Función meromorfa

En el campo matemático del análisis complejo , una función meromorfa en un subconjunto abierto${\displaystyle D}$del plano complejo es una función que es holomorfa en todo el plano complejo.${\displaystyle D}$excepto por un conjunto de puntos aislados , que son polos de la función. ^{[ 1 ]} El término proviene del griego meros ( μέρος ), que significa ' parte ' . ^{[ a ]}

Cada función meromorfa en${\displaystyle D}$puede expresarse como la razón entre dos funciones holomorfas (con denominador distinto de 0 constante) definidas en${\displaystyle D}$: cualquier polo debe coincidir con un cero del denominador.

Intuitivamente, una función meromorfa es una razón de dos funciones bien comportadas (holomorfas). Dicha función seguirá comportándose bien, excepto posiblemente en los puntos donde el denominador de la fracción es cero. Si el denominador tiene un cero en${\displaystyle z}$y el numerador no, entonces el valor de la función tenderá al infinito; si ambas partes tienen un cero en${\displaystyle z}$, entonces hay que comparar la multiplicidad de estos ceros.

Desde un punto de vista algebraico, si el dominio de la función es conexo , entonces el conjunto de funciones meromorfas es el cuerpo de fracciones del dominio integral del conjunto de funciones holomorfas. Esto es análogo a la relación entre los números racionales y los enteros .

Los términos holomorfo y meromorfo fueron introducidos en 1875 por Charles Briot y Jean-Claude Bouquet , dos de los alumnos de Augustin-Louis Cauchy . Holomorfo deriva del griego ὅλος ( hólos ), que significa "entero", y μορφή ( morphḗ ), que significa "forma", "apariencia" o "tipo", mientras que meromorfo deriva de μέρος ( méros ), que significa "parte". Una función holomorfa se asemeja a una función entera ("entero") en un dominio del plano complejo, mientras que una función meromorfa se asemeja a una fracción racional ("parte") de funciones enteras en un dominio del plano complejo. ^{[ 2 ]}

En la década de 1930, en la teoría de grupos , el término función meromorfa (o meromorfo ) se utilizaba con un sentido diferente: se refería a una función de un grupo en sí mismo que conservaba la operación de grupo. ^{[ 3 ]} Este lenguaje está obsoleto, y ahora se utiliza el término endomorfismo para referirse a dicha función.

Dado que los polos están aislados, hay como máximo una cantidad numerable para una función meromorfa. ^{[ 4 ]} El conjunto de polos puede ser infinito, como lo ejemplifica la función$${\displaystyle f(z)=\csc z={\frac {1}{\sin z}}.}$$

Al utilizar la continuación analítica para eliminar singularidades removibles , las funciones meromorfas se pueden sumar, restar, multiplicar y el cociente${\displaystyle f/g}$se puede formar a menos que${\displaystyle g(z)=0}$en una componente conexa de D. Por lo tanto, si D es conexo, las funciones meromorfas forman un cuerpo , de hecho una extensión de cuerpo de los números complejos .

• Todas las funciones racionales , ^{[ 4 ]} por ejemplo$${\displaystyle f(z)={\frac {z^{3}-2z+10}{z^{5}+3z-1}},}$$son meromorfas en todo el plano complejo. Además, son las únicas funciones meromorfas en el plano complejo extendido .
• Las funciones$${\displaystyle f(z)={\frac {e^{z}}{z}}\quad {\text{and}}\quad f(z)={\frac {\sin {z}}{(z-1)^{2}}}}$$así como la función gamma y la función zeta de Riemann son meromorfas en todo el plano complejo. ^{[ 4 ]}
• La función$${\displaystyle f(z)=e^{\frac {1}{z}}}$$está definida en todo el plano complejo excepto en el origen, 0. Sin embargo, 0 no es un polo de esta función, sino una singularidad esencial . Por lo tanto, esta función no es meromorfa en todo el plano complejo. Sin embargo, es meromorfa (incluso holomorfa) en${\displaystyle \mathbb {C} \setminus \{0\}}$.
• La función logaritmo complejo$${\displaystyle f(z)=\ln(z)}$$no es meromorfa en todo el plano complejo, ya que no puede definirse en todo el plano complejo excluyendo únicamente un conjunto de puntos aislados. ^{[ 4 ]}
• La función$${\displaystyle f(z)=\csc {\frac {1}{z}}={\frac {1}{\sin \left({\frac {1}{z}}\right)}}}$$no es meromorfo en todo el plano, ya que el punto${\displaystyle z=0}$es un punto de acumulación de polos y, por lo tanto, no es una singularidad aislada . ^{[ 4 ]}
• La función$${\displaystyle f(z)=\sin {\frac {1}{z}}}$$Tampoco es meromorfo, ya que tiene una singularidad esencial en 0.

En una superficie de Riemann , cada punto admite un entorno abierto biholomorfo a un subconjunto abierto del plano complejo. De este modo, se puede definir la noción de función meromorfa para cualquier superficie de Riemann.

Cuando D es la esfera de Riemann completa , el cuerpo de funciones meromorfas es simplemente el cuerpo de funciones racionales en una variable sobre el cuerpo complejo, puesto que se puede demostrar que cualquier función meromorfa en la esfera es racional. (Este es un caso particular del llamado principio GAGA ).

Para cada superficie de Riemann , una función meromorfa es igual a una función holomorfa que se mapea a la esfera de Riemann y que no es la función constante igual a ∞. Los polos corresponden a aquellos números complejos que se mapean a ∞.

En una superficie de Riemann no compacta , toda función meromorfa puede realizarse como cociente de dos funciones holomorfas (definidas globalmente). En cambio, en una superficie de Riemann compacta, toda función holomorfa es constante, mientras que siempre existen funciones meromorfas no constantes.

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