLM\left(k:A,B\right)={\frac {MLM\left(k:A\right)MLM\left(k:B\right)}{MLM\left(k:B\right)-MLM\left(k:A\right)}}}$

${\displaystyle IMLM\left(k:A,B\right)=MLM\left(k:A\right)W_{AB}\left(k\right)}$

donde es la función de ponderación y viene dada por la expresión: ^[7]${\displaystyle W_{AB}\left(k\right)}$

${\displaystyle W_{AB}\left(k\right)={\frac {MLM\left(k:B\right)}{MLM\left(k:B\right)-MLM\left(k:A\right)}}}$

Ventajas

1. Se utiliza como alternativa al MLM o MEM (Método de máxima entropía/ principio de máxima entropía ).
2. IMLM tiene mejor resolución que MLM y requiere menor número de cálculos en comparación con MEM ^{[7] [8]}