Teorema de Hirzebruch-Riemann-Roch

En matemáticas , el teorema de Hirzebruch-Riemann-Roch , que recibe su nombre de Friedrich Hirzebruch , Bernhard Riemann y Gustav Roch , es un resultado de Hirzebruch de 1954 que generaliza el teorema clásico de Riemann-Roch sobre superficies de Riemann a todas las variedades algebraicas complejas de dimensiones superiores. Este resultado allanó el camino para el teorema de Grothendieck-Hirzebruch-Riemann-Roch, demostrado unos tres años después.

El teorema de Hirzebruch–Riemann–Roch se aplica a cualquier fibrado vectorial holomorfo E en una variedad compleja compacta X , para calcular la característica de Euler holomorfa de E en cohomología de haces , es decir, la suma alternada ^{[ 1 ].}

${\displaystyle \chi (X,E)=\sum _{i=0}^{n}(-1)^{i}\dim _{\mathbb {C} }H^{i}(X,E)}$

de las dimensiones como espacios vectoriales complejos, donde n es la dimensión compleja de X.

El teorema de Hirzebruch establece que χ ( X , E ) es computable en términos de las clases de Chern c _k ( E ) de E y las clases de Todd .${\displaystyle \operatorname {td} _{j}(X)}$del fibrado tangente holomorfo de X. Todos estos se encuentran en el anillo de cohomología de X ; mediante el uso de la clase fundamental (o, en otras palabras, la integración sobre X ) podemos obtener números de clases en${\displaystyle H^{2n}(X).}$La fórmula de Hirzebruch afirma que

${\displaystyle \chi (X,E)=\sum _{j=0}^{n}\operatorname {ch} _{nj}(E)\operatorname {td} _{j}(X),}$

utilizando el carácter de Chern ch( E ) en cohomología. En otras palabras, los productos se forman en el anillo de cohomología de todos los grados 'coincidentes' que suman 2 n . Formulado de otra manera, da la igualdad ^{[ 2 ]}

${\displaystyle \chi (X,E)=\int _{X}\operatorname {ch} (E)\operatorname {td} (X)}$

dónde${\displaystyle \operatorname {td} (X)}$es la clase de Todd del fibrado tangente de X.

Casos especiales significativos son cuando E es un fibrado de líneas complejo y cuando X es una superficie algebraica ( fórmula de Noether ). El teorema de Riemann-Roch de Weil para fibrados vectoriales sobre curvas y el teorema de Riemann-Roch para superficies algebraicas (véase más adelante) se incluyen en su ámbito. La fórmula también expresa de forma precisa la vaga noción de que las clases de Todd son, en cierto sentido, recíprocas del carácter de Chern .

Para curvas, el teorema de Hirzebruch-Riemann-Roch es esencialmente el teorema clásico de Riemann-Roch . Para ver esto, recordemos que para cada divisor D en una curva existe un haz invertible O( D ) (que corresponde a un fibrado lineal) tal que el sistema lineal de D es más o menos el espacio de secciones de O( D ). Para curvas, la clase de Todd es${\displaystyle 1+c_{1}(T(X))/2,}$y el carácter de Chern de un haz O( D ) es simplemente 1+ c ₁ (O( D )), por lo que el teorema de Hirzebruch–Riemann–Roch establece que

${\displaystyle h^{0}({\mathcal {O}}(D))-h^{1}({\mathcal {O}}(D))=c_{1}({\mathcal {O}}(D))+c_{1}(T(X))/2\ \ \ }$(integrado sobre X ).

Pero h ⁰ (O( D )) es simplemente l ( D ), la dimensión del sistema lineal de D , y por la dualidad de Serre h ¹ (O( D )) = h ⁰ (O( K  − D )) = l ( K − D ) donde K es el divisor canónico . Además, c ₁ (O( D )) integrado sobre X es el grado de D , y c ₁ ( T ( X )) integrado sobre X es la clase de Euler 2 − 2 g de la curva X , donde g es el género. Así obtenemos el teorema clásico de Riemann-Roch.     

${\displaystyle \ell (D)-\ell (KD)={\text{deg}}(D)+1-g.}$

Para haces vectoriales V , el carácter de Chern es rango( V ) + c1 ( V ), por lo que obtenemos el teorema de Riemann-Roch de Weil para haces vectoriales sobre curvas _:

${\displaystyle h^{0}(V)-h^{1}(V)=c_{1}(V)+\operatorname {rango} (V)(1-g).}$

Para superficies, el teorema de Hirzebruch-Riemann-Roch es esencialmente el teorema de Riemann-Roch para superficies.

${\displaystyle \chi (D)=\chi ({\mathcal {O}})+((DD)-(DK))/2.}$

combinado con la fórmula de Noether.

Si queremos, podemos usar la dualidad de Serre para expresar h ² (O( D )) como h ⁰ (O( K  − D )), pero a diferencia del caso de las curvas, en general no hay una manera fácil de escribir el término h ¹ (O( D )) en una forma que no involucre la cohomología de haces (aunque en la práctica a menudo se desvanece). 

Sea D un divisor de Cartier en una variedad proyectiva irreducible X de dimensión n . Entonces

${\displaystyle \chi \left(X,{\mathcal {O}}_{X}(mD)\right)={\frac {(D^{n})}{n!}}.m^{n}+O(m^{n-1}).}$

En términos más generales, si${\displaystyle {\mathcal {F}}}$es cualquier haz coherente en X entonces ^{[ 3 ]}

${\displaystyle \chi \left(X,{\mathcal {F}}\otimes {\mathcal {O}}_{X}(mD)\right)=\operatorname {rank} ({\mathcal {F}}){\frac {(D^{n})}{n!}}.m^{n}+O(m^{n-1}).}$

Además, si D es amplio , entonces la desaparición de Serre implica que ^{[ 4 ]}

${\displaystyle h^{0}\left(X,{\mathcal {F}}\otimes {\mathcal {O}}_{X}(mD)\right)=\operatorname {rank} ({\mathcal {F}}){\frac {(D^{n})}{n!}}.m^{n}+O(m^{n-1}).}$

• Teorema de Grothendieck-Riemann-Roch : contiene numerosos cálculos y ejemplos.
• Polinomio de Hilbert : HRR se puede utilizar para calcular polinomios de Hilbert.

• Friedrich Hirzebruch , Métodos topológicos en geometría algebraica ISBN 3-540-58663-6
• Huybrechts, Daniel (18 de noviembre de 2004). Geometría compleja: Una introducción . Universitext. Springer Science+Business Media . ISBN 978-3540212904.{{cite book}}: CS1 mantenimiento: año ( enlace )
• Lazarsfeld, Robert (2004). Positividad en geometría algebraica, Vol. I. Berlín: Springer. ISBN 3-540-22533-1.

• El teorema de Hirzebruch-Riemann-Roch