Conjetura SYZ

La conjetura de Strominger-Yau-Zaslow ( SYZ ) es un intento de comprender la conjetura de simetría especular , un problema en física teórica y matemáticas. La conjetura original fue propuesta por Andrew Strominger , Shing-Tung Yau y Eric Zaslow en 1996. ^{[ 1 ]}

Junto con la conjetura de simetría especular homológica , es una de las herramientas más exploradas para comprender la simetría especular en términos matemáticos. Mientras que la simetría especular homológica se basa en el álgebra homológica , la conjetura SYZ es una realización geométrica de la simetría especular.

En la teoría de cuerdas , la simetría especular relaciona las teorías de tipo IIA y tipo IIB . Predice que la teoría de campo efectiva de las teorías de tipo IIA y tipo IIB debería ser la misma si ambas se compactifican en variedades de pares especulares.

La conjetura SYZ utiliza este hecho para realizar la simetría especular. Parte de considerar los estados BPS de las teorías de tipo IIA compactificadas en X , especialmente las 0-branas que tienen espacio de módulos X. Se sabe que todos los estados BPS de las teorías de tipo IIB compactificadas en Y son 3-branas . Por lo tanto, la simetría especular mapeará las 0-branas de las teorías de tipo IIA a un subconjunto de 3-branas de las teorías de tipo IIB.

Al considerar condiciones supersimétricas , se ha demostrado que estas 3-branas deben ser subvariedades lagrangianas especiales . ^{[ 2 ] [ 3 ]} Por otro lado, la dualidad T realiza la misma transformación en este caso, por lo que "la simetría especular es dualidad T".

La propuesta inicial de la conjetura SYZ por Strominger, Yau y Zaslow no se presentó como una formulación matemática precisa. ^{[ 1 ]} Parte de la resolución matemática de la conjetura SYZ consiste en, en cierto sentido, formular correctamente la propia conjetura. No existe una formulación precisa y consensuada de la conjetura en la literatura matemática, pero sí existe una formulación general que se considera cercana a la correcta, la cual se presenta aquí. ^{[ 4 ] [ 5 ]} Esta formulación enfatiza la imagen topológica de la simetría especular, pero no caracteriza con precisión la relación entre las estructuras complejas y simplécticas de los pares especulares, ni hace referencia a las métricas riemannianas asociadas .

Conjetura SYZ: Toda variedad de Calabi-Yau de 6 dimensiones.${\displaystyle X}$tiene una variedad de Calabi-Yau de 6 dimensiones simétrica${\displaystyle {\hat {X}}}$de tal manera que existan sobreyecciones continuas${\displaystyle f:X\to B}$,${\displaystyle {\hat {f}}:{\hat {X}}\to B}$a una variedad topológica compacta${\displaystyle B}$de dimensión 3, de tal manera que

1. Existe un subconjunto abierto denso${\displaystyle B_{\text{reg}}\subset B}$en los que los mapas${\displaystyle f,{\hat {f}}}$son fibraciones por 3-toros lagrangianos especiales no singulares . Además, para cada punto${\displaystyle b\in B_{\text{reg}}}$, las fibras del toro${\displaystyle f^{-1}(b)}$y${\displaystyle {\sombrero {f}}^{-1}(b)}$deberían ser duales entre sí en algún sentido, análogo a la dualidad de las variedades abelianas .
2. Para cada${\displaystyle b\in B\backslash B_{\text{reg}}}$, las fibras${\displaystyle f^{-1}(b)}$y${\displaystyle {\sombrero {f}}^{-1}(b)}$deben ser subvariedades lagrangianas especiales tridimensionales singulares de${\displaystyle X}$y${\displaystyle {\hat {X}}}$respectivamente.

La situación en la que${\displaystyle B_{\text{reg}}=B}$El hecho de que no exista un lugar singular se denomina límite semiplano de la conjetura SYZ y se utiliza a menudo como situación modelo para describir fibraciones de toros. Se puede demostrar que la conjetura SYZ se cumple en algunos casos sencillos de límites semiplanos, por ejemplo, dados por variedades abelianas y superficies K3 que están fibradas por curvas elípticas .

Se espera que la formulación correcta de la conjetura SYZ difiera un poco de la afirmación anterior. Por ejemplo, el posible comportamiento del conjunto singular.${\displaystyle B\backslash B_{\text{reg}}}$no se comprende bien, y este conjunto podría ser bastante grande en comparación con${\displaystyle B}$La simetría especular también se suele formular en términos de familias degeneradas de variedades de Calabi-Yau en lugar de para una única variedad de Calabi-Yau, y cabría esperar que la conjetura SYZ se reformulara con mayor precisión en este lenguaje. ^{[ 4 ]}

La conjetura de simetría especular SYZ es un posible refinamiento de la conjetura original de simetría especular que relaciona los números de Hodge de las variedades de Calabi-Yau especulares. La otra es la conjetura de simetría especular homológica de Kontsevich (conjetura HMS). Estas dos conjeturas codifican las predicciones de la simetría especular de maneras diferentes: la simetría especular homológica de manera algebraica y la conjetura SYZ de manera geométrica . ^{[ 6 ]}

Debería existir una relación entre estas tres interpretaciones de la simetría especular, pero aún se desconoce si son equivalentes o si una propuesta es más sólida que la otra. Se han logrado avances para demostrar, bajo ciertas suposiciones, que la simetría especular homológica implica la simetría especular teórica de Hodge. ^{[ 7 ]}

No obstante, en contextos sencillos existen maneras claras de relacionar las conjeturas SYZ y HMS. La característica clave de HMS es que relaciona objetos (ya sean subvariedades o haces) en espacios geométricos simétricos, por lo que para comprender o demostrar la conjetura HMS se requiere un par de espacios geométricos simétricos. La conjetura SYZ predice cómo deberían surgir estos pares simétricos, por lo que siempre que se encuentre un par simétrico de SYZ, es un buen candidato para intentar demostrar la conjetura HMS en dicho par.

Para relacionar las conjeturas SYZ y HMS, es conveniente trabajar en el límite semiplano. La característica geométrica importante de un par de fibraciones de toro lagrangiano${\displaystyle X,{\hat {X}}\to B}$que codifica la simetría especular son las fibras del toro dual de la fibración. Dado un toro lagrangiano${\displaystyle T\subset X}$, el toro dual viene dado por la variedad jacobiana de${\displaystyle T}$, denotado${\displaystyle {\hat {T}}=\mathrm {Jac} (T)}$. Este es de nuevo un toroide de la misma dimensión, y la dualidad está codificada en el hecho de que${\displaystyle \mathrm {Jac} (\mathrm {Jac} (T))=T}$entonces${\displaystyle T}$y${\displaystyle {\hat {T}}}$son de hecho duales bajo esta construcción. La variedad jacobiana${\displaystyle {\hat {T}}}$tiene la interpretación importante como el espacio de módulos de haces de líneas en${\displaystyle T}$.

Esta dualidad y la interpretación del toro dual como un espacio de módulos de haces sobre el toro original es lo que permite intercambiar los datos de subvariedades y subhaces. Hay dos ejemplos sencillos de este fenómeno:

• Si${\displaystyle p\in X}$es un punto que se encuentra dentro de alguna fibra${\displaystyle p\in T\subset X}$de la fibración del toro lagrangiano especial, entonces desde${\displaystyle T=\mathrm {Jac} ({\hat {T}})}$, el punto${\displaystyle p}$corresponde a un paquete de líneas admitido en${\displaystyle {\hat {T}}\subset {\hat {X}}}$Si se elige una sección lagrangiana${\displaystyle s:B\to X}$de tal manera que${\displaystyle s(B)=L}$es una subvariedad lagrangiana de${\displaystyle X}$, entonces precisamente desde${\displaystyle s}$Se elige un punto en cada fibra toroidal de la fibración SYZ; esta sección lagrangiana es dual especular a una elección de estructura de fibrado lineal soportada en cada fibra toroidal de la variedad especular.${\displaystyle {\hat {X}}}$y, en consecuencia, un fibrado de líneas en el espacio total de${\displaystyle {\hat {X}}}$, el ejemplo más simple de un haz coherente que aparece en la categoría derivada de la variedad espejo. Si las fibraciones del toro espejo no están en el límite semiplano, entonces se debe tener especial cuidado al cruzar el conjunto singular de la base.${\displaystyle B}$.

• Otro ejemplo de una subvariedad lagrangiana es la propia fibra del toro, y se observa que si se toma todo el toro como la lagrangiana${\displaystyle T\subset X}$, con los datos añadidos de un fibrado lineal unitario plano sobre él, como suele ser necesario en la simetría especular homológica, entonces en el toro dual${\displaystyle {\hat {T}}\subset {\hat {X}}}$Esto corresponde a un único punto que representa ese fibrado de líneas sobre el toro. Si tomamos el haz rascacielos apoyado en ese punto en el toro dual, entonces vemos que las fibras del toro de la fibración SYZ se envían a haces rascacielos apoyados en puntos en la fibra del toro espejo .

Estos dos ejemplos producen los tipos más extremos de haces coherentes : haces localmente libres (de rango 1) y haces de torsión apoyados en puntos. Mediante una construcción más cuidadosa, se pueden construir ejemplos más complejos de haces coherentes, análogos a la construcción de un haz coherente mediante la filtración de torsión . Como ejemplo sencillo, una multisección lagrangiana (una unión de k secciones lagrangianas) debería ser dual especular a un fibrado vectorial de rango k en la variedad especular, pero es necesario tener en cuenta las correcciones de instantones contando los discos holomorfos que están acotados por la multisección, en el sentido de la teoría de Gromov-Witten . De esta manera, la geometría enumerativa se vuelve importante para comprender cómo la simetría especular intercambia objetos duales.

Al combinar la geometría de las fibraciones espejo en la conjetura SYZ con una comprensión detallada de los invariantes enumerativos y la estructura del conjunto singular de la base${\displaystyle B}$, es posible utilizar la geometría de la fibración para construir el isomorfismo de categorías a partir de las subvariedades lagrangianas de${\displaystyle X}$a los haces coherentes de${\displaystyle {\hat {X}}}$, el mapa${\displaystyle \mathrm {Fuk} (X)\to \mathrm {D} ^{b}\mathrm {Coh} ({\hat {X}})}$. Al repetir esta misma discusión a la inversa utilizando la dualidad de las fibraciones del toro, se puede comprender de manera similar los haces coherentes en${\displaystyle X}$en términos de subvariedades lagrangianas de${\displaystyle {\hat {X}}}$y esperamos comprender completamente cómo se relaciona la conjetura HMS con la conjetura SYZ.