Poliespectros

Los métodos de Fourier directos suelen comenzar con la transformada de Fourier de toda la señal, lo que resulta en una alta resolución de frecuencia con una gran varianza (error). Posteriormente, se puede aplicar un núcleo de suavizado para intercambiar resolución por varianza. Alternativamente, se promedian los espectros de segmentos de la señal (método tipo Welch). ^{[ 10 ]}

El método de ventana de retardo se basa en la estimación de cumulantes en el dominio del tiempo y la posterior aplicación de transformadas de Fourier.

Los métodos multitaper consideran que toda la señal se procesa (se aplica una ventana) con ventanas ortogonales. Luego, se promedian los espectros de cada ventana. ^{[ 6 ]}

Los métodos clásicos se basan en estimadores de cumulantes que solo son asintóticamente insesgados.

Las siguientes ecuaciones proporcionan una estimación insesgada ( estimador ) de poliespectros hasta el cuarto orden. ^{[ 7 ]} Coeficientes de Fourier de${\displaystyle z(t)}$$${\displaystyle a_{k}={\frac {T}{N}}\sum _{j=0}^{N-1}g_{j}z_{j}e^{2\pi ikj/N}\,,}$$ se calculan a partir del proceso ${\displaystyle z_{j}=z(jT/N-t_{0})}$que está dividida en ventanas de longitud${\displaystyle T}$con${\displaystyle N}$puntos por ventana. Una función de ventana${\displaystyle g_{j}=g(jT/N)}$reduce la fuga espectral.

Los poliespectros aproximados se obtienen a partir de los cumulantes de los coeficientes de Fourier: $${\displaystyle {\begin{aligned}&{\text{Promedio: }}&S_{z}^{(1)}&\approx {\frac {NC_{1}(a_{0})}{T\sum _{j=0}^{N-1}g_{j}}}\\\\[2pt]&{\text{Espectro de potencia: }}&S_{z}^{(2)}(\omega _{k})&\approx {\frac {NC_{2}(a_{k},a_{k}^{*})}{T\sum _{j=0}^{N-1}g_{j}g_{j}^{*}}}\\\\[2pt]&{\text{Bispectro: }}&S_{z}^{(3)}(\omega _{k},\omega _{l})&\approx {\frac {NC_{3}(a_{k},a_{l},a_{k+l}^{*})}{T\sum _{j=0}^{N-1}g_{j}^{2}g_{j}^{*}}}\\\\[2pt]&{\text{Trispectro: }}&S_{z}^{(4)}(\omega _{k},\omega _{l},\omega _{p})&\approx {\frac {NC_{4}(a_{k},a_{l},a_{p},a_{k+l+p}^{*})}{T\sum _{j=0}^{N-1}g_{j}^{3}g_{j}^{*}}}.\\\end{aligned}}}$$ Las distancias de las posiciones espectrales${\displaystyle \omega _ {k}=2\pi k/T}$disminuye al aumentar la longitud de la ventana${\displaystyle T}$lo que resulta en una mayor resolución espectral. Los cumulantes${\displaystyle C_{n}}$puede estimarse mediante el estadístico k que proporciona estimadores insesgados.${\displaystyle c_{n}}$ ( estimador ). ^{[ 11 ] [ 12 ] [ 13 ]} Los estimadores vienen dados por ^{[ 14 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}&c_{2}(x,y)={\frac {m}{m-1}}({\overline {xy}}-{\overline {x}}\,{\overline {y}})\\\\[2pt]&c_{3}(x,y,z)={\frac {m^{2}}{(m-1)(m-2)}}({\overline {xyz}}-{\overline {xy}}\,{\overline {z}}-{\overline {xz}}\,{\overline {y}}-{\overline {yz}}\,{\overline {x}}+2{\overline {x}}\,{\overline {y}}\,{\overline {z}})\\\\[2pt]&c_{4}(x,y,z,w)={\frac {m^{2}}{(m-1)(m-2)(m-3)}}{\big [}(m+1){\overline {xyzw}}\\&\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad -(m+1)({\overline {xyz}}\,{\overline {w}}+{\overline {xyw}}\,{\overline {z}}+{\overline {xzw}}\,{\overline {y}}+{\overline {yzw}}\,{\overline {x}})\\&\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad -(m-1)({\overline {xy}}\,{\overline {zw}}+{\overline {xz}}\,\,{\overline {yw}}+{\overline {xw}}\,{\overline {yz}})\\&\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad +2m({\overline {xy}}\,{\overline {z}}\,{\overline {w}}+{\overline {xz}}\,{\overline {y}}\,{\overline {w}}+{\overline {xw}}\,{\overline {y}}\,{\overline {z}}+{\overline {yz}}\,{\overline {x}}\,{\overline {w}}+{\overline {yw}}\,{\overline {x}}\,{\overline {z}}+{\overline {zw}}\,{\overline {x}}\,{\overline {y}})\\&\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad -6m{\overline {x}}\,{\overline {y}}\,{\overline {z}}\,{\overline {w}}{\big ]},\end{aligned}}}$$ dónde${\displaystyle {\overline {(..)}}}$denota el promedio de${\displaystyle m}$muestras.