Teorema de interpolación de Marcinkiewicz

En matemáticas , el teorema de interpolación de Marcinkiewicz , descubierto por Józef Marcinkiewicz  (1939), es un resultado que acota las normas de los operadores no lineales que actúan en espacios L ^p .

El teorema de Marcinkiewicz es similar al teorema de Riesz-Thorin sobre operadores lineales , pero también se aplica a operadores no lineales.

Sea f una función medible con valores reales o complejos, definida en un espacio de medida ( X ,  F , ω ). La función de distribución de f está definida por

${\displaystyle \lambda _{f}(t)=\omega \left\{x\in X\mid |f(x)|>t\right\}.}$

Entonces f se llama débil$Estilo de visualización L1$ si existe una constante C tal que la función de distribución de f satisface la siguiente desigualdad para todo t  > 0:

${\displaystyle \lambda _{f}(t)\leq {\frac {C}{t}}.}$

La constante más pequeña C en la desigualdad anterior se llama norma débil$Estilo de visualización L1$ y generalmente se denota por o De manera similar, el espacio generalmente se denota por L ^{1, w} o L ^1,∞ . ${\displaystyle \|f\|_{1,w}}$${\displaystyle \|f\|_{1,\infty }.}$

(Nota: Esta terminología es un poco engañosa ya que la norma débil no satisface la desigualdad triangular como se puede ver al considerar la suma de las funciones en dadas por y , que tiene norma 4 y no 2.) ${\estilo de visualización (0,1)}$${\estilo de visualización 1/x}$${\estilo de visualización 1/(1-x)}$

Cualquier función pertenece a L ^{1, w} y además se tiene la desigualdad $Estilo de visualización L1$

${\displaystyle \|f\|_{1,w}\leq \|f\|_{1}.}$

Esto no es otra cosa que la desigualdad de Markov (también conocida como desigualdad de Chebyshev ). La inversa no es cierta. Por ejemplo, la función 1/ x pertenece a L ^{1, w} pero no a L ¹ .

De manera similar, se puede definir el espacio débil$Estilo de visualización L^{p}}$ como el espacio de todas las funciones f tales que pertenecen a L ^{1, w} , y la norma débil usando ${\displaystyle |f|^{p}}$$Estilo de visualización L^{p}}$

${\displaystyle \|f\|_{p,w}=\left\||f|^{p}\right\|_{1,w}^{\frac {1}{p}}.}$

Más directamente, la norma L ^{p , w} se define como la mejor constante C en la desigualdad

${\displaystyle \lambda _{f}(t)\leq {\frac {C^{p}}{t^{p}}}}$

para todo t  > 0.

Informalmente, el teorema de Marcinkiewicz es

Teorema. Sea T un operador lineal acotado de a y al mismo tiempo de a . Entonces T es también un operador acotado de a para cualquier r entre p y q .$Estilo de visualización L^{p}}$$Estilo de visualización L^{p,w}}$$Estilo de visualización L^{q}}$${\displaystyle L^{q,w}}$$Estilo de visualización L^{r}}$$Estilo de visualización L^{r}}$

En otras palabras, incluso si solo se requiere una acotación débil en los extremos p y q , la acotación regular sigue siendo válida. Para hacerlo más formal, hay que explicar que T está acotado solo en un subconjunto denso y puede completarse. Véase el teorema de Riesz-Thorin para obtener más detalles.

El teorema de Marcinkiewicz es más débil que el teorema de Riesz-Thorin en las estimaciones de la norma. El teorema establece límites para la norma de T, pero este límite aumenta hasta el infinito cuando r converge a p o q . En concreto (DiBenedetto 2002, Teorema VIII.9.2), supongamos que $Estilo de visualización L^{r}}$

${\displaystyle \|Tf\|_{p,w}\leq N_{p}\|f\|_{p},}$

${\displaystyle \|Tf\|_{q,w}\leq N_{q}\|f\|_{q},}$

de modo que la norma del operador de T de L ^p a L ^{p , w} es como máximo N _p , y la norma del operador de T de L ^q a L ^{q , w} es como máximo N _q . Entonces la siguiente desigualdad de interpolación se cumple para todo r entre p y q y todo f  ∈  L ^r :

${\displaystyle \|Tf\|_{r}\leq \gamma N_{p}^{\delta }N_{q}^{1-\delta }\|f\|_{r}}$

dónde

${\displaystyle \delta ={\frac {p(qr)}{r(qp)}}}$

y

${\displaystyle \gamma =2\left({\frac {r(qp)}{(rp)(qr)}}\right)^{1/r}.}$

Las constantes δ y γ también se pueden dar para q  = ∞ pasando al límite.

Una versión del teorema también se aplica de manera más general si se supone que T es un operador cuasilineal únicamente en el siguiente sentido: existe una constante C  > 0 tal que T satisface

${\displaystyle |T(f+g)(x)|\leq C(|Tf(x)|+|Tg(x)|)}$

para casi cada x . El teorema se cumple exactamente como se indica, excepto que γ se reemplaza por

${\displaystyle \gamma =2C\left({\frac {r(qp)}{(rp)(qr)}}\right)^{1/r}.}$

Un operador T (posiblemente cuasilineal) que satisface una estimación de la forma

${\displaystyle \|Tf\|_{q,w}\leq C\|f\|_{p}}$

Se dice que es de tipo débil ( p , q ) . Un operador es simplemente de tipo ( p , q ) si T es una transformación acotada de L ^p a L ^q :

${\displaystyle \|Tf\|_{q}\leq C\|f\|_{p}.}$

Una formulación más general del teorema de interpolación es la siguiente:

• Si T es un operador cuasilineal de tipo débil ( p ₀ , q ₀ ) y de tipo débil ( p ₁ , q ₁ ) donde q ₀  ≠  q ₁ , entonces para cada θ ∈ (0,1), T es de tipo ( p , q ), para p y q con p ≤ q de la forma

${\displaystyle {\frac {1}{p}}={\frac {1-\theta }{p_{0}}}+{\frac {\theta }{p_{1}}},\quad {\frac {1}{q}}={\frac {1-\theta }{q_{0}}}+{\frac {\theta }{q_{1}}}.}$

La última formulación se deriva de la primera mediante una aplicación de la desigualdad de Hölder y un argumento de dualidad. ^{[ cita requerida ]}

Un ejemplo de aplicación famoso es la transformada de Hilbert . Vista como un multiplicador , la transformada de Hilbert de una función f se puede calcular tomando primero la transformada de Fourier de f , luego multiplicando por la función de signo y, finalmente, aplicando la transformada de Fourier inversa .

Por lo tanto, el teorema de Parseval muestra fácilmente que la transformada de Hilbert está acotada de a . Un hecho mucho menos obvio es que está acotada de a . Por lo tanto, el teorema de Marcinkiewicz muestra que está acotada de a para cualquier 1 < p < 2. Los argumentos de dualidad muestran que también está acotada para 2 < p < ∞. De hecho, la transformada de Hilbert es realmente ilimitada para p igual a 1 o ∞. $Estilo de visualización L2$$Estilo de visualización L2$$Estilo de visualización L1$$Estilo de visualización L^{1,w}}$$Estilo de visualización L^{p}}$$Estilo de visualización L^{p}}$

Otro ejemplo famoso es la función máxima de Hardy-Littlewood , que es solo un operador sublineal en lugar de lineal. Mientras que los límites de to se pueden derivar inmediatamente de la estimación débil de to mediante un cambio inteligente de variables, la interpolación de Marcinkiewicz es un enfoque más intuitivo. Dado que la función máxima de Hardy-Littlewood está trivialmente acotada de a , la acotación fuerte para todos se sigue inmediatamente de la estimación débil (1,1) y la interpolación. La estimación débil (1,1) se puede obtener del lema de cobertura de Vitali . $Estilo de visualización L^{p}}$$Estilo de visualización L^{p}}$$Estilo de visualización L1$$Estilo de visualización L1$${\displaystyle L^{\infty}}$${\displaystyle L^{\infty}}$${\displaystyle p>1}$

El teorema fue anunciado por primera vez por Marcinkiewicz (1939), quien mostró este resultado a Antoni Zygmund poco antes de morir en la Segunda Guerra Mundial. El teorema fue casi olvidado por Zygmund y estuvo ausente de sus trabajos originales sobre la teoría de operadores integrales singulares . Más tarde, Zygmund (1956) se dio cuenta de que el resultado de Marcinkiewicz podría simplificar enormemente su trabajo, momento en el que publicó el teorema de su antiguo estudiante junto con una generalización propia.

En 1964, Richard A. Hunt y Guido Weiss publicaron una nueva prueba del teorema de interpolación de Marcinkiewicz. ^[1]

• Espacio de interpolación

• DiBenedetto, Emmanuele (2002), Análisis real , Birkhäuser, ISBN 3-7643-4231-5.
• Gilbarg, David ; Trudinger, Neil S. (2001), Ecuaciones diferenciales parciales elípticas de segundo orden, Springer-Verlag, ISBN 3-540-41160-7.
• Marcinkiewicz, J. (1939), "Sur l'interpolación de operaciones", CR Acad. Ciencia. París , 208 : 1272-1273
• Stein, Elias ; Weiss, Guido (1971), Introducción al análisis de Fourier en espacios euclidianos , Princeton University Press, ISBN 0-691-08078-X.
• Zygmund, A. (1956), "Sobre un teorema de Marcinkiewicz sobre la interpolación de operaciones", Journal de Mathématiques Pures et Appliquées , Neuvième Série, 35 : 223–248, ISSN  0021-7824, MR  0080887