Gavilla invertible

En matemáticas , un haz invertible es un haz en un espacio anillado que tiene un inverso respecto del producto tensorial de haces de módulos . Es el equivalente en geometría algebraica de la noción topológica de fibrado lineal . Debido a sus interacciones con los divisores de Cartier , desempeñan un papel central en el estudio de las variedades algebraicas .

Sea ( X , O _X ) un espacio anillado. Las clases de isomorfismo de haces de O _X -módulos forman un monoide bajo la operación de producto tensorial de O _X -módulos. El elemento identidad para esta operación es el propio O _X. Los haces invertibles son los elementos invertibles de este monoide. Específicamente, si L es un haz de O _X -módulos, entonces L se llama invertible si satisface cualquiera de las siguientes condiciones equivalentes: ^{[1] [2]}

• Existe un haz M tal que .${\displaystyle L\otimes _{{\mathcal {O}}_{X}}M\cong {\mathcal {O}}_{X}}$
• El homomorfismo natural es un isomorfismo, donde denota el haz dual .${\displaystyle L\o veces _{{\mathcal {O}}_{X}}L^{\vee }\to {\mathcal {O}}_{X}}$${\displaystyle L^{\vee}}$${\displaystyle {\underline {\operatorname {Hom} }}(L,{\mathcal {O}}_{X})}$
• El funtor de O _X -módulos a O _X -módulos definido por es una equivalencia de categorías.${\displaystyle F\mapsto F\otimes _{{\mathcal {O}}_{X}}L}$

Todo haz localmente libre de rango uno es invertible. Si X es un espacio anillado localmente, entonces L es invertible si y solo si es localmente libre de rango uno. Debido a este hecho, los haces invertibles están estrechamente relacionados con los fibrados lineales , hasta el punto en que a veces se confunden ambos.

Sea X un esquema afín Spec R . Entonces un haz invertible sobre X es el haz asociado a un módulo proyectivo de rango uno sobre R . Por ejemplo, esto incluye ideales fraccionarios de cuerpos de números algebraicos , ya que estos son módulos proyectivos de rango uno sobre los anillos de números enteros del cuerpo de números.

En términos generales, las clases de isomorfismo de haces invertibles en X forman un grupo abeliano bajo producto tensorial. Este grupo generaliza el grupo de clases ideal . En general se escribe

${\displaystyle \mathrm {Imagen} (X)\ }$

con Pic el funtor de Picard . Dado que también incluye la teoría de la variedad jacobiana de una curva algebraica , el estudio de este funtor es un tema importante en la geometría algebraica.

La construcción directa de haces invertibles mediante datos sobre X conduce al concepto de divisor de Cartier .

• Fibrados vectoriales en geometría algebraica
• Paquete de líneas
• Primera clase de Chern
• Grupo Picard
• Teorema de Birkhoff-Grothendieck

• Grothendieck, Alejandro ; Dieudonné, Jean (1960). "Éléments de géométrie algébrique: I. Le langage des schémas". Publicaciones Mathématiques de l'IHÉS . 4 . doi :10.1007/bf02684778. SEÑOR  0217083.