Integral oscilatoria

En análisis matemático, una integral oscilatoria es un tipo de distribución . Las integrales oscilatorias rigurosamente muchos argumentos que, a simple vista, parecen utilizar integrales divergentes. Es posible representar operadores de solución aproximada para muchas ecuaciones diferenciales como integrales oscilatorias.

Una integral oscilatoria${\displaystyle f(x)}$se escribe formalmente como

${\displaystyle f(x)=\int e^{i\phi (x,\xi )}\,a(x,\xi )\,\mathrm {d} \xi ,}$

dónde${\displaystyle \phi (x,\xi )}$y${\displaystyle a(x,\xi )}$son funciones definidas en${\displaystyle \mathbb {R} _{x}^{n}\times \mathrm {R} _{\xi }^{N}}$con las siguientes propiedades:

1. La función${\displaystyle \phi }$es de valor real, positiva-homogénea de grado  1 e infinitamente diferenciable a partir de${\displaystyle \{\xi =0\}}$Además, asumimos que${\displaystyle \phi }$no tiene ningún punto crítico en el soporte de${\displaystyle a}$. Dicha función,${\displaystyle \phi }$Generalmente se la denomina función de fase . En algunos contextos, se consideran funciones más generales, a las que también se hace referencia como funciones de fase.
2. La función${\displaystyle a}$pertenece a una de las clases de símbolos${\displaystyle S_{1,0}^{m}(\mathbb {R} _{x}^{n}\times \mathrm {R} _{\xi }^{N})}$para algunos${\displaystyle m\in \mathbb {R} }$Intuitivamente, estas clases de símbolos generalizan la noción de funciones positivamente homogéneas de grado${\displaystyle m}$. Al igual que con la función de fase${\displaystyle \phi }$, en algunos casos la función${\displaystyle a}$se considera que pertenece a clases más generales, o simplemente diferentes.

Cuando${\displaystyle m<-N}$, la integral formal que define${\displaystyle f(x)}$converge para todos${\displaystyle x}$y no hay necesidad de ninguna discusión adicional sobre la definición de${\displaystyle f(x)}$. Sin embargo, cuando${\displaystyle m\geq -N}$, la integral oscilatoria todavía se define como una distribución en${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$, aunque la integral puede no converger. En este caso la distribución${\displaystyle f(x)}$se define utilizando el hecho de que${\displaystyle a(x,\xi )\in S_{1,0}^{m}(\mathbb {R} _{x}^{n}\times \mathrm {R} _{\xi }^{N})}$pueden aproximarse mediante funciones que tienen decaimiento exponencial en${\displaystyle \xi }$Una posible forma de hacerlo es configurando

${\displaystyle f(x)=\lim \limits _{\epsilon \to 0^{+}}\int e^{i\phi (x,\xi )}\,a(x,\xi )e^{-\epsilon |\xi |^{2}/2}\,\mathrm {d} \xi ,}$

donde el límite se toma en el sentido de distribuciones temperadas . Usando la integración por partes , es posible demostrar que este límite está bien definido y que existe un operador diferencial.${\displaystyle L}$de tal manera que la distribución resultante${\displaystyle f(x)}$actuando sobre cualquier${\displaystyle \psi }$en el espacio de Schwartz viene dado por

${\displaystyle \langle f,\psi \rangle =\int e^{i\phi (x,\xi )}L{\big (}a(x,\xi )\,\psi (x){\big )}\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} \xi ,}$

donde esta integral converge absolutamente. El operador${\displaystyle L}$no está definido de forma única, sino que puede elegirse de tal manera que dependa únicamente de la función de fase.${\displaystyle \phi }$, la orden${\displaystyle m}$del símbolo${\displaystyle a}$, y${\displaystyle N}$De hecho, dado cualquier número entero${\displaystyle M}$Es posible encontrar un operador.${\displaystyle L}$de modo que el integrando anterior esté acotado por${\displaystyle C(1+|\xi |)^{-M}}$para${\displaystyle |\xi |}$suficientemente grande. Este es el propósito principal de la definición de las clases de símbolos.

Muchas distribuciones conocidas pueden escribirse como integrales oscilatorias.

El teorema de inversión de Fourier implica que la función delta ,${\displaystyle \delta (x)}$es igual a

${\displaystyle {\frac {1}{(2\pi )^{n}}}\int _{\mathbb {R} ^{n}}e^{ix\cdot \xi }\,\mathrm {d} \xi .}$

Si aplicamos el primer método de definición de esta integral oscilatoria de arriba, así como la transformada de Fourier de la gaussiana , obtenemos una secuencia bien conocida de funciones que aproximan la función delta:

${\displaystyle \delta (x)=\lim _{\varepsilon \to 0^{+}}{\frac {1}{(2\pi )^{n}}}\int _{\mathbb {R} ^{n}}e^{ix\cdot \xi }e^{-\varepsilon |\xi |^{2}/2}\mathrm {d} \xi =\lim _{\varepsilon \to 0^{+}}{\frac {1}{({\sqrt {2\pi \varepsilon }})^{n}}}e^{-|x|^{2}/(2\varepsilon )}.}$

Un operador${\displaystyle L}$en este caso se da por ejemplo por

${\displaystyle L={\frac {(1-\Delta _{x})^{k}}{(1+|\xi |^{2})^{k}}},}$

dónde${\displaystyle \Delta _{x}}$es el laplaciano con respecto al${\displaystyle x}$variables y${\displaystyle k}$¿Es algún número entero mayor que...?${\displaystyle (n-1)/2}$De hecho, con esto${\displaystyle L}$tenemos

${\displaystyle \langle \delta ,\psi \rangle =\psi (0)={\frac {1}{(2\pi )^{n}}}\int _{\mathbb {R} ^{n}}e^{ix\cdot \xi }L(\psi )(x,\xi )\,\mathrm {d} \xi \,\mathrm {d} x,}$

y esta integral converge absolutamente.

El núcleo de Schwartz de cualquier operador diferencial puede escribirse como una integral oscilatoria. De hecho, si

${\displaystyle L=\sum \limits _{|\alpha |\leq m}p_{\alpha }(x)D^{\alpha },}$

dónde${\displaystyle D^{\alpha }=\partial _{x}^{\alpha }/i^{|\alpha |}}$, entonces el núcleo de${\displaystyle L}$es dado por

${\displaystyle {\frac {1}{(2\pi )^{n}}}\int _{\mathbb {R} ^{n}}e^{i\xi \cdot (x-y)}\sum \limits _{|\alpha |\leq m}p_{\alpha }(x)\,\xi ^{\alpha }\,\mathrm {d} \xi .}$

Cualquier distribución lagrangiana puede representarse localmente mediante integrales oscilatorias (véase Hörmander, 1983) . A la inversa, cualquier integral oscilatoria es una distribución lagrangiana. Esto proporciona una descripción precisa de los tipos de distribuciones que pueden representarse como integrales oscilatorias.

• Lema de Riemann-Lebesgue
• Lema de van der Corput
• Operador integral oscilatorio

• Hörmander , Lars (1983), El análisis de operadores diferenciales parciales lineales IV , Springer-Verlag, ISBN 0-387-13829-3
• Hörmander , Lars (1971), "Operadores integrales de Fourier I", Acta Math. , 127 : 79–183 , doi : 10.1007/bf02392052