operador integral de Fourier

En el análisis matemático , los operadores integrales de Fourier se han convertido en una herramienta importante en la teoría de ecuaciones diferenciales parciales . La clase de operadores integrales de Fourier incluye operadores diferenciales , así como operadores integrales clásicos como casos particulares.

Un operador integral de Fourier${\displaystyle T}$está dado por:

${\displaystyle (Tf)(x)=\int _{\mathbb {R} ^{n}}e^{2\pi i\Phi (x,\xi )}a(x,\xi ){\hat {f}}(\xi )\,d\xi }$

dónde${\displaystyle {\hat {f}}}$denota la transformada de Fourier de${\displaystyle f}$,${\displaystyle a(x,\xi )}$es un símbolo estándar que se admite de forma compacta en${\displaystyle x}$y${\displaystyle \Phi }$es real valorado y homogéneo de grado${\displaystyle 1}$en${\displaystyle \xi }$. También es necesario exigir que${\displaystyle \det \left({\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial x_{i}\,\partial \xi _{j}}}\right)\neq 0}$sobre el soporte de a. Bajo estas condiciones, si a es de orden cero, es posible demostrar que${\displaystyle T}$define un operador acotado desde${\displaystyle L^{2}}$a${\displaystyle L^{2}}$. ^{[ 1 ]}

Una motivación para el estudio de los operadores integrales de Fourier es el operador solución para el problema de valor inicial del operador de onda. De hecho, consideremos el siguiente problema:

${\displaystyle {\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}}(t,x)=\Delta u(t,x)\quad \mathrm {para} \quad (t,x)\in \mathbb {R} ^{+}\times \mathbb {R} ^{n},}$

y

${\displaystyle u(0,x)=0,\quad {\frac {\partial u}{\partial t}}(0,x)=f(x),\quad \mathrm {para} \quad f\in {\mathcal {S}}'(\mathbb {R} ^{n}),}$dónde${\displaystyle {\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n})\doteq \left\{f\in C^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})\;{\bigg |}\;\sup _{x\in \mathbb {R} ^{n}}|x^{a}\partial ^{b}f(x)|<+\infty \;\;\forall \;a,b\;{\text{multiíndices}}\right\}}$es el espacio de la función de Schwartz y${\displaystyle {\mathcal {S}}'(\mathbb {R} ^{n})'}$es su dual topológico fuerte .

La solución formal a este problema viene dada por

${\displaystyle u(t,x)={\frac {1}{(2\pi )^{n}}}\int {\frac {e^{i(\langle x,\xi \rangle +ct|\xi |)}}{2ic|\xi |}}{\hat {f}}(\xi )\,d\xi -{\frac {1}{(2\pi )^{n}}}\int {\frac {e^{i(\langle x,\xi \rangle -ct|\xi |)}}{2ic|\xi |}}{\hat {f}}(\xi )\,d\xi .}$

Estas integrales deben interpretarse como oscilatorias, ya que, en general, no convergen. Formalmente, esto se asemeja a la suma de dos operadores integrales de Fourier; sin embargo, los coeficientes de cada integral no son suaves en el origen, por lo que no son símbolos estándar. Si eliminamos esta singularidad con una función de corte, los operadores obtenidos aún proporcionan soluciones al problema de valor inicial módulo funciones suaves. Por lo tanto, si solo nos interesa la propagación de singularidades de los datos iniciales, basta con considerar dichos operadores. De hecho, si permitimos que la velocidad del sonido c en la ecuación de onda varíe con la posición, aún podemos encontrar un operador integral de Fourier que proporcione una solución módulo funciones suaves. Así, los operadores integrales de Fourier constituyen una herramienta útil para estudiar la propagación de singularidades de soluciones a ecuaciones de onda de velocidad variable y, en general, a otras ecuaciones hiperbólicas.

• Análisis microlocal
• transformada de Fourier
• Operador pseudodiferencial
• Operador integral oscilatorio
• Categoría simpléctica

• Elias Stein , Análisis armónico: métodos de variables reales, ortogonalidad e integrales oscilatorias . Princeton University Press, 1993. ISBN 0-691-03216-5
• F. Treves, Introducción a los operadores pseudodiferenciales e integrales de Fourier, (Serie universitaria de matemáticas), Plenum Publ. Co. 1981. ISBN 0-306-40404-4
• JJ Duistermaat , Operadores integrales de Fourier, (Progreso en matemáticas), Birkhäuser 1995. ISBN 0-8176-3821-0

• "Operador integral de Fourier" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]