Bivector (complejo)

En matemáticas , un bivector es la parte vectorial de un bicuaternión . Para el bicuaternión q = w + x i + y j + z k , w se denomina biescalar y x i + y j + z k es su parte bivectorial . Las coordenadas w , x , y , z son números complejos con unidad imaginaria h:

${\displaystyle x=x_{1}+\mathrm {h} x_{2},\ y=y_{1}+\mathrm {h} y_{2},\ z=z_{1}+\mathrm {h} z_{2},\quad \mathrm {h} ^{2}=-1=\mathrm {i} ^{2}=\mathrm {j} ^{2}=\mathrm {k} ^{2}.}$

Un bivector puede escribirse como la suma de partes real e imaginaria:

${\displaystyle (x_{1}\mathrm {i} +y_{1}\mathrm {j} +z_{1}\mathrm {k} )+\mathrm {h} (x_{2}\mathrm {i} +y_{2}\mathrm {j} +z_{2}\mathrm {k} )}$

dónde${\displaystyle r_{1}=x_{1}\mathrm {i} +y_{1}\mathrm {j} +z_{1}\mathrm {k} }$y${\displaystyle r_{2}=x_{2}\mathrm {i} +y_{2}\mathrm {j} +z_{2}\mathrm {k} }$son vectores . Por lo tanto, el bivector${\displaystyle q=x\mathrm {i} +y\mathrm {j} +z\mathrm {k} =r_{1}+\mathrm {h} r_{2}.}$^{[ 1 ]}

En la representación lineal estándar de biquaterniones como matrices complejas de 2 × 2 que actúan en el plano complejo con base {1, h},

${\displaystyle {\begin{pmatrix}hv&w+hx\\-w+hx&-hv\end{pmatrix}}}$representa el bivector q = v i + w j + x k .

La transpuesta conjugada de esta matriz corresponde a − q , por lo que la representación del bivector q es una matriz antihermítica .

William Rowan Hamilton acuñó los términos vector y bivector . El primer término se denominó con cuaterniones, y el segundo aproximadamente una década después, como en Lectures on Quaternions (1853). ^{[ 1 ] : 665} Willard Gibbs incluyó una nota sobre bivectores en sus Elements of Vector Analysis (1884). Utilizó bivectores para el libro de texto de Edwin Bidwell Wilson , Vector Analysis (1901), basado en sus conferencias. ^{[ 2 ] : 249} Por ejemplo, dado un bivector r = r ₁ + h r ₂ , la elipse para la cual r ₁ y r ₂ son un par de semidiámetros conjugados se llama elipse direccional del bivector r . ^{[ 2 ] : 436}

Ludwik Silberstein estudió un campo electromagnético complejizado E + h B , donde hay tres componentes, cada una un número complejo, conocido como el vector de Riemann-Silberstein . ^{[ 3 ] [ 4 ]}

Una consideración de la representación bicuaterniónica de la relatividad especial, utilizando la teoría de Lie , pone de relieve los bivectores: el álgebra de Lie del grupo de Lorentz se expresa mediante bivectores. En particular, si r ₁ y r ₂ son versores derechos de modo que${\displaystyle r_{1}^{2}=-1=r_{2}^{2}}$Entonces, la curva bicuaternión {exp θ r ₁  : θ ∈ R } traza repetidamente el círculo unitario en el plano { x + yr ₁  : x , y ∈ R }. Dicho círculo corresponde a los parámetros de rotación espacial del grupo de Lorentz.

Ahora bien , (h r ₂ ) ² = ( − 1)( − 1) = +1 , y la curva bicuaternión {exp θ (h r ₂ )  : θ ∈ R } es una hipérbola unitaria en el plano { x + yr ₂  : x , y ∈ R }. Las transformaciones espaciotemporales en el grupo de Lorentz que conducen a las contracciones de FitzGerald y a la dilatación del tiempo dependen de un parámetro de ángulo hiperbólico . En palabras de Ronald Shaw, "Los bivectores son logaritmos de transformaciones de Lorentz". ^{[ 5 ]}

El producto conmutador de esta álgebra de Lie es simplemente el doble del producto vectorial en R³ , por ejemplo, [i,j] = ij − ji = 2k , que es el doble ^de i × j . Como escribió Shaw en 1970:

Ahora es bien sabido que el álgebra de Lie del grupo de Lorentz homogéneo puede considerarse como la de los bivectores bajo conmutación. [...] El álgebra de Lie de los bivectores es esencialmente la de los 3-vectores complejos, donde el producto de Lie se define como el conocido producto vectorial en el espacio tridimensional (complejo). ^{[ 6 ]}

"Los bivectores [...] ayudan a describir ondas planas homogéneas e inhomogéneas polarizadas elípticamente: un vector para la dirección de propagación y otro para la amplitud." ^{[ 7 ]}