Operador integral oscilatorio

En matemáticas , en el campo del análisis armónico , un operador integral oscilatorio es un operador integral de la forma

${\displaystyle T_{\lambda }u(x)=\int _{\mathbb {R} ^{n}}e^{i\lambda S(x,y)}a(x,y)u(y)\,dy,\qquad x\in \mathbb {R} ^{m},\quad y\in \mathbb {R} ^{n},}$

donde la función S ( x , y ) se denomina fase del operador y la función a ( x , y ) se denomina símbolo del operador. λ es un parámetro. A menudo se considera que S ( x , y ) es real y suave, y a ( x , y ) suave y con soporte compacto . Generalmente, interesa el comportamiento de T _λ para valores grandes de λ .

Los operadores integrales oscilatorios aparecen con frecuencia en muchos campos de las matemáticas ( análisis , ecuaciones diferenciales parciales , geometría integral , teoría de números ) y en la física. Las propiedades de los operadores integrales oscilatorios han sido estudiadas por Elias Stein y su escuela. ^{[ 1 ]}

La siguiente cota sobre la acción L ² → L ² de operadores integrales oscilatorios (o norma del operador L ² → L ² ) fue obtenida por Lars Hörmander en su artículo sobre operadores integrales de Fourier : ^{[ 2 ]}

Supongamos que x,y ∈ R ⁿ , n ≥ 1. Sea S ( x , y ) una función real y suave, y sea a ( x , y ) una función suave y con soporte compacto . Si${\textstyle \det _{j,k}{\frac {\partial ^{2}S}{\partial x_{j}\,\partial y_{k}}}(x,y)\neq 0}$En cualquier punto del soporte de a ( x , y ), entonces existe una constante C tal que T _λ , que inicialmente se define en funciones suaves , se extiende a un operador continuo de L ² ( R ⁿ ) a L ² ( R ⁿ ), con la norma acotada por${\displaystyle C\lambda ^{-n/2}}$, para cada λ ≥ 1:   

${\displaystyle \|T_{\lambda }\|_{L^{2}(\mathbf {R} ^{n})\to L^{2}(\mathbf {R} ^{n})}\leq C\lambda ^{-n/2}.}$

• Integral oscilatoria
• Análisis microlocal